{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f ( x ) określonej dla\n7,8\n\nx\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nx\ny\nOdczytaj z wykresu i zapisz:\na) największą wartość funkcji f ,\nb) zbiór rozwiązań nierówności\n0\n\nf ( x )\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x w (-7,8). Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji f, b) Funkcja f(x) ma wartości ujemne dla x w (-3,5).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: **630**\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie (analiza cyfr)\n\nCzterocyfrowa liczba naturalna ma postać \\(\\overline{ABCD}\\), gdzie:\n- \\(A\\) - cyfra **tysięcy** (\\(A \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\), bo liczba musi być czterocyfrowa)\n- \\(B\\) - cyfra **setek** (\\(B \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\))\n- \\(C\\) - cyfra **dziesiątek** (\\(C \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\))\n- \\(D\\) - cyfra **jedności** (\\(D \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\))\n\n**Warunek zadania:** \\(D = B + 3\\)\n\n**Krok 1 - Wyznacz możliwe wartości \\(B\\).**\n\nMusimy mieć \\(D \\leq 9\\), czyli:\n\\[B + 3 \\leq 9 \\implies B \\leq 6\\]\n\nZatem \\(B \\in \\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\) - **7 możliwości**.\n\nDla każdej wartości \\(B\\) cyfra \\(D\\) jest **jednoznacznie wyznaczona**: \\(D = B + 3\\).\n\n**Krok 2 - Policz wybory dla każdej pozycji.**\n\n| Pozycja | Możliwe wartości | Liczba wyborów |\n| \\(A\\) (tysiące) | \\(1, 2, \\ldots, 9\\) | **9** |\n| \\(B\\) (setki) | \\(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\) | **7** |\n| \\(C\\) (dziesiątki) | \\(0, 1, 2, \\ldots, 9\\) | **10** |\n| \\(D\\) (jedności) | wyznaczone przez \\(B\\) | **1** |\n\n**Krok 3 - Zastosuj regułę mnożenia.**\n\nPozycje są od siebie niezależne (wybór \\(A\\) nie wpływa na wybór \\(B\\) itd.), zatem:\n\\[N = 9 \\cdot 7 \\cdot 10 \\cdot 1 = \\mathbf{630}\\]\n\n## Sposób 2 - Myślenie przez pary \\((B, D)\\)\n\nZamiast analizować cyfry oddzielnie, skupmy się na **parach (setki, jedności)** spełniających warunek \\(D = B + 3\\):\n\n\\[(B, D) \\in \\{(0,3),\\ (1,4),\\ (2,5),\\ (3,6),\\ (4,7),\\ (5,8),\\ (6,9)\\}\\]\n\nMamy dokładnie **7 dozwolonych par** \\((B, D)\\).\n\nDla każdej takiej pary:\n- cyfra tysięcy \\(A\\): 9 wyborów (\\(1\\) do \\(9\\))\n- cyfra dziesiątek \\(C\\): 10 wyborów (\\(0\\) do \\(9\\))\n\nŁącznie:\n\\[N = 7 \\cdot 9 \\cdot 10 = \\mathbf{630}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **reguła mnożenia** (zasada iloczynu kartezjańskiego) z kombinatoryki:\n\n> Jeśli wybór składa się z \\(k\\) niezależnych kroków, w których \\(k\\)-ty krok można wykonać na \\(n_k\\) sposobów, to całkowita liczba sposobów wynosi \\(n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k\\).\n\nFormalnie jest to wariacja z powtórzeniami (Dział 13, s. 28), ale tutaj stosujemy ją w uproszczonej postaci - bez korzystania z gotowego wzoru tablicowego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra tysięcy **nie może być 0** - liczba czterocyfrowa zaczyna się od \\(1\\) do \\(9\\). Gdybyś wziął 10 wartości dla \\(A\\), wynik byłby błędny (700 zamiast 630).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra jedności musi być cyfrą, czyli \\(D \\leq 9\\). Łatwo zapomnieć o tym ograniczeniu i błędnie założyć, że \\(B\\) ma 10 wartości (0-9) zamiast 7.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra dziesiątek \\(C\\) **nie bierze udziału w warunku** - jest całkowicie swobodna. Pamiętaj, żeby jej nie pominąć w rachunku (błąd: \\(9 \\cdot 7 = 63\\) zamiast \\(9 \\cdot 7 \\cdot 10 = 630\\)).\n\n**Odpowiedź: \\(630\\) liczb.**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba czterocyfrowa \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a\\) - tysiące, \\(b\\) - setki, \\(c\\) - dziesiątki, \\(d\\) - jedności.\n\n**Warunki:**\n- \\(a \\in \\{1,2,\\ldots,9\\}\\) - \\(9\\) możliwości (nie może być \\(0\\), bo liczba ma być czterocyfrowa).\n- \\(c \\in \\{0,1,\\ldots,9\\}\\) - \\(10\\) możliwości.\n- \\(d = b+3\\) oraz \\(d \\in \\{0,\\ldots,9\\}\\), więc \\(b+3 \\le 9\\), czyli \\(b \\in \\{0,1,2,3,4,5,6\\}\\) - \\(7\\) możliwości.\n\nŁącznie:\n\\[9\\cdot 10\\cdot 7 = 630.\\]\n\n### Sposób 2 - Wypisywanie par \\((b,d)\\)\nPary \\((b,d)\\) spełniające \\(d = b+3\\): \\((0,3), (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8), (6,9)\\) - 7 par.\nDla każdej pary: \\(9\\cdot 10 = 90\\) wariantów \\((a, c)\\).\nRazem: \\(7\\cdot 90 = 630\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie dla szczególnego przypadku\nJeśli \\((b, d) = (0, 3)\\): liczby postaci \\(\\overline{a03}\\ldots\\) wait - ułożenie \\(\\overline{a b c d} = \\overline{a 0 c 3}\\), dla \\(a\\in\\{1,\\ldots,9\\}\\), \\(c\\in\\{0,\\ldots,9\\}\\) daje 90 liczb. Dla 7 par: \\(630\\).\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za wypisanie wszystkich możliwości obsadzenia cyfry setek i jedności (7 możliwości) albo za zauważenie \\(9\\) możliwości tysięcy i \\(10\\) dziesiątek.\n2 pkt za poprawny wynik \\(630\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Zapominanie, że cyfra tysięcy nie może być \\(0\\).\n- Pomyłka z zakresem cyfry setek: \\(b \\le 6\\), nie \\(\\le 9\\).\n- Błąd w mnożeniu 9·10·7.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"funkcje","page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 29. (2 pkt)<br>Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f ( x ) określonej dla<br>7,8<br><br>x<br>-8<br>-7<br>-6<br>-5<br>-4<br>-3<br>-2<br>-1<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>6<br>7<br>8<br>-8<br>-7<br>-6<br>-5<br>-4<br>-3<br>-2<br>-1<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>6<br>7<br>8<br>x<br>y<br>Odczytaj z wykresu i zapisz:<br>a) największą wartość funkcji f ,<br>b) zbiór rozwiązań nierówności<br>0<br><br>f ( x )<br>Nr zadania<br>28.<br>29.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>14<br>Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x w (-7,8). Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji f, b) Funkcja f(x) ma wartości ujemne dla x w (-3,5).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: <strong>630</strong></h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie (analiza cyfr)</h4>\n<p>Czterocyfrowa liczba naturalna ma postać \\(\\overline{ABCD}\\), gdzie:</p>\n<ul><li>\\(A\\) - cyfra <strong>tysięcy</strong> (\\(A \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\), bo liczba musi być czterocyfrowa)</li><li>\\(B\\) - cyfra <strong>setek</strong> (\\(B \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\))</li><li>\\(C\\) - cyfra <strong>dziesiątek</strong> (\\(C \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\))</li><li>\\(D\\) - cyfra <strong>jedności</strong> (\\(D \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\))</li></ul>\n<p><strong>Warunek zadania:</strong> \\(D = B + 3\\)</p>\n<p><strong>Krok 1 - Wyznacz możliwe wartości \\(B\\).</strong></p>\n<p>Musimy mieć \\(D \\leq 9\\), czyli:<br>\\[B + 3 \\leq 9 \\implies B \\leq 6\\]</p>\n<p>Zatem \\(B \\in \\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\) - <strong>7 możliwości</strong>.</p>\n<p>Dla każdej wartości \\(B\\) cyfra \\(D\\) jest <strong>jednoznacznie wyznaczona</strong>: \\(D = B + 3\\).</p>\n<p><strong>Krok 2 - Policz wybory dla każdej pozycji.</strong></p>\n<p>| Pozycja | Możliwe wartości | Liczba wyborów |<br>| \\(A\\) (tysiące) | \\(1, 2, \\ldots, 9\\) | <strong>9</strong> |<br>| \\(B\\) (setki) | \\(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\) | <strong>7</strong> |<br>| \\(C\\) (dziesiątki) | \\(0, 1, 2, \\ldots, 9\\) | <strong>10</strong> |<br>| \\(D\\) (jedności) | wyznaczone przez \\(B\\) | <strong>1</strong> |</p>\n<p><strong>Krok 3 - Zastosuj regułę mnożenia.</strong></p>\n<p>Pozycje są od siebie niezależne (wybór \\(A\\) nie wpływa na wybór \\(B\\) itd.), zatem:<br>\\[N = 9 \\cdot 7 \\cdot 10 \\cdot 1 = \\mathbf{630}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Myślenie przez pary \\((B, D)\\)</h4>\n<p>Zamiast analizować cyfry oddzielnie, skupmy się na <strong>parach (setki, jedności)</strong> spełniających warunek \\(D = B + 3\\):</p>\n<p>\\[(B, D) \\in \\{(0,3),\\ (1,4),\\ (2,5),\\ (3,6),\\ (4,7),\\ (5,8),\\ (6,9)\\}\\]</p>\n<p>Mamy dokładnie <strong>7 dozwolonych par</strong> \\((B, D)\\).</p>\n<p>Dla każdej takiej pary:</p>\n<ul><li>cyfra tysięcy \\(A\\): 9 wyborów (\\(1\\) do \\(9\\))</li><li>cyfra dziesiątek \\(C\\): 10 wyborów (\\(0\\) do \\(9\\))</li></ul>\n<p>Łącznie:<br>\\[N = 7 \\cdot 9 \\cdot 10 = \\mathbf{630}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy <strong>reguła mnożenia</strong> (zasada iloczynu kartezjańskiego) z kombinatoryki:</p>\n<blockquote>Jeśli wybór składa się z \\(k\\) niezależnych kroków, w których \\(k\\)-ty krok można wykonać na \\(n_k\\) sposobów, to całkowita liczba sposobów wynosi \\(n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k\\).</blockquote>\n<p>Formalnie jest to wariacja z powtórzeniami (Dział 13, s. 28), ale tutaj stosujemy ją w uproszczonej postaci - bez korzystania z gotowego wzoru tablicowego.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cyfra tysięcy <strong>nie może być 0</strong> - liczba czterocyfrowa zaczyna się od \\(1\\) do \\(9\\). Gdybyś wziął 10 wartości dla \\(A\\), wynik byłby błędny (700 zamiast 630).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cyfra jedności musi być cyfrą, czyli \\(D \\leq 9\\). Łatwo zapomnieć o tym ograniczeniu i błędnie założyć, że \\(B\\) ma 10 wartości (0-9) zamiast 7.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cyfra dziesiątek \\(C\\) <strong>nie bierze udziału w warunku</strong> - jest całkowicie swobodna. Pamiętaj, żeby jej nie pominąć w rachunku (błąd: \\(9 \\cdot 7 = 63\\) zamiast \\(9 \\cdot 7 \\cdot 10 = 630\\)).</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(630\\) liczb.</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Reguła mnożenia</h5>\n<p>Liczba czterocyfrowa \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a\\) - tysiące, \\(b\\) - setki, \\(c\\) - dziesiątki, \\(d\\) - jedności.</p>\n<p><strong>Warunki:</strong></p>\n<ul><li>\\(a \\in \\{1,2,\\ldots,9\\}\\) - \\(9\\) możliwości (nie może być \\(0\\), bo liczba ma być czterocyfrowa).</li><li>\\(c \\in \\{0,1,\\ldots,9\\}\\) - \\(10\\) możliwości.</li><li>\\(d = b+3\\) oraz \\(d \\in \\{0,\\ldots,9\\}\\), więc \\(b+3 \\le 9\\), czyli \\(b \\in \\{0,1,2,3,4,5,6\\}\\) - \\(7\\) możliwości.</li></ul>\n<p>Łącznie:<br>\\[9\\cdot 10\\cdot 7 = 630.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wypisywanie par \\((b,d)\\)</h5>\n<p>Pary \\((b,d)\\) spełniające \\(d = b+3\\): \\((0,3), (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8), (6,9)\\) - 7 par.<br>Dla każdej pary: \\(9\\cdot 10 = 90\\) wariantów \\((a, c)\\).<br>Razem: \\(7\\cdot 90 = 630\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Sprawdzenie dla szczególnego przypadku</h5>\n<p>Jeśli \\((b, d) = (0, 3)\\): liczby postaci \\(\\overline{a03}\\ldots\\) wait - ułożenie \\(\\overline{a b c d} = \\overline{a 0 c 3}\\), dla \\(a\\in\\{1,\\ldots,9\\}\\), \\(c\\in\\{0,\\ldots,9\\}\\) daje 90 liczb. Dla 7 par: \\(630\\).</p>\n<h5>Zgodnie z CKE</h5>\n<p>1 pkt za wypisanie wszystkich możliwości obsadzenia cyfry setek i jedności (7 możliwości) albo za zauważenie \\(9\\) możliwości tysięcy i \\(10\\) dziesiątek.<br>2 pkt za poprawny wynik \\(630\\).</p>\n<h5>Gdzie uczniowie popełniają błędy</h5>\n<ul><li>Zapominanie, że cyfra tysięcy nie może być \\(0\\).</li><li>Pomyłka z zakresem cyfry setek: \\(b \\le 6\\), nie \\(\\le 9\\).</li><li>Błąd w mnożeniu 9·10·7.</li></ul>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>a) $7$, b) $(-3, 5)$</p>"}]}