{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n2\nlog100\nlog 8\n\njest równa\nA.\n2\n\nB.\n1\n\nC. 0\nD. 1\nLiczba log100 - log_2 8 jest równa A. -2, B. -1, C. 0, D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWykonanie obliczeń z zastosowaniem\nwzorów na logarytm iloczynu, logarytm\nilorazu i logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym (I.1.h)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-1\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie każdego logarytmu\n\nObliczamy każdy logarytm osobno, korzystając z definicji logarytmu.\n\n**Krok 1: \\(\\log 100\\)**\n\nZapis \\(\\log\\) bez podstawy oznacza \\(\\log_{10}\\) (logarytm dziesiętny).\n\n\\[\\log 100 = \\log_{10} 100 = \\log_{10} 10^2 = 2\\]\n\nbo \\(10^2 = 100\\) - to właśnie definicja logarytmu: \"na jaką potęgę podnieść podstawę, żeby dostać argument\".\n\n**Krok 2: \\(\\log_2 8\\)**\n\n\\[\\log_2 8 = \\log_2 2^3 = 3\\]\n\nbo \\(2^3 = 8\\).\n\n**Krok 3: Odejmowanie**\n\n\\[\\log 100 - \\log_2 8 = 2 - 3 = \\mathbf{-1}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez definicję\n\nSprawdzamy wprost, pytając: \"co to za wykładnik?\"\n\n- \\(\\log_{10} 100 = ?\\) - szukamy \\(c\\) takiego, że \\(10^c = 100\\). Odpowiedź: \\(c = 2\\). ✓\n- \\(\\log_2 8 = ?\\) - szukamy \\(c\\) takiego, że \\(2^c = 8\\). Odpowiedź: \\(c = 3\\). ✓\n\nZatem:\n\\[2 - 3 = -1\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej dwukrotnie: do obliczenia \\(\\log_{10} 100 = 2\\) oraz \\(\\log_2 8 = 3\\).\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nAlternatywnie: \\(\\log_{10} 10^2 = 2 \\cdot \\log_{10} 10 = 2 \\cdot 1 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-2)\\) | Uczeń liczy \\(\\log 100 = 2\\), ale błędnie zakłada \\(\\log_2 8 = 4\\) (np. myli \\(2^4 = 16\\)) - wychodzi \\(2 - 4 = -2\\) |\n| C \\((0)\\) | Uczeń błędnie liczy \\(\\log 100 = 3\\) (jakby podstawa była 2), a \\(\\log_2 8 = 3\\), więc \\(3 - 3 = 0\\) |\n| D \\((1)\\) | Uczeń odwraca kolejność: liczy \\(\\log_2 8 - \\log 100 = 3 - 2 = 1\\) zamiast \\(2 - 3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log\\) bez podstawy to zawsze \\(\\log_{10}\\), nie \\(\\log_2\\)! To konwencja matematyczna i tak jest na karcie CKE.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm daje WYKŁADNIK - \\(\\log_2 8 = 3\\), bo \\(2^3 = 8\\), nie bo \\(8/2 = 4\\) czy inne dzielenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie można \"łączyć\" logarytmów o różnych podstawach wzorami \\(\\log x - \\log y = \\log\\frac{x}{y}\\) - ten wzór działa tylko gdy OBIE podstawy są jednakowe!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie każdego logarytmu\n\\(\\log 100\\) to logarytm dziesiętny (podstawa \\(10\\)):\n\\[\\log 100 = \\log_{10} 10^{2} = 2.\\]\n\\(\\log_{2} 8\\):\n\\[\\log_{2} 8 = \\log_{2} 2^{3} = 3.\\]\nZatem:\n\\[\\log 100 - \\log_{2} 8 = 2 - 3 = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Definicja logarytmu\n\\(\\log_{a} b = c \\iff a^{c} = b\\). Szukamy wykładnika:\n- \\(10^{x} = 100 \\Rightarrow x = 2\\),\n- \\(2^{y} = 8 \\Rightarrow y = 3\\).\n\nRóżnica: \\(2 - 3 = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-2\\)** - zakładałby \\(\\log 100 = 1\\) (pomylenie z \\(\\log 10\\)).\n- **C. \\(0\\)** - błąd polegający na dodaniu zamiast odjęcia lub \\(\\log_{2}8 = 2\\).\n- **D. \\(1\\)** - zły znak różnicy (\\(3-2\\) zamiast \\(2-3\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log\\) bez indeksu to zawsze \\(\\log_{10}\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (1 pkt)<br>Liczba<br>2<br>log100<br>log 8<br><br>jest równa<br>A.<br>2<br><br>B.<br>1<br><br>C. 0<br>D. 1<br>Liczba log100 - log_2 8 jest równa A. -2, B. -1, C. 0, D. 1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Wykonanie obliczeń z zastosowaniem<br>wzorów na logarytm iloczynu, logarytm<br>ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku<br>naturalnym (I.1.h)<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(-1\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie każdego logarytmu</h4>\n<p>Obliczamy każdy logarytm osobno, korzystając z definicji logarytmu.</p>\n<p><strong>Krok 1: \\(\\log 100\\)</strong></p>\n<p>Zapis \\(\\log\\) bez podstawy oznacza \\(\\log_{10}\\) (logarytm dziesiętny).</p>\n<p>\\[\\log 100 = \\log_{10} 100 = \\log_{10} 10^2 = 2\\]</p>\n<p>bo \\(10^2 = 100\\) - to właśnie definicja logarytmu: &quot;na jaką potęgę podnieść podstawę, żeby dostać argument&quot;.</p>\n<p><strong>Krok 2: \\(\\log_2 8\\)</strong></p>\n<p>\\[\\log_2 8 = \\log_2 2^3 = 3\\]</p>\n<p>bo \\(2^3 = 8\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Odejmowanie</strong></p>\n<p>\\[\\log 100 - \\log_2 8 = 2 - 3 = \\mathbf{-1}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez definicję</h4>\n<p>Sprawdzamy wprost, pytając: &quot;co to za wykładnik?&quot;</p>\n<ul><li>\\(\\log_{10} 100 = ?\\) - szukamy \\(c\\) takiego, że \\(10^c = 100\\). Odpowiedź: \\(c = 2\\). ✓</li><li>\\(\\log_2 8 = ?\\) - szukamy \\(c\\) takiego, że \\(2^c = 8\\). Odpowiedź: \\(c = 3\\). ✓</li></ul>\n<p>Zatem:<br>\\[2 - 3 = -1\\]</p>\n<p>Wynik potwierdzony.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - definicja logarytmu:<br>\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]<br>Użyliśmy jej dwukrotnie: do obliczenia \\(\\log_{10} 100 = 2\\) oraz \\(\\log_2 8 = 3\\).</p>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - własność potęgi:<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Alternatywnie: \\(\\log_{10} 10^2 = 2 \\cdot \\log_{10} 10 = 2 \\cdot 1 = 2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A \\((-2)\\) | Uczeń liczy \\(\\log 100 = 2\\), ale błędnie zakłada \\(\\log_2 8 = 4\\) (np. myli \\(2^4 = 16\\)) - wychodzi \\(2 - 4 = -2\\) |<br>| C \\((0)\\) | Uczeń błędnie liczy \\(\\log 100 = 3\\) (jakby podstawa była 2), a \\(\\log_2 8 = 3\\), więc \\(3 - 3 = 0\\) |<br>| D \\((1)\\) | Uczeń odwraca kolejność: liczy \\(\\log_2 8 - \\log 100 = 3 - 2 = 1\\) zamiast \\(2 - 3\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\log\\) bez podstawy to zawsze \\(\\log_{10}\\), nie \\(\\log_2\\)! To konwencja matematyczna i tak jest na karcie CKE.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Logarytm daje WYKŁADNIK - \\(\\log_2 8 = 3\\), bo \\(2^3 = 8\\), nie bo \\(8/2 = 4\\) czy inne dzielenie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie można &quot;łączyć&quot; logarytmów o różnych podstawach wzorami \\(\\log x - \\log y = \\log\\frac{x}{y}\\) - ten wzór działa tylko gdy OBIE podstawy są jednakowe!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie każdego logarytmu</h5>\n<p>\\(\\log 100\\) to logarytm dziesiętny (podstawa \\(10\\)):<br>\\[\\log 100 = \\log_{10} 10^{2} = 2.\\]<br>\\(\\log_{2} 8\\):<br>\\[\\log_{2} 8 = \\log_{2} 2^{3} = 3.\\]<br>Zatem:<br>\\[\\log 100 - \\log_{2} 8 = 2 - 3 = -1.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Definicja logarytmu</h5>\n<p>\\(\\log_{a} b = c \\iff a^{c} = b\\). Szukamy wykładnika:</p>\n<ul><li>\\(10^{x} = 100 \\Rightarrow x = 2\\),</li><li>\\(2^{y} = 8 \\Rightarrow y = 3\\).</li></ul>\n<p>Różnica: \\(2 - 3 = -1\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-2\\)</strong> - zakładałby \\(\\log 100 = 1\\) (pomylenie z \\(\\log 10\\)).</li><li><strong>C. \\(0\\)</strong> - błąd polegający na dodaniu zamiast odjęcia lub \\(\\log_{2}8 = 2\\).</li><li><strong>D. \\(1\\)</strong> - zły znak różnicy (\\(3-2\\) zamiast \\(2-3\\)).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(\\log\\) bez indeksu to zawsze \\(\\log_{10}\\).</p>"}]}