{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n\n\n\n2\n2x\n7x\n5\n0 .\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nNierówność kwadratowa 2x^2-7x+5 >= 0. Liczenie delty, pierwiastków wyrażenia kwadratowego, rysowanie wykresu funkcji kwadratowej i odczytanie z wykresu rozwiązania nierówności.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: (dowód)\n\nWykażemy, że $(1+2013^2)(1+2013^4)$ dzieli $1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7$, pokazując wprost, że iloraz tych dwóch liczb jest całkowitą liczbą naturalną.\n\nDla zwięzłości oznaczmy \\(a = 2013\\).\n\n## Sposób 1 - Suma geometryczna i faktoryzacja \\(a^8 - 1\\)\n\n**Krok 1: Zapisz mianownik jako sumę geometryczną.**\n\nWyrażenie \\(1 + a + a^2 + \\ldots + a^7\\) to suma geometryczna o ilorazie \\(a\\) i 8 wyrazach. Ze wzoru na sumę:\n\\[\n1 + a + a^2 + \\ldots + a^7 = \\frac{a^8 - 1}{a - 1}\n\\]\nPonieważ \\(a = 2013\\), mamy \\(a - 1 = 2012 \\neq 0\\), więc dzielenie jest poprawne.\n\n**Krok 2: Rozkład \\(a^8 - 1\\) na czynniki.**\n\nKorzystamy wielokrotnie ze wzoru na różnicę kwadratów \\(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\\):\n\\[\na^8 - 1 = (a^4)^2 - 1^2 = (a^4 - 1)(a^4 + 1)\n\\]\n\\[\na^4 - 1 = (a^2)^2 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)\n\\]\n\\[\na^2 - 1 = (a-1)(a+1)\n\\]\n\nŁącząc wszystko:\n\\[\na^8 - 1 = (a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)\n\\]\n\n**Krok 3: Podstaw z powrotem.**\n\n\\[\n1 + a + a^2 + \\ldots + a^7 = \\frac{(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)}{a-1} = (a+1)(a^2+1)(a^4+1)\n\\]\n\n**Krok 4: Wniosek.**\n\nMamy tożsamość:\n\\[\n1 + a + a^2 + \\ldots + a^7 = \\underbrace{(1+a^2)(1+a^4)}_{\\text{nasz dzielnik}} \\cdot (1+a)\n\\]\n\nIloraz:\n\\[\n\\frac{1 + a + a^2 + \\ldots + a^7}{(1+a^2)(1+a^4)} = 1 + a = 1 + 2013 = 2014\n\\]\n\nSkoro \\(2014\\) jest liczbą naturalną, to \\((1+2013^2)(1+2013^4)\\) **dzieli** \\(1+2013+2013^2+\\ldots+2013^7\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Mnożenie wprost (weryfikacja)\n\nPokażemy bezpośrednio, że:\n\\[\n(1+a^2)(1+a^4) \\cdot (1+a) = 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7\n\\]\n\n**Krok 1:** Wymnóż dwa pierwsze czynniki:\n\\[\n(1+a^2)(1+a^4) = 1 \\cdot 1 + 1 \\cdot a^4 + a^2 \\cdot 1 + a^2 \\cdot a^4 = 1 + a^2 + a^4 + a^6\n\\]\n\n**Krok 2:** Pomnóż wynik przez \\((1+a)\\):\n\\[\n(1 + a^2 + a^4 + a^6)(1 + a)\n\\]\n\\[\n= 1 \\cdot (1+a) + a^2 \\cdot (1+a) + a^4 \\cdot (1+a) + a^6 \\cdot (1+a)\n\\]\n\\[\n= (1 + a) + (a^2 + a^3) + (a^4 + a^5) + (a^6 + a^7)\n\\]\n\\[\n= 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7 \\quad \\checkmark\n\\]\n\nTożsamość zachodzi dla każdego \\(a\\), w szczególności dla \\(a = 2013\\). Wynika stąd, że:\n\\[\n\\frac{1 + 2013 + 2013^2 + \\ldots + 2013^7}{(1+2013^2)(1+2013^4)} = 1 + 2013 = 2014 \\in \\mathbb{N}\n\\]\nco kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nZastosowaliśmy ten wzór trzykrotnie przy rozkładzie \\(a^8 - 1\\) (dla \\(a^4, a^2, a\\)).\n\n**Dział 8 (Ciągi geometryczne, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\nSuma \\(1 + a + a^2 + \\ldots + a^7\\) to \\(S_8\\) dla \\(a_1 = 1, q = a = 2013\\), co daje \\(\\frac{a^8 - 1}{a - 1}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić przykładowo dla małej liczby (np. \\(a=2\\)) - to nie jest dowód! Należy pokazać, że tożsamość zachodzi algebraicznie dla **każdego** \\(a\\), a w szczególności dla \\(a = 2013\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów próbuje liczyć te liczby \"na wprost\" - to błąd, bo \\(2013^8\\) to gigantyczna liczba (~\\(10^{26}\\)). Klucz to faktoryzacja symboliczna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wielokrotnym stosowaniu różnicy kwadratów łatwo zgubić czynnik. Sprawdzaj każdy krok: \\(a^8-1 \\to (a^4-1)(a^4+1) \\to (a^2-1)(a^2+1)(a^4+1) \\to (a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)\\). Dopiero po pełnym rozkładzie skracaj \\((a-1)\\).\n\n**Odpowiedź: wykazano poniżej.**\n\n### Sposób 1 - Grupowanie po parach\nOznaczmy \\(x=2013\\). Sumę \\(S = 1+x+x^{2}+\\ldots+x^{7}\\) grupujemy po dwa:\n\\[S = (1+x) + x^{2}(1+x) + x^{4}(1+x) + x^{6}(1+x) = (1+x)(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}).\\]\nDalej grupujemy:\n\\[1+x^{2}+x^{4}+x^{6} = (1+x^{2}) + x^{4}(1+x^{2}) = (1+x^{2})(1+x^{4}).\\]\nStąd:\n\\[S = (1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}).\\]\nPonieważ \\((1+x^{2})(1+x^{4})\\) dzieli iloczyn \\((1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})=S\\), liczba \\((1+2013^{2})(1+2013^{4})\\) jest dzielnikiem \\(S\\). **CKD.**\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę ciągu geometrycznego (CKE)\n\\(S\\) to suma ośmiu wyrazów ciągu geometrycznego o \\(a_{1}=1\\), \\(q=2013\\):\n\\[S = \\dfrac{1-2013^{8}}{1-2013} = \\dfrac{(1-2013^{4})(1+2013^{4})}{1-2013} = \\dfrac{(1-2013^{2})(1+2013^{2})(1+2013^{4})}{1-2013}.\\]\nDalej \\(1-2013^{2} = (1-2013)(1+2013)\\), więc:\n\\[S = \\dfrac{(1-2013)(1+2013)(1+2013^{2})(1+2013^{4})}{1-2013} = (1+2013)(1+2013^{2})(1+2013^{4}) = 2014\\cdot(1+2013^{2})(1+2013^{4}).\\]\nZatem \\((1+2013^{2})(1+2013^{4})\\) dzieli \\(S\\).\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za zapisanie sumy w postaci \\((1+2013)(1+2013^{2}+2013^{4}+2013^{6})\\) bez dalszego rozumowania.\n2 pkt za pełne rozumowanie.\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Nie dostrzegają symetrii sumy i nie grupują wyrazów.\n- Próbują podstawić konkretne wartości zamiast rozkładać algebraicznie.\n- Pomijają finalny krok podzielności.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność



2
2x
7x
5
0 .
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
15
Nierówność kwadratowa 2x^2-7x+5 >= 0. Liczenie delty, pierwiastków wyrażenia kwadratowego, rysowanie wykresu funkcji kwadratowej i odczytanie z wykresu rozwiązania nierówności.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: (dowód)

\n

Wykażemy, że $(1+2013^2)(1+2013^4)$ dzieli $1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7$, pokazując wprost, że iloraz tych dwóch liczb jest całkowitą liczbą naturalną.

\n

Dla zwięzłości oznaczmy \\(a = 2013\\).

\n

Sposób 1 - Suma geometryczna i faktoryzacja \\(a^8 - 1\\)

\n

Krok 1: Zapisz mianownik jako sumę geometryczną.

\n

Wyrażenie \\(1 + a + a^2 + \\ldots + a^7\\) to suma geometryczna o ilorazie \\(a\\) i 8 wyrazach. Ze wzoru na sumę:
\\[
1 + a + a^2 + \\ldots + a^7 = \\frac{a^8 - 1}{a - 1}
\\]
Ponieważ \\(a = 2013\\), mamy \\(a - 1 = 2012 \\neq 0\\), więc dzielenie jest poprawne.

\n

Krok 2: Rozkład \\(a^8 - 1\\) na czynniki.

\n

Korzystamy wielokrotnie ze wzoru na różnicę kwadratów \\(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\\):
\\[
a^8 - 1 = (a^4)^2 - 1^2 = (a^4 - 1)(a^4 + 1)
\\]
\\[
a^4 - 1 = (a^2)^2 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)
\\]
\\[
a^2 - 1 = (a-1)(a+1)
\\]

\n

Łącząc wszystko:
\\[
a^8 - 1 = (a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)
\\]

\n

Krok 3: Podstaw z powrotem.

\n

\\[
1 + a + a^2 + \\ldots + a^7 = \\frac{(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)}{a-1} = (a+1)(a^2+1)(a^4+1)
\\]

\n

Krok 4: Wniosek.

\n

Mamy tożsamość:
\\[
1 + a + a^2 + \\ldots + a^7 = \\underbrace{(1+a^2)(1+a^4)}_{\\text{nasz dzielnik}} \\cdot (1+a)
\\]

\n

Iloraz:
\\[
\\frac{1 + a + a^2 + \\ldots + a^7}{(1+a^2)(1+a^4)} = 1 + a = 1 + 2013 = 2014
\\]

\n

Skoro \\(2014\\) jest liczbą naturalną, to \\((1+2013^2)(1+2013^4)\\) dzieli \\(1+2013+2013^2+\\ldots+2013^7\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Mnożenie wprost (weryfikacja)

\n

Pokażemy bezpośrednio, że:
\\[
(1+a^2)(1+a^4) \\cdot (1+a) = 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7
\\]

\n

Krok 1: Wymnóż dwa pierwsze czynniki:
\\[
(1+a^2)(1+a^4) = 1 \\cdot 1 + 1 \\cdot a^4 + a^2 \\cdot 1 + a^2 \\cdot a^4 = 1 + a^2 + a^4 + a^6
\\]

\n

Krok 2: Pomnóż wynik przez \\((1+a)\\):
\\[
(1 + a^2 + a^4 + a^6)(1 + a)
\\]
\\[
= 1 \\cdot (1+a) + a^2 \\cdot (1+a) + a^4 \\cdot (1+a) + a^6 \\cdot (1+a)
\\]
\\[
= (1 + a) + (a^2 + a^3) + (a^4 + a^5) + (a^6 + a^7)
\\]
\\[
= 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7 \\quad \\checkmark
\\]

\n

Tożsamość zachodzi dla każdego \\(a\\), w szczególności dla \\(a = 2013\\). Wynika stąd, że:
\\[
\\frac{1 + 2013 + 2013^2 + \\ldots + 2013^7}{(1+2013^2)(1+2013^4)} = 1 + 2013 = 2014 \\in \\mathbb{N}
\\]
co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Zastosowaliśmy ten wzór trzykrotnie przy rozkładzie \\(a^8 - 1\\) (dla \\(a^4, a^2, a\\)).

\n

Dział 8 (Ciągi geometryczne, s. 9-10) - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:
\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]
Suma \\(1 + a + a^2 + \\ldots + a^7\\) to \\(S_8\\) dla \\(a_1 = 1, q = a = 2013\\), co daje \\(\\frac{a^8 - 1}{a - 1}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy sprawdzić przykładowo dla małej liczby (np. \\(a=2\\)) - to nie jest dowód! Należy pokazać, że tożsamość zachodzi algebraicznie dla każdego \\(a\\), a w szczególności dla \\(a = 2013\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów próbuje liczyć te liczby "na wprost" - to błąd, bo \\(2013^8\\) to gigantyczna liczba (~\\(10^{26}\\)). Klucz to faktoryzacja symboliczna.
\n
⚠️ Uwaga: Przy wielokrotnym stosowaniu różnicy kwadratów łatwo zgubić czynnik. Sprawdzaj każdy krok: \\(a^8-1 \\to (a^4-1)(a^4+1) \\to (a^2-1)(a^2+1)(a^4+1) \\to (a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)\\). Dopiero po pełnym rozkładzie skracaj \\((a-1)\\).
\n

Odpowiedź: wykazano poniżej.

\n
Sposób 1 - Grupowanie po parach
\n

Oznaczmy \\(x=2013\\). Sumę \\(S = 1+x+x^{2}+\\ldots+x^{7}\\) grupujemy po dwa:
\\[S = (1+x) + x^{2}(1+x) + x^{4}(1+x) + x^{6}(1+x) = (1+x)(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}).\\]
Dalej grupujemy:
\\[1+x^{2}+x^{4}+x^{6} = (1+x^{2}) + x^{4}(1+x^{2}) = (1+x^{2})(1+x^{4}).\\]
Stąd:
\\[S = (1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}).\\]
Ponieważ \\((1+x^{2})(1+x^{4})\\) dzieli iloczyn \\((1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})=S\\), liczba \\((1+2013^{2})(1+2013^{4})\\) jest dzielnikiem \\(S\\). CKD.

\n
Sposób 2 - Wzór na sumę ciągu geometrycznego (CKE)
\n

\\(S\\) to suma ośmiu wyrazów ciągu geometrycznego o \\(a_{1}=1\\), \\(q=2013\\):
\\[S = \\dfrac{1-2013^{8}}{1-2013} = \\dfrac{(1-2013^{4})(1+2013^{4})}{1-2013} = \\dfrac{(1-2013^{2})(1+2013^{2})(1+2013^{4})}{1-2013}.\\]
Dalej \\(1-2013^{2} = (1-2013)(1+2013)\\), więc:
\\[S = \\dfrac{(1-2013)(1+2013)(1+2013^{2})(1+2013^{4})}{1-2013} = (1+2013)(1+2013^{2})(1+2013^{4}) = 2014\\cdot(1+2013^{2})(1+2013^{4}).\\]
Zatem \\((1+2013^{2})(1+2013^{4})\\) dzieli \\(S\\).

\n
Zgodnie z CKE
\n

1 pkt za zapisanie sumy w postaci \\((1+2013)(1+2013^{2}+2013^{4}+2013^{6})\\) bez dalszego rozumowania.
2 pkt za pełne rozumowanie.

\n
Gdzie uczniowie popełniają błędy
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in (-\\infty, 1\\rangle \\cup \\left\\langle \\dfrac{5}{2}, +\\infty\\right)$

"}]}