{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nWykaż, że liczba\n98\n99\n100\n6\n10\n6\n2\n6\n\n\n\n\njest podzielna przez 17.\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nWykaż, że 6^{100} - 2⋅6^{99} + 10⋅6^{98} jest podzielna przez 17.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(q = 3\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie ilorazu ze wzoru ogólnego\n\nIloraz ciągu geometrycznego to stosunek dowolnego wyrazu do wyrazu poprzedniego:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nZapisujemy \\(a_{n+1}\\), podstawiając \\(n+1\\) w miejsce \\(n\\) we wzorze \\(a_n = 7 \\cdot 3^{n+1}\\):\n\\[a_{n+1} = 7 \\cdot 3^{(n+1)+1} = 7 \\cdot 3^{n+2}\\]\n\nDzielimy:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{7 \\cdot 3^{n+2}}{7 \\cdot 3^{n+1}}\\]\n\nSkracamy \\(7\\) oraz korzystamy z prawa dzielenia potęg o tej samej podstawie:\n\\[q = \\frac{3^{n+2}}{3^{n+1}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3^1\\]\n\n\\[\\boxed{q = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - obliczenie kilku wyrazów i sprawdzenie stosunku\n\nObliczamy pierwsze wyrazy ciągu wprost ze wzoru:\n\n\\[a_1 = 7 \\cdot 3^{1+1} = 7 \\cdot 3^2 = 7 \\cdot 9 = 63\\]\n\\[a_2 = 7 \\cdot 3^{2+1} = 7 \\cdot 3^3 = 7 \\cdot 27 = 189\\]\n\\[a_3 = 7 \\cdot 3^{3+1} = 7 \\cdot 3^4 = 7 \\cdot 81 = 567\\]\n\nSprawdzamy stosunek kolejnych wyrazów:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{189}{63} = 3\\]\n\\[\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{567}{189} = 3\\]\n\n**Stosunek jest stały i równa się \\(3\\) - potwierdzenie, że \\(q = 3\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz definicja ilorazu:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nPrzydało się to w Sposobie 1 - podzieliliśmy \\(a_{n+1}\\) przez \\(a_n\\), by wyeliminować zmienną \\(n\\) i otrzymać stałą wartość ilorazu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o iloraz \\(q\\), nie o pierwszy wyraz \\(a_1\\). Łatwo się pomylić i podać \\(a_1 = 63\\) jako odpowiedź - to nie jest iloraz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wykładnika \\(n+1\\) z postacią wzoru na wyraz ciągu geometrycznego \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\). Tu \\(7\\) **nie jest** pierwszym wyrazem ciągu - pierwszym wyrazem jest \\(a_1 = 7 \\cdot 3^2 = 63\\). Czynnik \\(3^{n+1}\\) zawiera zarówno iloraz, jak i część wartości \\(a_1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ponieważ \\(q = 3 > 1\\), ciąg jest rozbieżny - wyrazy rosną do nieskończoności. Wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego (\\(S = \\frac{a_1}{1-q}\\)) **nie ma tu zastosowania**.\n\n**Odpowiedź: \\(q=3\\).**\n\n### Sposób 1 - Iloraz dwóch kolejnych wyrazów\nObliczamy \\(a_{1}\\) i \\(a_{2}\\):\n\\[a_{1} = 7\\cdot 3^{2} = 63, \\quad a_{2} = 7\\cdot 3^{3} = 189.\\]\nIloraz:\n\\[q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{189}{63} = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie wzoru do postaci standardowej\nWzór \\(a_{n} = 7\\cdot 3^{n+1} = 7\\cdot 3\\cdot 3^{n} = 21\\cdot 3^{n} = 63\\cdot 3^{n-1}\\).\nPorównując z \\(a_{n} = a_{1}\\cdot q^{n-1}\\), widzimy \\(a_{1}=63\\), \\(q=3\\).\n\n### Sposób 3 - Iloraz ogólny\nDla dowolnego \\(n\\):\n\\[q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \\dfrac{7\\cdot 3^{n+2}}{7\\cdot 3^{n+1}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3.\\]\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za obliczenie dwóch kolejnych wyrazów i zapisanie relacji \\(a_{2}=a_{1}\\cdot q\\), lub za obliczenie \\(a_{1}\\) i zapisanie \\(a_{n}=63\\cdot 3^{n-1}\\).\n2 pkt za \\(q=3\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Mylą \\(3^{n+1}\\) z \\((3n+1)\\).\n- Obliczają \\(a_{1}\\) błędnie (np. \\(a_{1} = 7\\cdot 3 = 21\\) zamiast \\(63\\)).\n- Pomija \\(\\pm\\) i zapominają, że geometryczny ciąg ma stały iloraz.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":15,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Wykaż, że liczba
98
99
100
6
10
6
2
6




jest podzielna przez 17.
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Wypełnia
egzaminator
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
16
Wykaż, że 6^{100} - 2⋅6^{99} + 10⋅6^{98} jest podzielna przez 17.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(q = 3\\)

\n

Sposób 1 - wyznaczenie ilorazu ze wzoru ogólnego

\n

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek dowolnego wyrazu do wyrazu poprzedniego:
\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]

\n

Zapisujemy \\(a_{n+1}\\), podstawiając \\(n+1\\) w miejsce \\(n\\) we wzorze \\(a_n = 7 \\cdot 3^{n+1}\\):
\\[a_{n+1} = 7 \\cdot 3^{(n+1)+1} = 7 \\cdot 3^{n+2}\\]

\n

Dzielimy:
\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{7 \\cdot 3^{n+2}}{7 \\cdot 3^{n+1}}\\]

\n

Skracamy \\(7\\) oraz korzystamy z prawa dzielenia potęg o tej samej podstawie:
\\[q = \\frac{3^{n+2}}{3^{n+1}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3^1\\]

\n

\\[\\boxed{q = 3}\\]

\n

Sposób 2 - obliczenie kilku wyrazów i sprawdzenie stosunku

\n

Obliczamy pierwsze wyrazy ciągu wprost ze wzoru:

\n

\\[a_1 = 7 \\cdot 3^{1+1} = 7 \\cdot 3^2 = 7 \\cdot 9 = 63\\]
\\[a_2 = 7 \\cdot 3^{2+1} = 7 \\cdot 3^3 = 7 \\cdot 27 = 189\\]
\\[a_3 = 7 \\cdot 3^{3+1} = 7 \\cdot 3^4 = 7 \\cdot 81 = 567\\]

\n

Sprawdzamy stosunek kolejnych wyrazów:
\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{189}{63} = 3\\]
\\[\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{567}{189} = 3\\]

\n

Stosunek jest stały i równa się \\(3\\) - potwierdzenie, że \\(q = 3\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
oraz definicja ilorazu:
\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]

\n

Przydało się to w Sposobie 1 - podzieliliśmy \\(a_{n+1}\\) przez \\(a_n\\), by wyeliminować zmienną \\(n\\) i otrzymać stałą wartość ilorazu.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o iloraz \\(q\\), nie o pierwszy wyraz \\(a_1\\). Łatwo się pomylić i podać \\(a_1 = 63\\) jako odpowiedź - to nie jest iloraz!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić wykładnika \\(n+1\\) z postacią wzoru na wyraz ciągu geometrycznego \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\). Tu \\(7\\) nie jest pierwszym wyrazem ciągu - pierwszym wyrazem jest \\(a_1 = 7 \\cdot 3^2 = 63\\). Czynnik \\(3^{n+1}\\) zawiera zarówno iloraz, jak i część wartości \\(a_1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Ponieważ \\(q = 3 > 1\\), ciąg jest rozbieżny - wyrazy rosną do nieskończoności. Wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego (\\(S = \\frac{a_1}{1-q}\\)) nie ma tu zastosowania.
\n

Odpowiedź: \\(q=3\\).

\n
Sposób 1 - Iloraz dwóch kolejnych wyrazów
\n

Obliczamy \\(a_{1}\\) i \\(a_{2}\\):
\\[a_{1} = 7\\cdot 3^{2} = 63, \\quad a_{2} = 7\\cdot 3^{3} = 189.\\]
Iloraz:
\\[q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{189}{63} = 3.\\]

\n
Sposób 2 - Przekształcenie wzoru do postaci standardowej
\n

Wzór \\(a_{n} = 7\\cdot 3^{n+1} = 7\\cdot 3\\cdot 3^{n} = 21\\cdot 3^{n} = 63\\cdot 3^{n-1}\\).
Porównując z \\(a_{n} = a_{1}\\cdot q^{n-1}\\), widzimy \\(a_{1}=63\\), \\(q=3\\).

\n
Sposób 3 - Iloraz ogólny
\n

Dla dowolnego \\(n\\):
\\[q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \\dfrac{7\\cdot 3^{n+2}}{7\\cdot 3^{n+1}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3.\\]

\n
Zgodnie z CKE
\n

1 pkt za obliczenie dwóch kolejnych wyrazów i zapisanie relacji \\(a_{2}=a_{1}\\cdot q\\), lub za obliczenie \\(a_{1}\\) i zapisanie \\(a_{n}=63\\cdot 3^{n-1}\\).
2 pkt za \\(q=3\\).

\n
Gdzie uczniowie popełniają błędy
\n"}]}