{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nPunkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy\nwiększy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.\nB\nA\nC\nS\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nPunkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 162\\)\n\n(Zadanie otwarte - należy obliczyć objętość graniastosłupa.)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria i geometria przestrzenna\n\n**Krok 1: Wyznaczamy boki prostokąta ABCD.**\n\nNiech dłuższy bok to \\(AB = a\\), krótszy bok \\(BC = 3\\).\n\nPrzekątna \\(AC\\) tworzy z dłuższym bokiem \\(AB\\) kąt \\(30°\\). W trójkącie prostokątnym \\(ABC\\):\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{BC}{AB} = \\frac{3}{a}\\]\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{3}{a} \\implies a = \\frac{3 \\cdot 3}{\\sqrt{3}} = \\frac{9}{\\sqrt{3}} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n**Zatem \\(AB = 3\\sqrt{3}\\), \\(BC = 3\\).**\n\n**Krok 2: Obliczamy długość przekątnej podstawy.**\n\n\\[|BD| = \\sqrt{AB^2 + BC^2} = \\sqrt{(3\\sqrt{3})^2 + 3^2} = \\sqrt{27 + 9} = \\sqrt{36} = 6\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.**\n\nGraniastosłup jest prosty, więc H leży dokładnie nad D. Przekątna \\(HB\\) łączy wierzchołek \\(H\\) (górny) z \\(B\\) (dolny). Jej rzut na podstawę to odcinek \\(DB\\) o długości \\(6\\).\n\nKąt, jaki \\(HB\\) tworzy z płaszczyzną podstawy, wynosi \\(60°\\):\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|BD|} = \\frac{h}{6}\\]\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{h}{6} \\implies h = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy objętość.**\n\n\\[V = AB \\cdot BC \\cdot h = 3\\sqrt{3} \\cdot 3 \\cdot 6\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3} \\cdot 6\\sqrt{3} = 54 \\cdot 3 = \\boxed{162}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąty i weryfikacja\n\nAlternatywnie, możemy od razu wyrazić wszystko przez krótszy bok.\n\nKrótszy bok \\(BC = 3\\), kąt przekątnej z dłuższym bokiem \\(= 30°\\).\n\nStosujemy wzór na dłuższy bok przez tangens:\n\\[AB = \\frac{BC}{\\operatorname{tg} 30°} = \\frac{3}{\\frac{1}{\\sqrt{3}}} = 3\\sqrt{3}\\]\n\nPrzekątna podstawy:\n\\[d = \\frac{BC}{\\sin 30°} = \\frac{3}{\\frac{1}{2}} = 6\\]\n\n(Bo w trójkącie prostokątnym ABC: \\(\\sin 30° = \\frac{BC}{AC}\\), więc \\(AC = 6\\). To potwierdza wynik z Kroku 2.)\n\nWysokość z kąta \\(60°\\):\n\\[h = d \\cdot \\operatorname{tg} 60° = 6\\sqrt{3}\\]\n\nObjętość:\n\\[V = 3\\sqrt{3} \\cdot 3 \\cdot 6\\sqrt{3} = 162 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwległy}}{\\text{bok przyległy}}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia dłuższego boku prostokąta i wysokości graniastosłupa.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\ngdzie \\(P_p\\) to pole podstawy. Tutaj \\(P_p = AB \\cdot BC = 3\\sqrt{3} \\cdot 3 = 9\\sqrt{3}\\), \\(h = 6\\sqrt{3}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[|BD|^2 = AB^2 + BC^2\\]\nUżyliśmy do obliczenia przekątnej podstawy.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) jest między przekątną a **dłuższym** bokiem - nie krótszym! Pomylenie tego prowadzi do \\(AB = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(3\\sqrt{3}\\), a potem do całkowicie błędnej objętości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzutem przekątnej przestrzennej \\(HB\\) na podstawę jest **przekątna prostokąta** \\(BD\\) (nie bok!). Uczniowie często biorą krótszy lub dłuższy bok jako podstawę do tangensa - to błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) (to sinus). Przy obliczaniu wysokości łatwo pomylić wartości trygonometryczne z tabeli.\n\n**Odpowiedź: \\(V = 162\\).**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\n**Krok 1: Dłuższy bok podstawy \\(|AB|\\).**\nW trójkącie prostokątnym \\(ABD\\) (kąt prosty przy \\(A\\)): krótszy bok \\(|AD|=3\\), kąt między przekątną \\(BD\\) a dłuższym bokiem \\(AB\\) wynosi \\(30^{\\circ}\\). Zatem:\n\\[\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{3}{|AB|}.\\]\nStąd \\(|AB| = \\dfrac{3}{\\operatorname{tg} 30^{\\circ}} = \\dfrac{3}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = \\dfrac{9}{\\sqrt{3}} = 3\\sqrt{3}\\).\n\n**Krok 2: Długość przekątnej \\(|BD|\\).**\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[|BD| = \\sqrt{|AB|^{2}+|AD|^{2}} = \\sqrt{(3\\sqrt{3})^{2}+3^{2}} = \\sqrt{27+9} = \\sqrt{36} = 6.\\]\n\n**Krok 3: Pole podstawy.**\n\\[P_{ABCD} = |AB|\\cdot|AD| = 3\\sqrt{3}\\cdot 3 = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 4: Wysokość graniastosłupa \\(|DH|\\).**\nPrzekątna \\(HB\\) tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \\(60^{\\circ}\\). W trójkącie prostokątnym \\(BDH\\) (kąt prosty przy \\(D\\)):\n\\[\\operatorname{tg} 60^{\\circ} = \\dfrac{|DH|}{|BD|} = \\dfrac{|DH|}{6}.\\]\nStąd \\(|DH| = 6\\sqrt{3}\\).\n\n**Krok 5: Objętość.**\n\\[V = P_{ABCD}\\cdot |DH| = 9\\sqrt{3}\\cdot 6\\sqrt{3} = 54\\cdot 3 = 162.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie „połowy trójkąta równobocznego\" (CKE)\nTrójkąt \\(ABD\\) z kątem \\(30^{\\circ}\\) przy \\(B\\) i kątem \\(90^{\\circ}\\) przy \\(A\\) jest połową trójkąta równobocznego o boku \\(|BD|=2\\cdot |AD| = 6\\). Stąd od razu \\(|BD|=6\\), \\(|AB|=3\\sqrt{3}\\), pole podstawy \\(P=\\tfrac{6^{2}\\sqrt{3}}{4}=9\\sqrt{3}\\).\nAnalogicznie w trójkącie \\(BDH\\): kąt \\(60^{\\circ}\\) przy \\(B\\), \\(|BD|=6\\), więc \\(|DH| = 6\\sqrt{3}\\).\nObjętość: \\(V = 9\\sqrt{3}\\cdot 6\\sqrt{3} = 162\\).\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za obliczenie \\(|AB|=3\\sqrt{3}\\) lub \\(|BD|=6\\).\n2 pkt za obliczenie obu: \\(|AB|\\) i \\(|BD|\\), lub pola podstawy \\(9\\sqrt{3}\\).\n3 pkt za dodatkowe obliczenie wysokości \\(|DH|=6\\sqrt{3}\\).\n4 pkt za objętość \\(V=162\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Mylą kąt \\(30^{\\circ}\\) z bokiem dłuższym/krótszym.\n- Błąd w \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ}\\) i \\(\\operatorname{tg} 60^{\\circ}\\).\n- Pomijają krok wyznaczenia przekątnej podstawy \\(|BD|\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"planimetria","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 32. (4 pkt)<br>Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy<br>większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.<br>B<br>A<br>C<br>S</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>17<br>Odpowiedź:<br>Nr zadania<br>32.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>18<br>Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(V = 162\\)</h4>\n<p>(Zadanie otwarte - należy obliczyć objętość graniastosłupa.)</p>\n<h4>Sposób 1 - Trygonometria i geometria przestrzenna</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy boki prostokąta ABCD.</strong></p>\n<p>Niech dłuższy bok to \\(AB = a\\), krótszy bok \\(BC = 3\\).</p>\n<p>Przekątna \\(AC\\) tworzy z dłuższym bokiem \\(AB\\) kąt \\(30°\\). W trójkącie prostokątnym \\(ABC\\):<br>\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{BC}{AB} = \\frac{3}{a}\\]<br>\\[\\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{3}{a} \\implies a = \\frac{3 \\cdot 3}{\\sqrt{3}} = \\frac{9}{\\sqrt{3}} = 3\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(AB = 3\\sqrt{3}\\), \\(BC = 3\\).</strong></p>\n<p><strong>Krok 2: Obliczamy długość przekątnej podstawy.</strong></p>\n<p>\\[|BD| = \\sqrt{AB^2 + BC^2} = \\sqrt{(3\\sqrt{3})^2 + 3^2} = \\sqrt{27 + 9} = \\sqrt{36} = 6\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.</strong></p>\n<p>Graniastosłup jest prosty, więc H leży dokładnie nad D. Przekątna \\(HB\\) łączy wierzchołek \\(H\\) (górny) z \\(B\\) (dolny). Jej rzut na podstawę to odcinek \\(DB\\) o długości \\(6\\).</p>\n<p>Kąt, jaki \\(HB\\) tworzy z płaszczyzną podstawy, wynosi \\(60°\\):<br>\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|BD|} = \\frac{h}{6}\\]<br>\\[\\sqrt{3} = \\frac{h}{6} \\implies h = 6\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Obliczamy objętość.</strong></p>\n<p>\\[V = AB \\cdot BC \\cdot h = 3\\sqrt{3} \\cdot 3 \\cdot 6\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3} \\cdot 6\\sqrt{3} = 54 \\cdot 3 = \\boxed{162}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez kąty i weryfikacja</h4>\n<p>Alternatywnie, możemy od razu wyrazić wszystko przez krótszy bok.</p>\n<p>Krótszy bok \\(BC = 3\\), kąt przekątnej z dłuższym bokiem \\(= 30°\\).</p>\n<p>Stosujemy wzór na dłuższy bok przez tangens:<br>\\[AB = \\frac{BC}{\\operatorname{tg} 30°} = \\frac{3}{\\frac{1}{\\sqrt{3}}} = 3\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Przekątna podstawy:<br>\\[d = \\frac{BC}{\\sin 30°} = \\frac{3}{\\frac{1}{2}} = 6\\]</p>\n<p>(Bo w trójkącie prostokątnym ABC: \\(\\sin 30° = \\frac{BC}{AC}\\), więc \\(AC = 6\\). To potwierdza wynik z Kroku 2.)</p>\n<p>Wysokość z kąta \\(60°\\):<br>\\[h = d \\cdot \\operatorname{tg} 60° = 6\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Objętość:<br>\\[V = 3\\sqrt{3} \\cdot 3 \\cdot 6\\sqrt{3} = 162 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwległy}}{\\text{bok przyległy}}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia dłuższego boku prostokąta i wysokości graniastosłupa.</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)</strong> - objętość graniastosłupa prostego:<br>\\[V = P_p \\cdot h\\]<br>gdzie \\(P_p\\) to pole podstawy. Tutaj \\(P_p = AB \\cdot BC = 3\\sqrt{3} \\cdot 3 = 9\\sqrt{3}\\), \\(h = 6\\sqrt{3}\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[|BD|^2 = AB^2 + BC^2\\]<br>Użyliśmy do obliczenia przekątnej podstawy.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(30°\\) jest między przekątną a <strong>dłuższym</strong> bokiem - nie krótszym! Pomylenie tego prowadzi do \\(AB = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(3\\sqrt{3}\\), a potem do całkowicie błędnej objętości.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Rzutem przekątnej przestrzennej \\(HB\\) na podstawę jest <strong>przekątna prostokąta</strong> \\(BD\\) (nie bok!). Uczniowie często biorą krótszy lub dłuższy bok jako podstawę do tangensa - to błąd.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) (to sinus). Przy obliczaniu wysokości łatwo pomylić wartości trygonometryczne z tabeli.</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(V = 162\\).</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Krok po kroku</h5>\n<p><strong>Krok 1: Dłuższy bok podstawy \\(|AB|\\).</strong><br>W trójkącie prostokątnym \\(ABD\\) (kąt prosty przy \\(A\\)): krótszy bok \\(|AD|=3\\), kąt między przekątną \\(BD\\) a dłuższym bokiem \\(AB\\) wynosi \\(30^{\\circ}\\). Zatem:<br>\\[\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{3}{|AB|}.\\]<br>Stąd \\(|AB| = \\dfrac{3}{\\operatorname{tg} 30^{\\circ}} = \\dfrac{3}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = \\dfrac{9}{\\sqrt{3}} = 3\\sqrt{3}\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Długość przekątnej \\(|BD|\\).</strong><br>Z twierdzenia Pitagorasa:<br>\\[|BD| = \\sqrt{|AB|^{2}+|AD|^{2}} = \\sqrt{(3\\sqrt{3})^{2}+3^{2}} = \\sqrt{27+9} = \\sqrt{36} = 6.\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Pole podstawy.</strong><br>\\[P_{ABCD} = |AB|\\cdot|AD| = 3\\sqrt{3}\\cdot 3 = 9\\sqrt{3}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Wysokość graniastosłupa \\(|DH|\\).</strong><br>Przekątna \\(HB\\) tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \\(60^{\\circ}\\). W trójkącie prostokątnym \\(BDH\\) (kąt prosty przy \\(D\\)):<br>\\[\\operatorname{tg} 60^{\\circ} = \\dfrac{|DH|}{|BD|} = \\dfrac{|DH|}{6}.\\]<br>Stąd \\(|DH| = 6\\sqrt{3}\\).</p>\n<p><strong>Krok 5: Objętość.</strong><br>\\[V = P_{ABCD}\\cdot |DH| = 9\\sqrt{3}\\cdot 6\\sqrt{3} = 54\\cdot 3 = 162.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozpoznanie „połowy trójkąta równobocznego&quot; (CKE)</h5>\n<p>Trójkąt \\(ABD\\) z kątem \\(30^{\\circ}\\) przy \\(B\\) i kątem \\(90^{\\circ}\\) przy \\(A\\) jest połową trójkąta równobocznego o boku \\(|BD|=2\\cdot |AD| = 6\\). Stąd od razu \\(|BD|=6\\), \\(|AB|=3\\sqrt{3}\\), pole podstawy \\(P=\\tfrac{6^{2}\\sqrt{3}}{4}=9\\sqrt{3}\\).<br>Analogicznie w trójkącie \\(BDH\\): kąt \\(60^{\\circ}\\) przy \\(B\\), \\(|BD|=6\\), więc \\(|DH| = 6\\sqrt{3}\\).<br>Objętość: \\(V = 9\\sqrt{3}\\cdot 6\\sqrt{3} = 162\\).</p>\n<h5>Zgodnie z CKE</h5>\n<p>1 pkt za obliczenie \\(|AB|=3\\sqrt{3}\\) lub \\(|BD|=6\\).<br>2 pkt za obliczenie obu: \\(|AB|\\) i \\(|BD|\\), lub pola podstawy \\(9\\sqrt{3}\\).<br>3 pkt za dodatkowe obliczenie wysokości \\(|DH|=6\\sqrt{3}\\).<br>4 pkt za objętość \\(V=162\\).</p>\n<h5>Gdzie uczniowie popełniają błędy</h5>\n<ul><li>Mylą kąt \\(30^{\\circ}\\) z bokiem dłuższym/krótszym.</li><li>Błąd w \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ}\\) i \\(\\operatorname{tg} 60^{\\circ}\\).</li><li>Pomijają krok wyznaczenia przekątnej podstawy \\(|BD|\\).</li></ul>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$|\\angle BAC| = 60^{\\circ}$, $|\\angle CBA| = 45^{\\circ}$, $|\\angle ACB| = 75^{\\circ}$</p>"}]}