{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego\npole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n20\nPole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm^2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm^2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nPole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego\npole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczanie związków miarowych w wielościanach.\n(IV.9.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n16\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPole podstawy ostrosłupa jest równe 100, więc\n2\n100\na \n. Stąd\n10\na \nPole powierzchni bocznej jest równe 260, więc\n1\n4\n260\n2 ah\n\n\n. Stąd i z poprzedniego wyniku\n2 10\n260\nh\n\n\n, więc\n13\nh \nPonieważ trójkąt EOS jest prostokątny, więc\n\n\n2\n2\n2\n1\n2 a\nH\nh\n\n\n,\n2\n2\n2\n5\n13\nH\n\n\n,\n2\n144\nH \n,\n12\nH \nObjętość ostrosłupa jest zatem równa\n1\n1 100 12\n400\n3\n3\np\nV\nP H\n\n\n\n\n\nOdpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa 400 cm3.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa:\n10\na \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa:\n12\nH \nUwaga\nJeżeli zdający obliczy wysokość ściany bocznej\n13\nh \ni nie traktuje jej jako wysokości\nostrosłupa i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty. Jeżeli natomiast przyjmuje, że\nobliczona wysokość ściany bocznej jest wysokością ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej\n1 punkt za całe rozwiązanie.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n400\nV \ncm3.\nUwagi\n1. Nie zwracamy uwagi na jednostki (zdający może je pominąć).\n2. Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem\npowierzchni całkowitej, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nB\nA\nC\nS\nO\nD\nE\na\nh\nH\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n17\n3. Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem jednej\nściany bocznej i konsekwentnie do tego błędu obliczy objętość ostrosłupa, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: **6 osób**\n\n## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą\n\n**Oznaczamy:** niech \\(x\\) = liczba osób w grupie w pierwszym miesiącu (\\(x \\in \\mathbb{N}\\), \\(x \\geq 1\\)).\n\n**Opłata na osobę w pierwszym miesiącu:**\n\\[\\frac{120}{x} \\text{ zł}\\]\n\n**Po dołączeniu dwóch osób** w grupie jest \\(x + 2\\) osób, opłata na osobę:\n\\[\\frac{120}{x+2} \\text{ zł}\\]\n\n**Warunek zadania** - opłata zmniejszyła się o \\(5\\) zł:\n\\[\\frac{120}{x} - \\frac{120}{x+2} = 5\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(x(x+2)\\) (oba wyrażenia są dodatnie):\n\\[120(x+2) - 120x = 5x(x+2)\\]\n\\[120x + 240 - 120x = 5x^2 + 10x\\]\n\\[240 = 5x^2 + 10x\\]\n\nDzielimy przez \\(5\\):\n\\[48 = x^2 + 2x\\]\n\\[x^2 + 2x - 48 = 0\\]\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-48) = 4 + 192 = 196\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 14\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{-2 - 14}{2} = \\frac{-16}{2} = -8 \\quad \\text{(odrzucamy - liczba osób musi być dodatnia)}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-2 + 14}{2} = \\frac{12}{2} = 6\\]\n\n**W pierwszym miesiącu grupa liczyła \\(6\\) osób.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 6\\) spełnia warunki zadania:\n\n- Opłata w 1. miesiącu (6 osób): \\(\\frac{120}{6} = 20\\) zł/osobę\n- Opłata po dołączeniu (8 osób): \\(\\frac{120}{8} = 15\\) zł/osobę\n- Różnica: \\(20 - 15 = 5\\) zł ✓\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów do rozwiązania równania kwadratowego \\(x^2 + 2x - 48 = 0\\), które powstało po uproszczeniu równania z ułamkami.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x\\) oznacza liczbę osób - musi być **dodatnia i całkowita**. Zawsze odrzucaj ujemne rozwiązanie równania kwadratowego w takich zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed pomnożeniem przez \\(x(x+2)\\) upewnij się, że mianownik jest różny od zera - tutaj \\(x > 0\\), więc warunek jest spełniony automatycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwy błąd to zapisanie warunku jako \\(\\frac{120}{x+2} - \\frac{120}{x} = 5\\) (ze złym znakiem). Opłata **maleje**, więc większa wartość (przed dołączeniem nowych osób) minus mniejsza = 5.\n\n**Odpowiedź: \\(6\\) osób.**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nNiech \\(x\\) - liczba osób w pierwszym miesiącu, \\(y\\) - opłata na osobę (w zł).\nWarunki:\n\\[\\begin{cases} x\\cdot y = 120 \\\\ (x+2)(y-5) = 120 \\end{cases}\\]\nRozwijamy drugie równanie:\n\\[xy - 5x + 2y - 10 = 120.\\]\nPodstawiamy \\(xy = 120\\):\n\\[120 - 5x + 2y - 10 = 120 \\Rightarrow 2y = 5x + 10 \\Rightarrow y = \\dfrac{5}{2}x + 5.\\]\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[x\\left(\\dfrac{5}{2}x + 5\\right) = 120 \\Rightarrow \\dfrac{5}{2}x^{2} + 5x - 120 = 0 \\Rightarrow x^{2} + 2x - 48 = 0.\\]\nWyliczamy \\(\\Delta = 4 + 192 = 196 = 14^{2}\\):\n\\[x = \\dfrac{-2\\pm 14}{2} \\Rightarrow x_{1} = -8 \\text{ (odrzucamy)}, \\quad x_{2} = 6.\\]\nZatem \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Jedno równanie\nNiech \\(x\\) - liczba osób początkowa. Opłata na osobę: \\(\\dfrac{120}{x}\\). Po dołączeniu 2 osób: \\(\\dfrac{120}{x+2}\\), która jest o 5 mniejsza:\n\\[\\dfrac{120}{x} - \\dfrac{120}{x+2} = 5.\\]\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[\\dfrac{120(x+2) - 120x}{x(x+2)} = 5 \\Rightarrow \\dfrac{240}{x^{2}+2x} = 5 \\Rightarrow x^{2}+2x = 48 \\Rightarrow x^{2}+2x-48=0.\\]\nJak wyżej: \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(x = 6\\): opłata na osobę \\(= \\dfrac{120}{6} = 20\\) zł.\nPo dołączeniu 2 osób: \\(6+2=8\\) osób, opłata \\(= \\dfrac{120}{8} = 15\\) zł.\nRóżnica: \\(20 - 15 = 5\\) zł ✓.\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za zapisanie zależności (np. \\(xy=120\\) lub \\((x+2)(y-5)=120\\)).\n2 pkt za zapisanie układu równań.\n3 pkt za sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.\n4 pkt za rozwiązanie równania kwadratowego (z usterkami).\n5 pkt za pełne rozwiązanie: \\(6\\) osób.\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Mylą, kto płaci więcej (przed czy po dołączeniu osób).\n- Pomijają odrzucenie ujemnego pierwiastka.\n- Błędy w przekształcaniu równania wymiernego (brak wspólnego mianownika).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego
pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\n

Poziom podstawowy
19
Odpowiedź:
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Wypełnia
egzaminator
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
20
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm^2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm^2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego
pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Użycie i tworzenie strategii
Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach.
(IV.9.b)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
16
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Pole podstawy ostrosłupa jest równe 100, więc
2
100
a 
. Stąd
10
a 
Pole powierzchni bocznej jest równe 260, więc
1
4
260
2 ah


. Stąd i z poprzedniego wyniku
2 10
260
h


, więc
13
h 
Ponieważ trójkąt EOS jest prostokątny, więc


2
2
2
1
2 a
H
h


,
2
2
2
5
13
H


,
2
144
H 
,
12
H 
Objętość ostrosłupa jest zatem równa
1
1 100 12
400
3
3
p
V
P H





Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa 400 cm3.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa:
10
a 
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy wysokość ostrosłupa:
12
H 
Uwaga
Jeżeli zdający obliczy wysokość ściany bocznej
13
h 
i nie traktuje jej jako wysokości
ostrosłupa i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty. Jeżeli natomiast przyjmuje, że
obliczona wysokość ściany bocznej jest wysokością ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej
1 punkt za całe rozwiązanie.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający obliczy objętość ostrosłupa:
400
V 
cm3.
Uwagi

\n
  1. Nie zwracamy uwagi na jednostki (zdający może je pominąć).
  2. Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem
\n

powierzchni całkowitej, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
B
A
C
S
O
D
E
a
h
H
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
17

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem jednej
\n

ściany bocznej i konsekwentnie do tego błędu obliczy objętość ostrosłupa, to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 6 osób

\n

Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą

\n

Oznaczamy: niech \\(x\\) = liczba osób w grupie w pierwszym miesiącu (\\(x \\in \\mathbb{N}\\), \\(x \\geq 1\\)).

\n

Opłata na osobę w pierwszym miesiącu:
\\[\\frac{120}{x} \\text{ zł}\\]

\n

Po dołączeniu dwóch osób w grupie jest \\(x + 2\\) osób, opłata na osobę:
\\[\\frac{120}{x+2} \\text{ zł}\\]

\n

Warunek zadania - opłata zmniejszyła się o \\(5\\) zł:
\\[\\frac{120}{x} - \\frac{120}{x+2} = 5\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(x(x+2)\\) (oba wyrażenia są dodatnie):
\\[120(x+2) - 120x = 5x(x+2)\\]
\\[120x + 240 - 120x = 5x^2 + 10x\\]
\\[240 = 5x^2 + 10x\\]

\n

Dzielimy przez \\(5\\):
\\[48 = x^2 + 2x\\]
\\[x^2 + 2x - 48 = 0\\]

\n

Liczymy wyróżnik:
\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-48) = 4 + 192 = 196\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 14\\]

\n

Pierwiastki:
\\[x_1 = \\frac{-2 - 14}{2} = \\frac{-16}{2} = -8 \\quad \\text{(odrzucamy - liczba osób musi być dodatnia)}\\]
\\[x_2 = \\frac{-2 + 14}{2} = \\frac{12}{2} = 6\\]

\n

W pierwszym miesiącu grupa liczyła \\(6\\) osób.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja wyniku

\n

Sprawdzamy, czy \\(x = 6\\) spełnia warunki zadania:

\n\n

Wynik jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy tych wzorów do rozwiązania równania kwadratowego \\(x^2 + 2x - 48 = 0\\), które powstało po uproszczeniu równania z ułamkami.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(x\\) oznacza liczbę osób - musi być dodatnia i całkowita. Zawsze odrzucaj ujemne rozwiązanie równania kwadratowego w takich zadaniach.
\n
⚠️ Uwaga: Przed pomnożeniem przez \\(x(x+2)\\) upewnij się, że mianownik jest różny od zera - tutaj \\(x > 0\\), więc warunek jest spełniony automatycznie.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwy błąd to zapisanie warunku jako \\(\\frac{120}{x+2} - \\frac{120}{x} = 5\\) (ze złym znakiem). Opłata maleje, więc większa wartość (przed dołączeniem nowych osób) minus mniejsza = 5.
\n

Odpowiedź: \\(6\\) osób.

\n
Sposób 1 - Układ równań
\n

Niech \\(x\\) - liczba osób w pierwszym miesiącu, \\(y\\) - opłata na osobę (w zł).
Warunki:
\\[\\begin{cases} x\\cdot y = 120 \\\\ (x+2)(y-5) = 120 \\end{cases}\\]
Rozwijamy drugie równanie:
\\[xy - 5x + 2y - 10 = 120.\\]
Podstawiamy \\(xy = 120\\):
\\[120 - 5x + 2y - 10 = 120 \\Rightarrow 2y = 5x + 10 \\Rightarrow y = \\dfrac{5}{2}x + 5.\\]
Podstawiamy do pierwszego równania:
\\[x\\left(\\dfrac{5}{2}x + 5\\right) = 120 \\Rightarrow \\dfrac{5}{2}x^{2} + 5x - 120 = 0 \\Rightarrow x^{2} + 2x - 48 = 0.\\]
Wyliczamy \\(\\Delta = 4 + 192 = 196 = 14^{2}\\):
\\[x = \\dfrac{-2\\pm 14}{2} \\Rightarrow x_{1} = -8 \\text{ (odrzucamy)}, \\quad x_{2} = 6.\\]
Zatem \\(x = 6\\).

\n
Sposób 2 - Jedno równanie
\n

Niech \\(x\\) - liczba osób początkowa. Opłata na osobę: \\(\\dfrac{120}{x}\\). Po dołączeniu 2 osób: \\(\\dfrac{120}{x+2}\\), która jest o 5 mniejsza:
\\[\\dfrac{120}{x} - \\dfrac{120}{x+2} = 5.\\]
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\\[\\dfrac{120(x+2) - 120x}{x(x+2)} = 5 \\Rightarrow \\dfrac{240}{x^{2}+2x} = 5 \\Rightarrow x^{2}+2x = 48 \\Rightarrow x^{2}+2x-48=0.\\]
Jak wyżej: \\(x = 6\\).

\n
Sposób 3 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n

Dla \\(x = 6\\): opłata na osobę \\(= \\dfrac{120}{6} = 20\\) zł.
Po dołączeniu 2 osób: \\(6+2=8\\) osób, opłata \\(= \\dfrac{120}{8} = 15\\) zł.
Różnica: \\(20 - 15 = 5\\) zł ✓.

\n
Zgodnie z CKE
\n

1 pkt za zapisanie zależności (np. \\(xy=120\\) lub \\((x+2)(y-5)=120\\)).
2 pkt za zapisanie układu równań.
3 pkt za sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.
4 pkt za rozwiązanie równania kwadratowego (z usterkami).
5 pkt za pełne rozwiązanie: \\(6\\) osób.

\n
Gdzie uczniowie popełniają błędy
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = 400 \\text{ cm}^{3}$

"}]}