{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nDwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę\nw czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej\ntrasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią\nprędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.\n\nPoziom podstawowy\n21\nOdpowiedź:\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n22\nBRUDNOPIS\nDwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nDwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę\nw czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej\ntrasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią\nprędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.\nRozwiązanie\nNiech v oznacza średnią prędkość (w km / h ) pierwszego pociągu na tej trasie, t - czas\nprzejazdu (w godzinach) pierwszego pociągu na tej trasie. Wtedy\n9\nv  oznacza średnią\nprędkość drugiego pociągu na tej trasie,\n2\n3\nt \n- czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie.\nZapisujemy układ równań\n\n\n336\n2\n9\n336\n3\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n336\nt\nv\n\ni podstawiamy do równania drugiego.\nOtrzymujemy równanie z niewiadomą v , które przekształcamy równoważnie\n\n336\n2\n9\n336\n3\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n9 336\n6\n0\n3 v\nv\n\n\n\n\n,\n2\n2\n6\n9 336\n0\n3 v\nv\n\n\n\n(lub\n2\n2\n18\n9072\n0\nv\nv\n\n\n\nlub\n2\n9\n4536\n0\nv\nv\n\n\n\n).\nRównanie to ma dwa rozwiązania\n1\n72\nv \n,\n2\n63\n0\nv \n\nDrugie z tych rozwiązań odrzucamy (prędkość nie może być ujemna).\nGdy\n72\nv \n, to wtedy\n9\n63\nv \n\nOdpowiedź: Średnia prędkość pierwszego pociągu jest równa 72 km / h , średnia prędkość\ndrugiego pociągu równa się 63 km / h .\nModelowanie matematyczne\nRozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście\npraktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego\n(III.3.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n18\nSchemat oceniania\nW poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających\nodpowiednio, prędkość i czas. Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być\noznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, aby te niewiadome były wyraźnie opisane na\npoczątku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie.\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo całkowitego rozwiązania zadania 1 pkt\nZdający zapisze równanie, w którym co najmniej jedna z wielkości (prędkość, czas) jest\nuzależniona od przyjętej niewiadomej, np.:\n\n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo \n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający zapisze układ równań z niewiadomymi v i t , np.:\n336\nv t\ni \n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n336\nv t\ni \n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą v lub t.\n\n336\n2\n9\n336\n3\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo 336\n2\n9\n336\n3\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo \n336\n2\n9\n336\n3\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo 336\n2\n9\n336\n3\nt\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. drobne błędy rachunkowe lub wadliwe przepisanie) 4 pkt\n zdający rozwiąże równanie z niewiadomąv lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne\ndo popełnionego błędu zapisze prędkości obu pociągów\nalbo\n zdający rozwiąże równanie kwadratowe i zapisze prędkość tylko jednego pociągu.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZdający obliczy średnie prędkości obu pociągów: średnia prędkość pierwszego pociągu\nrówna się 72 km / h , średnia prędkość drugiego pociągu równa się 63 km / h .\nUwagi\n1. Oceniamy na 0 punktów rozwiązania, w których ułożone równania zawierają niezgodność\ntypu wielkości po obu stronach: po jednej stronie prędkość, po drugiej czas lub\nniezgodność jednostek: prędkość w kilometrach na godzinę, czas w minutach, o ile nie są\nzapisane jednostki.\n2. Jeżeli zdający oznaczy średnią prędkość pierwszego pociągu przez v (w km / h ),\na przez t czas przejazdu pierwszego pociągu na tej trasie, a potem zapisze, że prędkość\nśrednia drugiego pociągu jest równa\n9\nv  i czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n19\njest równy\n2\n3\nt \n, a następnie zapisze układ równań\n336\nv t\ni \n\n2\n9\n336\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni doprowadzi go do równania z jedną niewiadomą, to otrzymuje 1 punkt. Jeśli rozwiąże\nto równanie, to otrzymuje 2 punkty, a jeśli doprowadzi rozwiązanie zadania do końca\nkonsekwentnie do ułożonego układu równań lub przyjętych oznaczeń, to otrzymuje\n3 punkty (otrzymując odpowiednio\n63\nv \ni\n9\n72\nv \n\nalbo\n63\nv \ni\n9\n54\nv \n\n).\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nPrzykład 1.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy\npociąg\n336\n9\n2\n3\nv\nt\n\n\n\n\n\n336\n2\n336\n9\n3\nv t\nv\nt\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym\njest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie\nujął wyrażenia\n2\n3\nt \nw nawias. Zapis równania\n336\n9\n2\n3\nv\nt\n\n\n\nwskazuje na poprawną\ninterpretację zależności między wielkościami.\nPrzykład 2.\nJeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:\nv - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy\npociąg\n336\n9\n2\n3\nv\nt\n\n\n\n336\n336\n9\n2\n3\nv\nt\nv\nt\n\n\n\n\n\n\n\n363\n336\n9\nt\nt\n\n\n\ni na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych\ntrudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 363\n336\n9\nt\nt\n\n\n zdający\nprzestawił cyfry w zapisie liczby 336 i pominął liczbę 2\n3 w mianowniku ułamka.\nPrzykład 3.\nJeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.\n2\n9\n4536\n0\nv\nv\n\n\n\nzamiast równania\n2\n9\n4536\n0\nv\nv\n\n\n\n(np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak\nrozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n20\nktóry może być realną prędkością jednego z pociągów, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do\nkategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWynik: okrąg o równaniu \\((x+3)^2 + (y-5)^2 = 72\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie środka jako przecięcia ramion, potem odległość od podstawy\n\n### Krok 1 - Identyfikacja podstaw i ramion trapezu\n\nObliczam nachylenia boków:\n\\[k_{AB} = \\frac{1-(-5)}{5-(-1)} = \\frac{6}{6} = 1\\]\n\\[k_{CD} = \\frac{0-3}{-2-1} = \\frac{-3}{-3} = 1\\]\n\\[k_{AD} = \\frac{0-(-5)}{-2-(-1)} = \\frac{5}{-1} = -5\\]\n\\[k_{BC} = \\frac{3-1}{1-5} = \\frac{2}{-4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Wniosek:** \\(AB \\parallel CD\\) (obie o nachyleniu \\(1\\)), więc \\(AB\\) i \\(CD\\) to **podstawy** trapezu, a **ramiona** to \\(AD\\) i \\(BC\\).\n\n### Krok 2 - Równania prostych zawierających ramiona\n\n**Prosta przez \\(AD\\)** (przez \\(A(-1,-5)\\), nachylenie \\(-5\\)):\n\\[y - (-5) = -5(x - (-1)) \\implies y = -5x - 10 \\implies 5x + y + 10 = 0\\]\n\nSprawdzenie: \\(D(-2,0)\\): \\(5\\cdot(-2)+0+10 = 0\\) ✓\n\n**Prosta przez \\(BC\\)** (przez \\(B(5,1)\\), nachylenie \\(-\\frac{1}{2}\\)):\n\\[y - 1 = -\\frac{1}{2}(x-5) \\implies 2y - 2 = -x + 5 \\implies x + 2y - 7 = 0\\]\n\nSprawdzenie: \\(C(1,3)\\): \\(1+6-7 = 0\\) ✓\n\n### Krok 3 - Środek okręgu = przecięcie ramion\n\nRozwiązuję układ:\n\\[\\begin{cases} 5x + y + 10 = 0 \\\\ x + 2y - 7 = 0 \\end{cases}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(y = -5x - 10\\). Podstawiam do drugiego:\n\\[x + 2(-5x - 10) - 7 = 0\\]\n\\[x - 10x - 20 - 7 = 0\\]\n\\[-9x = 27 \\implies x = -3\\]\n\\[y = -5 \\cdot (-3) - 10 = 15 - 10 = 5\\]\n\n**Środek okręgu: \\(S = (-3, 5)\\)**\n\n### Krok 4 - Równanie prostej \\(AB\\)\n\nProsta \\(AB\\) przez \\(A(-1,-5)\\) o nachyleniu \\(1\\):\n\\[y - (-5) = 1 \\cdot (x - (-1)) \\implies y = x - 4 \\implies x - y - 4 = 0\\]\n\nSprawdzenie: \\(B(5,1)\\): \\(5-1-4 = 0\\) ✓\n\n### Krok 5 - Promień = odległość środka od prostej \\(AB\\)\n\nStosuję wzór na odległość punktu \\(S(-3, 5)\\) od prostej \\(x - y - 4 = 0\\):\n\\[r = \\frac{|1 \\cdot (-3) + (-1) \\cdot 5 + (-4)|}{\\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \\frac{|-3 - 5 - 4|}{\\sqrt{2}} = \\frac{12}{\\sqrt{2}} = 6\\sqrt{2}\\]\n\nZatem \\(r^2 = 72\\).\n\n### Krok 6 - Równanie okręgu\n\n\\[\\boxed{(x+3)^2 + (y-5)^2 = 72}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie styczności\n\nSprawdzam, że okrąg jest **styczny do AB** - tzn. odległość środka od prostej \\(AB\\) jest dokładnie równa promieniowi, a prosta ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.\n\nPodstawiam \\(y = x - 4\\) do równania okręgu:\n\\[(x+3)^2 + (x - 4 - 5)^2 = 72\\]\n\\[(x+3)^2 + (x-9)^2 = 72\\]\n\\[x^2 + 6x + 9 + x^2 - 18x + 81 = 72\\]\n\\[2x^2 - 12x + 90 = 72\\]\n\\[2x^2 - 12x + 18 = 0\\]\n\\[x^2 - 6x + 9 = 0\\]\n\\[(x-3)^2 = 0 \\implies x = 3\\]\n\n**Dokładnie jeden punkt wspólny** (\\(x=3\\), \\(y=-1\\)) - okrąg jest styczny do \\(AB\\). ✓\n\nSprawdzam też, że środek \\((-3,5)\\) leży na prostej \\(AD\\):\n\\[5\\cdot(-3) + 5 + 10 = -15 + 5 + 10 = 0\\] ✓\n\ni na prostej \\(BC\\):\n\\[-3 + 2\\cdot 5 - 7 = -3 + 10 - 7 = 0\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nOdległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia promienia okręgu (odległość środka \\(S(-3,5)\\) od prostej \\(AB\\): \\(x - y - 4 = 0\\)).\n\nRównanie okręgu o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\nRównanie kierunkowe prostej przez dwa punkty - wzór na nachylenie:\n\\[k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Błędne wyznaczenie przecięcia ramion - np. zamiana układu równań (błąd arytmetyczny przy podstawianiu), co daje inny środek |\n| C | Obliczenie \\(r = 6\\sqrt{2}\\), ale wpisanie go bezpośrednio jako \\(r^2 = 6\\sqrt{2}\\) zamiast \\(r^2 = 72\\) - czyli niekwadratowanie promienia |\n| D | Wyznaczenie odległości od prostej \\(CD\\) (drugiej podstawy) zamiast od \\(AB\\), co daje inny promień |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, które boki to **podstawy**, a które **ramiona** trapezu - zawsze sprawdź nachylenia wszystkich czterech boków. Tylko równoległe boki to podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze na odległość punktu od prostej - prosta **musi być w postaci ogólnej** \\(Ax + By + C = 0\\). Jeśli masz postać kierunkową \\(y = ax + b\\), przepisz ją najpierw (przenieś wszystko na lewo).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień wyznaczasz jako \\(r = 6\\sqrt{2}\\), ale do równania okręgu wpisujesz \\(r^2 = 72\\) - nie \\(\\sqrt{72}\\). To jeden z najczęstszych błędów końcowych!\n\n**Odpowiedź: \\((x+3)^{2}+(y-5)^{2}=72\\).**\n\n### Sposób 1 - Układ równań prostych i odległość\n**Krok 1: Równanie prostej \\(AD\\).**\n\\(A=(-1,-5)\\), \\(D=(-2,0)\\). Współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\dfrac{0-(-5)}{-2-(-1)} = \\dfrac{5}{-1} = -5.\\]\nRównanie: \\(y - 0 = -5(x-(-2)) \\Rightarrow y = -5x - 10\\).\n\n**Krok 2: Równanie prostej \\(BC\\).**\n\\(B=(5,1)\\), \\(C=(1,3)\\). Współczynnik:\n\\[a = \\dfrac{3-1}{1-5} = -\\dfrac{1}{2}.\\]\nRównanie: \\(y - 1 = -\\tfrac{1}{2}(x-5) \\Rightarrow y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2}\\).\n\n**Krok 3: Punkt przecięcia \\(S\\).**\n\\(-5x - 10 = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2} \\Rightarrow -5x + \\tfrac{1}{2}x = \\tfrac{7}{2} + 10 \\Rightarrow -\\tfrac{9}{2}x = \\tfrac{27}{2} \\Rightarrow x = -3\\).\n\\(y = -5\\cdot(-3) - 10 = 5\\). Zatem \\(S = (-3, 5)\\).\n\n**Krok 4: Równanie prostej \\(AB\\).**\n\\(A=(-1,-5)\\), \\(B=(5,1)\\). Współczynnik: \\(\\dfrac{1-(-5)}{5-(-1)} = 1\\). Równanie: \\(y - 1 = 1\\cdot(x-5) \\Rightarrow y = x-4\\), czyli \\(x-y-4=0\\).\n\n**Krok 5: Promień \\(r\\) - odległość \\(S\\) od \\(AB\\).**\n\\[r = \\dfrac{|(-3)-5-4|}{\\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = \\dfrac{|-12|}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{12}{\\sqrt{2}} = 6\\sqrt{2}.\\]\nStąd \\(r^{2} = 72\\).\n\n**Krok 6: Równanie okręgu.**\n\\[(x-(-3))^{2} + (y-5)^{2} = 72 \\iff (x+3)^{2}+(y-5)^{2}=72.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie, że punkt styczności leży na odcinku \\(AB\\)\nProsta prostopadła do \\(AB\\) (\\(y=x-4\\)) przechodząca przez \\(S=(-3,5)\\): \\(y = -x + 2\\). Rozwiązanie układu \\(y = x-4\\) i \\(y=-x+2\\) daje \\(x=3, y=-1\\), czyli \\(P=(3,-1)\\). Ponieważ \\(-1 < 3 < 5\\), \\(P\\) leży między \\(A\\) i \\(B\\) - okrąg jest styczny do **podstawy** (odcinka), nie tylko do prostej.\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za równanie prostej \\(AD\\) lub \\(BC\\).\n2 pkt za obliczenie \\(S = (-3,5)\\).\n3 pkt za obliczenie promienia \\(r=6\\sqrt{2}\\).\n4 pkt za równanie okręgu z drobnymi usterkami.\n5 pkt za pełne rozwiązanie: \\((x+3)^{2}+(y-5)^{2}=72\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Błędny wzór na odległość punktu od prostej (pomylenie znaku lub wzoru).\n- Pominięcie weryfikacji, że punkt styczności leży na podstawie \\(AB\\).\n- Błąd w rozwiązywaniu układu równań prostych.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (5 pkt)
Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę
w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej
trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią
prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.

\n

Poziom podstawowy
21
Odpowiedź:
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
5
Wypełnia
egzaminator
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
22
BRUDNOPIS
Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-5)
Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę
w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej
trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią
prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Rozwiązanie
Niech v oznacza średnią prędkość (w km / h ) pierwszego pociągu na tej trasie, t - czas
przejazdu (w godzinach) pierwszego pociągu na tej trasie. Wtedy
9
v  oznacza średnią
prędkość drugiego pociągu na tej trasie,
2
3
t 

\n\n

Zapisujemy układ równań


336
2
9
336
3
v t
v
t














Z pierwszego równania wyznaczamy
336
t
v

i podstawiamy do równania drugiego.
Otrzymujemy równanie z niewiadomą v , które przekształcamy równoważnie

336
2
9
336
3
v
v









,
2
9 336
6
0
3 v
v




,
2
2
6
9 336
0
3 v
v



(lub
2
2
18
9072
0
v
v



lub
2
9
4536
0
v
v



).
Równanie to ma dwa rozwiązania
1
72
v 
,
2
63
0
v 

Drugie z tych rozwiązań odrzucamy (prędkość nie może być ujemna).
Gdy
72
v 
, to wtedy
9
63
v 

Odpowiedź: Średnia prędkość pierwszego pociągu jest równa 72 km / h , średnia prędkość
drugiego pociągu równa się 63 km / h .
Modelowanie matematyczne
Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście
praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego
(III.3.b)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
18
Schemat oceniania
W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających
odpowiednio, prędkość i czas. Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być
oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, aby te niewiadome były wyraźnie opisane na
początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie.
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do całkowitego rozwiązania zadania 1 pkt
Zdający zapisze równanie, w którym co najmniej jedna z wielkości (prędkość, czas) jest
uzależniona od przyjętej niewiadomej, np.:


2
9
336
3
v
t








albo 

2
9
336
3
v
t








Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi v i t , np.:
336
v t
i 

2
9
336
3
v
t








albo
336
v t
i 

2
9
336
3
v
t








Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą v lub t.

336
2
9
336
3
v
v









albo 336
2
9
336
3
t
t












albo 
336
2
9
336
3
v
v









albo 336
2
9
336
3
t
t












Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności
rozwiązania (np. drobne błędy rachunkowe lub wadliwe przepisanie) 4 pkt
 zdający rozwiąże równanie z niewiadomąv lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne
do popełnionego błędu zapisze prędkości obu pociągów
albo
 zdający rozwiąże równanie kwadratowe i zapisze prędkość tylko jednego pociągu.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Zdający obliczy średnie prędkości obu pociągów: średnia prędkość pierwszego pociągu
równa się 72 km / h , średnia prędkość drugiego pociągu równa się 63 km / h .
Uwagi

\n
  1. Oceniamy na 0 punktów rozwiązania, w których ułożone równania zawierają niezgodność
\n

typu wielkości po obu stronach: po jednej stronie prędkość, po drugiej czas lub
niezgodność jednostek: prędkość w kilometrach na godzinę, czas w minutach, o ile nie są
zapisane jednostki.

\n
  1. Jeżeli zdający oznaczy średnią prędkość pierwszego pociągu przez v (w km / h ),
\n

a przez t czas przejazdu pierwszego pociągu na tej trasie, a potem zapisze, że prędkość
średnia drugiego pociągu jest równa
9
v  i czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
19
jest równy
2
3
t 
, a następnie zapisze układ równań
336
v t
i 

2
9
336
3
v
t









i doprowadzi go do równania z jedną niewiadomą, to otrzymuje 1 punkt. Jeśli rozwiąże
to równanie, to otrzymuje 2 punkty, a jeśli doprowadzi rozwiązanie zadania do końca
konsekwentnie do ułożonego układu równań lub przyjętych oznaczeń, to otrzymuje
3 punkty (otrzymując odpowiednio
63
v 
i
9
72
v 

albo
63
v 
i
9
54
v 

).
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Przykład 1.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy
pociąg
336
9
2
3
v
t





336
2
336
9
3
v t
v
t






i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym
jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie
ujął wyrażenia
2
3
t 
w nawias. Zapis równania
336
9
2
3
v
t



wskazuje na poprawną
interpretację zależności między wielkościami.
Przykład 2.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy
pociąg
336
9
2
3
v
t



336
336
9
2
3
v
t
v
t







363
336
9
t
t



i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych
trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 363
336
9
t
t


 zdający
przestawił cyfry w zapisie liczby 336 i pominął liczbę 2
3 w mianowniku ułamka.
Przykład 3.
Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.
2
9
4536
0
v
v



zamiast równania
2
9
4536
0
v
v



(np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak
rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
20
który może być realną prędkością jednego z pociągów, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do
kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Wynik: okrąg o równaniu \\((x+3)^2 + (y-5)^2 = 72\\)

\n

Sposób 1 - wyznaczenie środka jako przecięcia ramion, potem odległość od podstawy

\n
Krok 1 - Identyfikacja podstaw i ramion trapezu
\n

Obliczam nachylenia boków:
\\[k_{AB} = \\frac{1-(-5)}{5-(-1)} = \\frac{6}{6} = 1\\]
\\[k_{CD} = \\frac{0-3}{-2-1} = \\frac{-3}{-3} = 1\\]
\\[k_{AD} = \\frac{0-(-5)}{-2-(-1)} = \\frac{5}{-1} = -5\\]
\\[k_{BC} = \\frac{3-1}{1-5} = \\frac{2}{-4} = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Wniosek: \\(AB \\parallel CD\\) (obie o nachyleniu \\(1\\)), więc \\(AB\\) i \\(CD\\) to podstawy trapezu, a ramiona to \\(AD\\) i \\(BC\\).

\n
Krok 2 - Równania prostych zawierających ramiona
\n

Prosta przez \\(AD\\) (przez \\(A(-1,-5)\\), nachylenie \\(-5\\)):
\\[y - (-5) = -5(x - (-1)) \\implies y = -5x - 10 \\implies 5x + y + 10 = 0\\]

\n

Sprawdzenie: \\(D(-2,0)\\): \\(5\\cdot(-2)+0+10 = 0\\) ✓

\n

Prosta przez \\(BC\\) (przez \\(B(5,1)\\), nachylenie \\(-\\frac{1}{2}\\)):
\\[y - 1 = -\\frac{1}{2}(x-5) \\implies 2y - 2 = -x + 5 \\implies x + 2y - 7 = 0\\]

\n

Sprawdzenie: \\(C(1,3)\\): \\(1+6-7 = 0\\) ✓

\n
Krok 3 - Środek okręgu = przecięcie ramion
\n

Rozwiązuję układ:
\\[\\begin{cases} 5x + y + 10 = 0 \\\\ x + 2y - 7 = 0 \\end{cases}\\]

\n

Z pierwszego równania: \\(y = -5x - 10\\). Podstawiam do drugiego:
\\[x + 2(-5x - 10) - 7 = 0\\]
\\[x - 10x - 20 - 7 = 0\\]
\\[-9x = 27 \\implies x = -3\\]
\\[y = -5 \\cdot (-3) - 10 = 15 - 10 = 5\\]

\n

Środek okręgu: \\(S = (-3, 5)\\)

\n
Krok 4 - Równanie prostej \\(AB\\)
\n

Prosta \\(AB\\) przez \\(A(-1,-5)\\) o nachyleniu \\(1\\):
\\[y - (-5) = 1 \\cdot (x - (-1)) \\implies y = x - 4 \\implies x - y - 4 = 0\\]

\n

Sprawdzenie: \\(B(5,1)\\): \\(5-1-4 = 0\\) ✓

\n
Krok 5 - Promień = odległość środka od prostej \\(AB\\)
\n

Stosuję wzór na odległość punktu \\(S(-3, 5)\\) od prostej \\(x - y - 4 = 0\\):
\\[r = \\frac{|1 \\cdot (-3) + (-1) \\cdot 5 + (-4)|}{\\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \\frac{|-3 - 5 - 4|}{\\sqrt{2}} = \\frac{12}{\\sqrt{2}} = 6\\sqrt{2}\\]

\n

Zatem \\(r^2 = 72\\).

\n
Krok 6 - Równanie okręgu
\n

\\[\\boxed{(x+3)^2 + (y-5)^2 = 72}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie styczności

\n

Sprawdzam, że okrąg jest styczny do AB - tzn. odległość środka od prostej \\(AB\\) jest dokładnie równa promieniowi, a prosta ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.

\n

Podstawiam \\(y = x - 4\\) do równania okręgu:
\\[(x+3)^2 + (x - 4 - 5)^2 = 72\\]
\\[(x+3)^2 + (x-9)^2 = 72\\]
\\[x^2 + 6x + 9 + x^2 - 18x + 81 = 72\\]
\\[2x^2 - 12x + 90 = 72\\]
\\[2x^2 - 12x + 18 = 0\\]
\\[x^2 - 6x + 9 = 0\\]
\\[(x-3)^2 = 0 \\implies x = 3\\]

\n

Dokładnie jeden punkt wspólny (\\(x=3\\), \\(y=-1\\)) - okrąg jest styczny do \\(AB\\). ✓

\n

Sprawdzam też, że środek \\((-3,5)\\) leży na prostej \\(AD\\):
\\[5\\cdot(-3) + 5 + 10 = -15 + 5 + 10 = 0\\] ✓

\n

i na prostej \\(BC\\):
\\[-3 + 2\\cdot 5 - 7 = -3 + 10 - 7 = 0\\] ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):
\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]
Użyliśmy tego do obliczenia promienia okręgu (odległość środka \\(S(-3,5)\\) od prostej \\(AB\\): \\(x - y - 4 = 0\\)).

\n

Równanie okręgu o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\):
\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]

\n

Równanie kierunkowe prostej przez dwa punkty - wzór na nachylenie:
\\[k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Błędne wyznaczenie przecięcia ramion - np. zamiana układu równań (błąd arytmetyczny przy podstawianiu), co daje inny środek |
| C | Obliczenie \\(r = 6\\sqrt{2}\\), ale wpisanie go bezpośrednio jako \\(r^2 = 6\\sqrt{2}\\) zamiast \\(r^2 = 72\\) - czyli niekwadratowanie promienia |
| D | Wyznaczenie odległości od prostej \\(CD\\) (drugiej podstawy) zamiast od \\(AB\\), co daje inny promień |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, które boki to podstawy, a które ramiona trapezu - zawsze sprawdź nachylenia wszystkich czterech boków. Tylko równoległe boki to podstawy.
\n
⚠️ Uwaga: We wzorze na odległość punktu od prostej - prosta musi być w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Jeśli masz postać kierunkową \\(y = ax + b\\), przepisz ją najpierw (przenieś wszystko na lewo).
\n
⚠️ Uwaga: Promień wyznaczasz jako \\(r = 6\\sqrt{2}\\), ale do równania okręgu wpisujesz \\(r^2 = 72\\) - nie \\(\\sqrt{72}\\). To jeden z najczęstszych błędów końcowych!
\n

Odpowiedź: \\((x+3)^{2}+(y-5)^{2}=72\\).

\n
Sposób 1 - Układ równań prostych i odległość
\n

Krok 1: Równanie prostej \\(AD\\).
\\(A=(-1,-5)\\), \\(D=(-2,0)\\). Współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\dfrac{0-(-5)}{-2-(-1)} = \\dfrac{5}{-1} = -5.\\]
Równanie: \\(y - 0 = -5(x-(-2)) \\Rightarrow y = -5x - 10\\).

\n

Krok 2: Równanie prostej \\(BC\\).
\\(B=(5,1)\\), \\(C=(1,3)\\). Współczynnik:
\\[a = \\dfrac{3-1}{1-5} = -\\dfrac{1}{2}.\\]
Równanie: \\(y - 1 = -\\tfrac{1}{2}(x-5) \\Rightarrow y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2}\\).

\n

Krok 3: Punkt przecięcia \\(S\\).
\\(-5x - 10 = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2} \\Rightarrow -5x + \\tfrac{1}{2}x = \\tfrac{7}{2} + 10 \\Rightarrow -\\tfrac{9}{2}x = \\tfrac{27}{2} \\Rightarrow x = -3\\).
\\(y = -5\\cdot(-3) - 10 = 5\\). Zatem \\(S = (-3, 5)\\).

\n

Krok 4: Równanie prostej \\(AB\\).
\\(A=(-1,-5)\\), \\(B=(5,1)\\). Współczynnik: \\(\\dfrac{1-(-5)}{5-(-1)} = 1\\). Równanie: \\(y - 1 = 1\\cdot(x-5) \\Rightarrow y = x-4\\), czyli \\(x-y-4=0\\).

\n

Krok 5: Promień \\(r\\) - odległość \\(S\\) od \\(AB\\).
\\[r = \\dfrac{|(-3)-5-4|}{\\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = \\dfrac{|-12|}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{12}{\\sqrt{2}} = 6\\sqrt{2}.\\]
Stąd \\(r^{2} = 72\\).

\n

Krok 6: Równanie okręgu.
\\[(x-(-3))^{2} + (y-5)^{2} = 72 \\iff (x+3)^{2}+(y-5)^{2}=72.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie, że punkt styczności leży na odcinku \\(AB\\)
\n

Prosta prostopadła do \\(AB\\) (\\(y=x-4\\)) przechodząca przez \\(S=(-3,5)\\): \\(y = -x + 2\\). Rozwiązanie układu \\(y = x-4\\) i \\(y=-x+2\\) daje \\(x=3, y=-1\\), czyli \\(P=(3,-1)\\). Ponieważ \\(-1 < 3 < 5\\), \\(P\\) leży między \\(A\\) i \\(B\\) - okrąg jest styczny do podstawy (odcinka), nie tylko do prostej.

\n
Zgodnie z CKE
\n

1 pkt za równanie prostej \\(AD\\) lub \\(BC\\).
2 pkt za obliczenie \\(S = (-3,5)\\).
3 pkt za obliczenie promienia \\(r=6\\sqrt{2}\\).
4 pkt za równanie okręgu z drobnymi usterkami.
5 pkt za pełne rozwiązanie: \\((x+3)^{2}+(y-5)^{2}=72\\).

\n
Gdzie uczniowie popełniają błędy
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$v_{1} = 72 \\text{ km/h}$, $v_{2} = 63 \\text{ km/h}$

"}]}