{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nRozwiązaniem układu równań 5\n3\n3\n8\n6\n48\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\njest para liczb\nA.\n3 i\n4\nx\ny\n\n\nB.\n3 i\n6\nx\ny\n\n\nC.\n3 i\n4\nx\ny\n\n\nD.\n9 i\n4\nx\ny\n\n\nRozwiązaniem układu równań { 5x+3y=3, 8x-6y=48 jest para liczb A. x=-3 i y=4; B. x=-3 i y=6; C. x=3 i y=-4; D. x=9 i y=4.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązanie układu równań liniowych\n(I.3.c)\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(x = 3\\) i \\(y = -4\\)\n\n## Sposób 1 - eliminacja zmiennej (mnożenie równań)\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} 5x + 3y = 3 \\\\ 8x - 6y = 48 \\end{cases}\\]\n\n**Krok 1:** Zauważamy, że przy \\(y\\) mamy \\(3\\) i \\(-6\\), czyli \\(-6 = -2 \\cdot 3\\). Mnożymy pierwsze równanie przez \\(2\\):\n\n\\[2 \\cdot (5x + 3y) = 2 \\cdot 3\\]\n\\[10x + 6y = 6\\]\n\n**Krok 2:** Dodajemy stronami do drugiego równania, żeby wyeliminować \\(y\\):\n\n\\[\\begin{cases} 10x + 6y = 6 \\\\ 8x - 6y = 48 \\end{cases}\\]\n\n\\[(10x + 6y) + (8x - 6y) = 6 + 48\\]\n\\[18x = 54\\]\n\\[x = 3\\]\n\n**Krok 3:** Podstawiamy \\(x = 3\\) do pierwszego równania:\n\n\\[5 \\cdot 3 + 3y = 3\\]\n\\[15 + 3y = 3\\]\n\\[3y = -12\\]\n\\[y = -4\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = 3\\), \\(y = -4\\)** ✓\n\n## Sposób 2 - podstawianie (wyrażenie \\(x\\) przez \\(y\\))\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy \\(x\\):\n\\[5x + 3y = 3\\]\n\\[5x = 3 - 3y\\]\n\\[x = \\frac{3 - 3y}{5}\\]\n\nPodstawiamy do drugiego równania:\n\\[8 \\cdot \\frac{3 - 3y}{5} - 6y = 48\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(5\\):\n\\[8(3 - 3y) - 30y = 240\\]\n\\[24 - 24y - 30y = 240\\]\n\\[-54y = 216\\]\n\\[y = -4\\]\n\nStąd:\n\\[x = \\frac{3 - 3 \\cdot (-4)}{5} = \\frac{3 + 12}{5} = \\frac{15}{5} = 3\\]\n\n**Wynik ten sam: \\(x = 3\\), \\(y = -4\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą elementarne operacje algebraiczne (mnożenie równań i dodawanie stronami lub podstawianie). Układ równań liniowych to materiał pozakartkowy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | \\(x = -3\\) - pomylono znak przy obliczaniu \\(x\\); wzięto \\(18x = -54\\) zamiast \\(+54\\) |\n| B | \\(x = -3, y = 6\\) - pomylono znak zarówno \\(x\\), jak i \\(y\\); przy podstawieniu błędnie policzono \\(3y = 3 - 15 = -12\\) → \\(y = -4\\), ale wzięto \\(+4\\), a potem zmieniono znak \\(x\\) |\n| D | \\(x = 9, y = 4\\) - prawdopodobnie pominięto mnożenie przez \\(2\\) i dodano równania w oryginalnej postaci: \\((5x+3y)+(8x-6y)=3+48\\) → \\(13x - 3y = 51\\), a następnie rozwiązano błędny układ |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu równania przez liczbę ujemną albo przy eliminacji - pamiętaj, żeby mnożyć **całe** równanie (obie strony!), w tym wyraz wolny. Najczęstszy błąd: mnożenie tylko lewej strony.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu jednej zmiennej **zawsze podstaw wynik do oryginalnego równania**, nie do przekształconego - łatwiej o pomyłkę w zmodyfikowanym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na koniec warto **sprawdzić obie zmienne w obu równaniach**: \\(5 \\cdot 3 + 3 \\cdot (-4) = 15 - 12 = 3\\) ✓ i \\(8 \\cdot 3 - 6 \\cdot (-4) = 24 + 24 = 48\\) ✓. To 10 sekund, które ratują przed błędem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Metoda przeciwnych współczynników\nMnożymy pierwsze równanie przez \\(2\\):\n\\[\\begin{cases} 10x+6y=6 \\\\ 8x-6y=48 \\end{cases}\\]\nDodajemy stronami:\n\\[18x = 54 \\Rightarrow x = 3.\\]\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[5\\cdot 3+3y=3 \\Rightarrow 3y = -12 \\Rightarrow y = -4.\\]\nRozwiązanie: \\((3, -4)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie par z odpowiedzi\nPodstawiamy \\((3, -4)\\) do obu równań:\n- \\(5\\cdot 3 + 3\\cdot (-4) = 15-12 = 3\\) ✓\n- \\(8\\cdot 3 - 6\\cdot (-4) = 24+24 = 48\\) ✓\n\nObie równości spełnione.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-3, 4)\\):** \\(5\\cdot(-3)+3\\cdot 4 = -15+12 = -3 \\ne 3\\).\n- **B. \\((-3, 6)\\):** \\(5\\cdot(-3)+3\\cdot 6 = -15+18 = 3\\) ✓, ale \\(8\\cdot(-3)-6\\cdot 6 = -60 \\ne 48\\).\n- **D. \\((9, 4)\\):** \\(5\\cdot 9+3\\cdot 4 = 57 \\ne 3\\).\n\n**Trik:** zawsze **zweryfikuj oba równania** - wystarczy jedno błędne, by odrzucić parę.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (1 pkt)
Rozwiązaniem układu równań 5
3
3
8
6
48
x
y
x
y







jest para liczb
A.
3 i
4
x
y


B.
3 i
6
x
y


C.
3 i
4
x
y


D.
9 i
4
x
y


Rozwiązaniem układu równań { 5x+3y=3, 8x-6y=48 jest para liczb A. x=-3 i y=4; B. x=-3 i y=6; C. x=3 i y=-4; D. x=9 i y=4.

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Rozwiązanie układu równań liniowych
(I.3.c)
C
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\(x = 3\\) i \\(y = -4\\)

\n

Sposób 1 - eliminacja zmiennej (mnożenie równań)

\n

Mamy układ:
\\[\\begin{cases} 5x + 3y = 3 \\\\ 8x - 6y = 48 \\end{cases}\\]

\n

Krok 1: Zauważamy, że przy \\(y\\) mamy \\(3\\) i \\(-6\\), czyli \\(-6 = -2 \\cdot 3\\). Mnożymy pierwsze równanie przez \\(2\\):

\n

\\[2 \\cdot (5x + 3y) = 2 \\cdot 3\\]
\\[10x + 6y = 6\\]

\n

Krok 2: Dodajemy stronami do drugiego równania, żeby wyeliminować \\(y\\):

\n

\\[\\begin{cases} 10x + 6y = 6 \\\\ 8x - 6y = 48 \\end{cases}\\]

\n

\\[(10x + 6y) + (8x - 6y) = 6 + 48\\]
\\[18x = 54\\]
\\[x = 3\\]

\n

Krok 3: Podstawiamy \\(x = 3\\) do pierwszego równania:

\n

\\[5 \\cdot 3 + 3y = 3\\]
\\[15 + 3y = 3\\]
\\[3y = -12\\]
\\[y = -4\\]

\n

Odpowiedź: \\(x = 3\\), \\(y = -4\\) ✓

\n

Sposób 2 - podstawianie (wyrażenie \\(x\\) przez \\(y\\))

\n

Z pierwszego równania wyznaczamy \\(x\\):
\\[5x + 3y = 3\\]
\\[5x = 3 - 3y\\]
\\[x = \\frac{3 - 3y}{5}\\]

\n

Podstawiamy do drugiego równania:
\\[8 \\cdot \\frac{3 - 3y}{5} - 6y = 48\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(5\\):
\\[8(3 - 3y) - 30y = 240\\]
\\[24 - 24y - 30y = 240\\]
\\[-54y = 216\\]
\\[y = -4\\]

\n

Stąd:
\\[x = \\frac{3 - 3 \\cdot (-4)}{5} = \\frac{3 + 12}{5} = \\frac{15}{5} = 3\\]

\n

Wynik ten sam: \\(x = 3\\), \\(y = -4\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą elementarne operacje algebraiczne (mnożenie równań i dodawanie stronami lub podstawianie). Układ równań liniowych to materiał pozakartkowy.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | \\(x = -3\\) - pomylono znak przy obliczaniu \\(x\\); wzięto \\(18x = -54\\) zamiast \\(+54\\) |
| B | \\(x = -3, y = 6\\) - pomylono znak zarówno \\(x\\), jak i \\(y\\); przy podstawieniu błędnie policzono \\(3y = 3 - 15 = -12\\) → \\(y = -4\\), ale wzięto \\(+4\\), a potem zmieniono znak \\(x\\) |
| D | \\(x = 9, y = 4\\) - prawdopodobnie pominięto mnożenie przez \\(2\\) i dodano równania w oryginalnej postaci: \\((5x+3y)+(8x-6y)=3+48\\) → \\(13x - 3y = 51\\), a następnie rozwiązano błędny układ |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu równania przez liczbę ujemną albo przy eliminacji - pamiętaj, żeby mnożyć całe równanie (obie strony!), w tym wyraz wolny. Najczęstszy błąd: mnożenie tylko lewej strony.
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu jednej zmiennej zawsze podstaw wynik do oryginalnego równania, nie do przekształconego - łatwiej o pomyłkę w zmodyfikowanym.
\n
⚠️ Uwaga: Na koniec warto sprawdzić obie zmienne w obu równaniach: \\(5 \\cdot 3 + 3 \\cdot (-4) = 15 - 12 = 3\\) ✓ i \\(8 \\cdot 3 - 6 \\cdot (-4) = 24 + 24 = 48\\) ✓. To 10 sekund, które ratują przed błędem.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Metoda przeciwnych współczynników
\n

Mnożymy pierwsze równanie przez \\(2\\):
\\[\\begin{cases} 10x+6y=6 \\\\ 8x-6y=48 \\end{cases}\\]
Dodajemy stronami:
\\[18x = 54 \\Rightarrow x = 3.\\]
Podstawiamy do pierwszego równania:
\\[5\\cdot 3+3y=3 \\Rightarrow 3y = -12 \\Rightarrow y = -4.\\]
Rozwiązanie: \\((3, -4)\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie par z odpowiedzi
\n

Podstawiamy \\((3, -4)\\) do obu równań:

\n\n

Obie równości spełnione.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: zawsze zweryfikuj oba równania - wystarczy jedno błędne, by odrzucić parę.

"}]}