{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nPunkt\n\n\n0,1\nA \nleży na wykresie funkcji liniowej\n( )\n(\n2)\n3\nf x\nm\nx\nm\n\n\n\n. Stąd wynika, że\nA.\n1\nm \nB.\n2\nm \nC.\n3\nm \nD.\n4\nm \nPunkt A=(0,1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x)=(m-2)x+m-3. Stąd wynika, że A. m=1, B. m=2, C. m=3, D.m=4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie interpretacji\nwspółczynników we wzorze funkcji\nliniowej (II.4.g)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 4\\))\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania funkcji\n\nJeśli punkt \\(A = (0, 1)\\) leży na wykresie funkcji, to po podstawieniu \\(x = 0\\) i \\(y = 1\\) do wzoru funkcji musi wyjść prawdziwa równość.\n\nMamy funkcję:\n\\[f(x) = (m-2)x + m - 3\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 0\\), \\(f(0) = 1\\):\n\\[1 = (m-2) \\cdot 0 + m - 3\\]\n\\[1 = 0 + m - 3\\]\n\\[1 = m - 3\\]\n\nDodajemy \\(3\\) do obu stron:\n\\[m = 4\\]\n\n**Odpowiedź: \\(m = 4\\), czyli opcja D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odczyt wyrazu wolnego\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma wartość w \\(x = 0\\) równą dokładnie wyrazowi wolnemu \\(b\\), ponieważ:\n\\[f(0) = a \\cdot 0 + b = b\\]\n\nW naszym przypadku wyraz wolny to \\(m - 3\\). Skoro \\(f(0) = 1\\), to:\n\\[m - 3 = 1\\]\n\\[\\mathbf{m = 4}\\]\n\n**Sprawdzenie** - podstawiamy \\(m = 4\\) do wzoru funkcji:\n\\[f(x) = (4-2)x + 4 - 3 = 2x + 1\\]\n\nSprawdzamy punkt \\(A = (0, 1)\\):\n\\[f(0) = 2 \\cdot 0 + 1 = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - punkt \\((0, 1)\\) rzeczywiście leży na wykresie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i podstawowe podstawianie wartości do wzoru.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(m = 1\\) | Podstawiamy \\(m=1\\): \\(f(0) = 1-3 = -2 \\neq 1\\). Typowy błąd: myślenie, że \\(f(0) = 1\\) oznacza \\(m = 1\\). |\n| B: \\(m = 2\\) | Podstawiamy \\(m=2\\): \\(f(0) = 2-3 = -1 \\neq 1\\). Błąd: pominięcie stałej \\(-3\\) w wyrazie wolnym. |\n| C: \\(m = 3\\) | Podstawiamy \\(m=3\\): \\(f(0) = 3-3 = 0 \\neq 1\\). Błąd: rozwiązanie równania \\(m - 3 = 0\\) zamiast \\(m - 3 = 1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(A = (0, 1)\\) to punkt przecięcia z osią \\(OY\\) - czyli \\(f(0) = 1\\). Nie wstawiaj \\(x = 1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny funkcji to \\(m - 3\\), a **nie** samo \\(m\\). Łatwo zapomnieć o tej stałej i błędnie napisać \\(m = 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy po wyznaczeniu \\(m\\) funkcja nadal jest liniowa (współczynnik przy \\(x\\) musi być różny od zera). Tutaj \\(m = 4\\), więc \\(m - 2 = 2 \\neq 0\\) - funkcja jest liniowa. ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie do wzoru funkcji\nPunkt \\(A=(0,1)\\) leży na wykresie, więc \\(f(0)=1\\):\n\\[f(0)=(m-2)\\cdot 0 + m-3 = m-3.\\]\nZ równania \\(m-3=1\\) otrzymujemy \\(m=4\\).\n\n### Sposób 2 - Interpretacja wyrazu wolnego\nPunkt przecięcia wykresu z osią \\(Oy\\) to \\((0, b)\\), gdzie \\(b\\) - wyraz wolny funkcji. Tu \\(b=m-3\\), więc \\(m-3=1\\) i \\(m=4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m=1\\)** - podstawiając otrzymujemy \\(f(0)=-2\\), nie \\(1\\).\n- **B. \\(m=2\\)** - \\(f(0)=-1\\).\n- **C. \\(m=3\\)** - \\(f(0)=0\\), więc wykres przechodzi przez \\((0,0)\\), nie \\((0,1)\\).\n\n**Pamiętaj:** dla \\((0, y_{0})\\) tylko wyraz wolny ma znaczenie - współczynnik przy \\(x\\) zeruje się.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (1 pkt)
Punkt


0,1
A 
leży na wykresie funkcji liniowej
( )
(
2)
3
f x
m
x
m



. Stąd wynika, że
A.
1
m 
B.
2
m 
C.
3
m 
D.
4
m 
Punkt A=(0,1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x)=(m-2)x+m-3. Stąd wynika, że A. m=1, B. m=2, C. m=3, D.m=4

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie interpretacji
współczynników we wzorze funkcji
liniowej (II.4.g)
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 4\\))

\n

Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania funkcji

\n

Jeśli punkt \\(A = (0, 1)\\) leży na wykresie funkcji, to po podstawieniu \\(x = 0\\) i \\(y = 1\\) do wzoru funkcji musi wyjść prawdziwa równość.

\n

Mamy funkcję:
\\[f(x) = (m-2)x + m - 3\\]

\n

Podstawiamy \\(x = 0\\), \\(f(0) = 1\\):
\\[1 = (m-2) \\cdot 0 + m - 3\\]
\\[1 = 0 + m - 3\\]
\\[1 = m - 3\\]

\n

Dodajemy \\(3\\) do obu stron:
\\[m = 4\\]

\n

Odpowiedź: \\(m = 4\\), czyli opcja D.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez odczyt wyrazu wolnego

\n

Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma wartość w \\(x = 0\\) równą dokładnie wyrazowi wolnemu \\(b\\), ponieważ:
\\[f(0) = a \\cdot 0 + b = b\\]

\n

W naszym przypadku wyraz wolny to \\(m - 3\\). Skoro \\(f(0) = 1\\), to:
\\[m - 3 = 1\\]
\\[\\mathbf{m = 4}\\]

\n

Sprawdzenie - podstawiamy \\(m = 4\\) do wzoru funkcji:
\\[f(x) = (4-2)x + 4 - 3 = 2x + 1\\]

\n

Sprawdzamy punkt \\(A = (0, 1)\\):
\\[f(0) = 2 \\cdot 0 + 1 = 1 \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - punkt \\((0, 1)\\) rzeczywiście leży na wykresie.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i podstawowe podstawianie wartości do wzoru.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A: \\(m = 1\\) | Podstawiamy \\(m=1\\): \\(f(0) = 1-3 = -2 \\neq 1\\). Typowy błąd: myślenie, że \\(f(0) = 1\\) oznacza \\(m = 1\\). |
| B: \\(m = 2\\) | Podstawiamy \\(m=2\\): \\(f(0) = 2-3 = -1 \\neq 1\\). Błąd: pominięcie stałej \\(-3\\) w wyrazie wolnym. |
| C: \\(m = 3\\) | Podstawiamy \\(m=3\\): \\(f(0) = 3-3 = 0 \\neq 1\\). Błąd: rozwiązanie równania \\(m - 3 = 0\\) zamiast \\(m - 3 = 1\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Punkt \\(A = (0, 1)\\) to punkt przecięcia z osią \\(OY\\) - czyli \\(f(0) = 1\\). Nie wstawiaj \\(x = 1\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Wyraz wolny funkcji to \\(m - 3\\), a nie samo \\(m\\). Łatwo zapomnieć o tej stałej i błędnie napisać \\(m = 1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy po wyznaczeniu \\(m\\) funkcja nadal jest liniowa (współczynnik przy \\(x\\) musi być różny od zera). Tutaj \\(m = 4\\), więc \\(m - 2 = 2 \\neq 0\\) - funkcja jest liniowa. ✓
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Podstawienie do wzoru funkcji
\n

Punkt \\(A=(0,1)\\) leży na wykresie, więc \\(f(0)=1\\):
\\[f(0)=(m-2)\\cdot 0 + m-3 = m-3.\\]
Z równania \\(m-3=1\\) otrzymujemy \\(m=4\\).

\n
Sposób 2 - Interpretacja wyrazu wolnego
\n

Punkt przecięcia wykresu z osią \\(Oy\\) to \\((0, b)\\), gdzie \\(b\\) - wyraz wolny funkcji. Tu \\(b=m-3\\), więc \\(m-3=1\\) i \\(m=4\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: dla \\((0, y_{0})\\) tylko wyraz wolny ma znaczenie - współczynnik przy \\(x\\) zeruje się.

"}]}