{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nWierzchołkiem paraboli o równaniu\n\n\n2\n3\n2\n4\ny\nx\n\n\n\njest punkt o współrzędnych\nA. \n\n2, 4\n\n\nB. \n\n2,4\n\nC. \n\n2, 4\n\nD. \n\n2,4\nWierzchołkiem paraboli o równaniu y=-3(x-2)^2+4 jest punkt o współrzędnych A. (-2,-4), B. (-2,4), C. (2,-4), D. (2,4)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOdczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej\nwspółrzędnych wierzchołka paraboli\n(II.4.b)\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - punkt \\((2, 4)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nRównanie paraboli jest już podane w **postaci kanonicznej**:\n\\[y = a(x - p)^2 + q\\]\n\nPorównujemy:\n\\[y = -3(x - 2)^2 + 4\\]\n\nOdczytujemy bezpośrednio:\n\\[a = -3, \\quad p = 2, \\quad q = 4\\]\n\nWierzchołek paraboli to punkt \\(W = (p, q)\\), zatem:\n\\[\\boxed{W = (2, 4)}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, że punkt \\((2, 4)\\) leży na paraboli i jest jej wierzchołkiem.\n\n**Czy punkt leży na wykresie?** Podstawiamy \\(x = 2\\):\n\\[y = -3(2 - 2)^2 + 4 = -3 \\cdot 0 + 4 = 4 \\checkmark\\]\n\n**Czy to wierzchołek?** Parabola skierowana ramionami w dół (\\(a = -3 < 0\\)), więc wierzchołek to **maksimum**. Wyrażenie \\(-3(x-2)^2\\) jest zawsze \\(\\leq 0\\), więc całe \\(y \\leq 4\\). Maksimum \\(y = 4\\) jest osiągane właśnie dla \\(x = 2\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\ngdzie \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\).\n\nW tym zadaniu korzystamy wprost z definicji postaci kanonicznej - odczytujemy \\(p\\) i \\(q\\) bez żadnych obliczeń.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A \\((-2, -4)\\) | Zmieniono znaki obu współrzędnych: wzięto \\(-p\\) i \\(-q\\) zamiast \\(p\\) i \\(q\\) |\n| B \\((-2, 4)\\) | Zmieniono znak współrzędnej \\(x\\): odczytano \\(-2\\) zamiast \\(+2\\) (pominięto, że wzór ma \\(x - p\\), nie \\(x + p\\)) |\n| C \\((2, -4)\\) | Poprawnie odczytano \\(x = 2\\), ale zmieniono znak \\(q\\): wzięto \\(-4\\) zamiast \\(+4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zapisie \\((x - 2)^2\\) łatwo odczytać \\(p = -2\\) zamiast \\(p = 2\\)! Pamiętaj: wzór to \\((x \\mathbf{-} p)^2\\), więc jeśli widzisz \\((x - 2)^2\\), to \\(p = \\mathbf{+}2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędna \\(q = 4\\) jest odczytywana wprost jako wyraz wolny przy postaci kanonicznej - nie zmieniamy jej znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać \\(y = -3(x-2)^2 + 4\\) to gotowa postać kanoniczna - nie trzeba jej przekształcać ani liczyć delty. Rozpoznanie tej postaci na egzaminie oszczędza czas!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna paraboli\nOgólna postać kanoniczna: \\(y=a(x-p)^{2}+q\\), gdzie wierzchołek to \\(W=(p, q)\\).\nZ równania \\(y=-3(x-2)^{2}+4\\) odczytujemy \\(p=2\\), \\(q=4\\).\nWierzchołek: \\((2, 4)\\).\n\n### Sposób 2 - Pochodna (kontrolnie)\n\\(y'= -3\\cdot 2(x-2) = -6(x-2)\\). Zerujemy: \\(x=2\\). Wtedy \\(y=-3\\cdot 0+4=4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-2, -4)\\)** - oba znaki odwrócone; błędny odczyt.\n- **B. \\((-2, 4)\\)** - zły znak przy \\(p\\) (w postaci kanonicznej \\((x-p)\\), więc \\(p\\) bez minusa).\n- **C. \\((2, -4)\\)** - zły znak przy \\(q\\); \\(q\\) odczytujemy dosłownie.\n\n**Trik:** \\((x-p)^{2}\\) daje \\(p>0\\), a nie \\(p<0\\); znak \\(q\\) kopiujemy bezpośrednio.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (1 pkt)<br>Wierzchołkiem paraboli o równaniu<br><br><br>2<br>3<br>2<br>4<br>y<br>x<br><br><br><br>jest punkt o współrzędnych<br>A. <br><br>2, 4<br><br><br>B. <br><br>2,4<br><br>C. <br><br>2, 4<br><br>D. <br><br>2,4<br>Wierzchołkiem paraboli o równaniu y=-3(x-2)^2+4 jest punkt o współrzędnych A. (-2,-4), B. (-2,4), C. (2,-4), D. (2,4)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Odczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej<br>współrzędnych wierzchołka paraboli<br>(II.4.b)<br>D<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - punkt \\((2, 4)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej</h4>\n<p>Równanie paraboli jest już podane w <strong>postaci kanonicznej</strong>:<br>\\[y = a(x - p)^2 + q\\]</p>\n<p>Porównujemy:<br>\\[y = -3(x - 2)^2 + 4\\]</p>\n<p>Odczytujemy bezpośrednio:<br>\\[a = -3, \\quad p = 2, \\quad q = 4\\]</p>\n<p>Wierzchołek paraboli to punkt \\(W = (p, q)\\), zatem:<br>\\[\\boxed{W = (2, 4)}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, że punkt \\((2, 4)\\) leży na paraboli i jest jej wierzchołkiem.</p>\n<p><strong>Czy punkt leży na wykresie?</strong> Podstawiamy \\(x = 2\\):<br>\\[y = -3(2 - 2)^2 + 4 = -3 \\cdot 0 + 4 = 4 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Czy to wierzchołek?</strong> Parabola skierowana ramionami w dół (\\(a = -3 &lt; 0\\)), więc wierzchołek to <strong>maksimum</strong>. Wyrażenie \\(-3(x-2)^2\\) jest zawsze \\(\\leq 0\\), więc całe \\(y \\leq 4\\). Maksimum \\(y = 4\\) jest osiągane właśnie dla \\(x = 2\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]<br>gdzie \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\).</p>\n<p>W tym zadaniu korzystamy wprost z definicji postaci kanonicznej - odczytujemy \\(p\\) i \\(q\\) bez żadnych obliczeń.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A \\((-2, -4)\\) | Zmieniono znaki obu współrzędnych: wzięto \\(-p\\) i \\(-q\\) zamiast \\(p\\) i \\(q\\) |<br>| B \\((-2, 4)\\) | Zmieniono znak współrzędnej \\(x\\): odczytano \\(-2\\) zamiast \\(+2\\) (pominięto, że wzór ma \\(x - p\\), nie \\(x + p\\)) |<br>| C \\((2, -4)\\) | Poprawnie odczytano \\(x = 2\\), ale zmieniono znak \\(q\\): wzięto \\(-4\\) zamiast \\(+4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zapisie \\((x - 2)^2\\) łatwo odczytać \\(p = -2\\) zamiast \\(p = 2\\)! Pamiętaj: wzór to \\((x \\mathbf{-} p)^2\\), więc jeśli widzisz \\((x - 2)^2\\), to \\(p = \\mathbf{+}2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współrzędna \\(q = 4\\) jest odczytywana wprost jako wyraz wolny przy postaci kanonicznej - nie zmieniamy jej znaku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Postać \\(y = -3(x-2)^2 + 4\\) to gotowa postać kanoniczna - nie trzeba jej przekształcać ani liczyć delty. Rozpoznanie tej postaci na egzaminie oszczędza czas!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Postać kanoniczna paraboli</h5>\n<p>Ogólna postać kanoniczna: \\(y=a(x-p)^{2}+q\\), gdzie wierzchołek to \\(W=(p, q)\\).<br>Z równania \\(y=-3(x-2)^{2}+4\\) odczytujemy \\(p=2\\), \\(q=4\\).<br>Wierzchołek: \\((2, 4)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Pochodna (kontrolnie)</h5>\n<p>\\(y&#x27;= -3\\cdot 2(x-2) = -6(x-2)\\). Zerujemy: \\(x=2\\). Wtedy \\(y=-3\\cdot 0+4=4\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((-2, -4)\\)</strong> - oba znaki odwrócone; błędny odczyt.</li><li><strong>B. \\((-2, 4)\\)</strong> - zły znak przy \\(p\\) (w postaci kanonicznej \\((x-p)\\), więc \\(p\\) bez minusa).</li><li><strong>C. \\((2, -4)\\)</strong> - zły znak przy \\(q\\); \\(q\\) odczytujemy dosłownie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\((x-p)^{2}\\) daje \\(p&gt;0\\), a nie \\(p&lt;0\\); znak \\(q\\) kopiujemy bezpośrednio.</p>"}]}