{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nDla każdej liczby rzeczywistej x , wyrażenie\n2\n4\n12\n9\nx\nx\n\n\njest równe\nA. \n\n\n4\n3\n3\nx\nx\n\n\nB. \n\n\n2\n3\n2\n3\nx\nx\n\n\nC. \n\n\n2\n3\n2\n3\nx\nx\n\n\nD. \n\n\n3\n4\n3\nx\nx\n\n\nx\n- 9\n- 4\n1\nx\n9\n- 1\n4\nx\n- 9\n- 5\n-1\nx\n9\n1\n5\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nDla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4x^2-12x+9 jest równe A. (4x+3)(x+3), B. (2x-3)(2x+3), C. (2x-3)(2x-3), D. (x-3)(4x-3).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nPosługiwanie się wzorami skróconego\nmnożenia (I.2.a)\nC\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[(2x-3)(2x-3) = (2x-3)^2\\]\n\n## Sposób 1 - Wzór na kwadrat różnicy\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(4x^2 - 12x + 9\\) ma charakterystyczną strukturę. Sprawdzamy, czy pasuje do wzoru \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\).\n\n**Identyfikujemy składniki:**\n\n\\[4x^2 = (2x)^2 \\implies a = 2x\\]\n\\[9 = 3^2 \\implies b = 3\\]\n\n**Sprawdzamy wyraz środkowy:**\n\n\\[2ab = 2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x \\checkmark\\]\n\nZgadza się - wyraz środkowy to \\(-12x\\), czyli \\(-2ab\\). Zatem:\n\n\\[4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \\cdot (2x) \\cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2\\]\n\nA \\((2x-3)^2 = (2x-3)(2x-3)\\), co odpowiada odpowiedzi **C**.\n\n## Sposób 2 - Wymnożenie i weryfikacja\n\nSprawdzamy odpowiedź C przez bezpośrednie wymnożenie:\n\n\\[(2x-3)(2x-3) = 2x \\cdot 2x + 2x \\cdot (-3) + (-3) \\cdot 2x + (-3)(-3)\\]\n\\[= 4x^2 - 6x - 6x + 9\\]\n\\[= 4x^2 - 12x + 9 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z treścią zadania.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nTu: \\(a = 2x\\), \\(b = 3\\). Wzór pozwolił natychmiast rozpoznać strukturę trójmianu i go sfaktoryzować.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((4x+3)(x+3) = 4x^2 + 12x + 3x + 9 = 4x^2 + 15x + 9\\) - zły znak i złe współczynniki |\n| B | \\((2x-3)(2x+3) = 4x^2 - 9\\) - to wzór na **różnicę kwadratów**, nie kwadrat różnicy; brak wyrazu środkowego |\n| D | \\((x-3)(4x-3) = 4x^2 - 3x - 12x + 9 = 4x^2 - 15x + 9\\) - wyraz przy \\(x\\) to \\(-15x\\), a nie \\(-12x\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B to klasyczna pułapka - \\((2x-3)(2x+3)\\) wygląda podobnie, ale to **różnica kwadratów** \\(a^2 - b^2\\), która daje \\(4x^2 - 9\\) (bez wyrazu z \\(x\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **wyraz środkowy** przy rozpoznawaniu kwadratu różnicy. Trójmian \\(a^2 - 2ab + b^2\\) wymaga, żeby wyraz środkowy był dokładnie \\(-2ab\\). Tu: \\(2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x\\) - zgadza się.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((2x-3)^2 \\neq (2x)^2 - 3^2\\). To częsty błąd - kwadrat różnicy to **NIE** różnica kwadratów!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nWyrażenie \\(4x^{2}-12x+9\\) próbujemy rozpoznać jako kwadrat różnicy: \\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\).\n- \\(a^{2}=4x^{2} \\Rightarrow a=2x\\),\n- \\(b^{2}=9 \\Rightarrow b=3\\),\n- sprawdzenie: \\(2ab = 2\\cdot 2x\\cdot 3 = 12x\\). ✓\n\nStąd \\(4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}=(2x-3)(2x-3)\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwijanie odpowiedzi\nOdpowiedź **C.** \\((2x-3)(2x-3)=4x^{2}-6x-6x+9=4x^{2}-12x+9\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((4x+3)(x+3)\\):** rozwijając: \\(4x^{2}+12x+3x+9=4x^{2}+15x+9\\).\n- **B. \\((2x-3)(2x+3)\\):** wzór \\((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\\), więc \\(4x^{2}-9\\).\n- **D. \\((x-3)(4x-3)\\):** \\(4x^{2}-3x-12x+9=4x^{2}-15x+9\\).\n\n**Trik:** przy rozkładzie trójmianu kwadratowego na czynniki zawsze zaczynaj od sprawdzenia wzoru skróconego mnożenia.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (1 pkt)
Dla każdej liczby rzeczywistej x , wyrażenie
2
4
12
9
x
x


jest równe
A. 


4
3
3
x
x


B. 


2
3
2
3
x
x


C. 


2
3
2
3
x
x


D. 


3
4
3
x
x


x

\n\n

1
x
9

\n\n

4
x

\n\n

-1
x
9
1
5

\n

Poziom podstawowy
3
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
4
Dla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4x^2-12x+9 jest równe A. (4x+3)(x+3), B. (2x-3)(2x+3), C. (2x-3)(2x-3), D. (x-3)(4x-3).

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Posługiwanie się wzorami skróconego
mnożenia (I.2.a)
C
B
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\[(2x-3)(2x-3) = (2x-3)^2\\]

\n

Sposób 1 - Wzór na kwadrat różnicy

\n

Zauważamy, że wyrażenie \\(4x^2 - 12x + 9\\) ma charakterystyczną strukturę. Sprawdzamy, czy pasuje do wzoru \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\).

\n

Identyfikujemy składniki:

\n

\\[4x^2 = (2x)^2 \\implies a = 2x\\]
\\[9 = 3^2 \\implies b = 3\\]

\n

Sprawdzamy wyraz środkowy:

\n

\\[2ab = 2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x \\checkmark\\]

\n

Zgadza się - wyraz środkowy to \\(-12x\\), czyli \\(-2ab\\). Zatem:

\n

\\[4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \\cdot (2x) \\cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2\\]

\n

A \\((2x-3)^2 = (2x-3)(2x-3)\\), co odpowiada odpowiedzi C.

\n

Sposób 2 - Wymnożenie i weryfikacja

\n

Sprawdzamy odpowiedź C przez bezpośrednie wymnożenie:

\n

\\[(2x-3)(2x-3) = 2x \\cdot 2x + 2x \\cdot (-3) + (-3) \\cdot 2x + (-3)(-3)\\]
\\[= 4x^2 - 6x - 6x + 9\\]
\\[= 4x^2 - 12x + 9 \\checkmark\\]

\n

Wynik zgadza się z treścią zadania.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Tu: \\(a = 2x\\), \\(b = 3\\). Wzór pozwolił natychmiast rozpoznać strukturę trójmianu i go sfaktoryzować.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | \\((4x+3)(x+3) = 4x^2 + 12x + 3x + 9 = 4x^2 + 15x + 9\\) - zły znak i złe współczynniki |
| B | \\((2x-3)(2x+3) = 4x^2 - 9\\) - to wzór na różnicę kwadratów, nie kwadrat różnicy; brak wyrazu środkowego |
| D | \\((x-3)(4x-3) = 4x^2 - 3x - 12x + 9 = 4x^2 - 15x + 9\\) - wyraz przy \\(x\\) to \\(-15x\\), a nie \\(-12x\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B to klasyczna pułapka - \\((2x-3)(2x+3)\\) wygląda podobnie, ale to różnica kwadratów \\(a^2 - b^2\\), która daje \\(4x^2 - 9\\) (bez wyrazu z \\(x\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj wyraz środkowy przy rozpoznawaniu kwadratu różnicy. Trójmian \\(a^2 - 2ab + b^2\\) wymaga, żeby wyraz środkowy był dokładnie \\(-2ab\\). Tu: \\(2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x\\) - zgadza się.
\n
⚠️ Uwaga: \\((2x-3)^2 \\neq (2x)^2 - 3^2\\). To częsty błąd - kwadrat różnicy to NIE różnica kwadratów!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia
\n

Wyrażenie \\(4x^{2}-12x+9\\) próbujemy rozpoznać jako kwadrat różnicy: \\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\).

\n\n

Stąd \\(4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}=(2x-3)(2x-3)\\).

\n
Sposób 2 - Rozwijanie odpowiedzi
\n

Odpowiedź C. \\((2x-3)(2x-3)=4x^{2}-6x-6x+9=4x^{2}-12x+9\\). ✓

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: przy rozkładzie trójmianu kwadratowego na czynniki zawsze zaczynaj od sprawdzenia wzoru skróconego mnożenia.

"}]}