{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nProsta o równaniu\n2\n1\ny\nx\nm\n\n jest prostopadła do prostej o równaniu\n3\n1\n2\ny\nx\n\n. Stąd\nwynika, że\nA.\n3\nm \nB.\n2\n3\nm \nC.\n3\n2\nm \nD.\n3\nm \nZadanie 8 z matury podstawowej - maj 2013. Prosta o równaniu y = 2/m x + 1 jest prostopadła do prostej o równaniu y = -3/2 x - 1. Stąd wynika, że A. m = -3, B. m = 2/3, C. m = 3/2, D. m = 3.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nBadanie prostopadłości prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych\n(II.8.c)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -3, 5\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt zbioru wartości z wykresu\n\n**Zbiór wartości** funkcji to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które funkcja przyjmuje - czyli to, co widzimy na osi \\(OY\\).\n\nPatrzymy na wykres funkcji \\(f\\):\n\n- **Najniższy punkt** wykresu \\(f\\): \\(y = -3\\)\n- **Najwyższy punkt** wykresu \\(f\\): \\(y = 5\\)\n- Wykres przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy \\(-3\\) a \\(5\\) (łamana - ciągła)\n\nZatem zbiór wartości funkcji \\(f\\) to:\n\\[ZW(f) = \\langle -3, 5\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: A**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę dziedziny vs. zbioru wartości\n\nWażne rozróżnienie: **dziedzina** to wartości na osi \\(OX\\), **zbiór wartości** to wartości na osi \\(OY\\).\n\nZ opisu wykresu funkcji \\(f\\):\n- Dziedzina (oś \\(OX\\)): \\(\\langle -3, 7\\rangle\\) - tyle że TO NIE JEST odpowiedź\n- Zbiór wartości (oś \\(OY\\)): szukamy, jak nisko i jak wysoko sięga wykres\n\nWykres \\(f\\) sięga:\n- w dół do \\(y = -3\\) - **minimum funkcji**\n- w górę do \\(y = 5\\) - **maksimum funkcji**\n\nOba krańce są osiągane (krańce zamknięte \\(\\langle \\cdot \\rangle\\)), więc:\n\\[ZW(f) = \\langle -3, 5\\rangle\\]\n\nZgadza się z odpowiedzią A. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości i odczyt z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(\\langle -6, 7\\rangle\\) - pomylono zbiór wartości z czymś innym; \\(7\\) to prawy kraniec **dziedziny** \\(f\\), a \\(-6\\) nie pojawia się nigdzie na wykresie |\n| C | \\(\\langle 0, 6\\rangle\\) - mogą to być wartości odczytane z wykresu funkcji \\(g\\) (przesuniętej o 1 w prawo), nie \\(f\\); lub odczytano błędnie min/max |\n| D | \\(\\langle -5, 8\\rangle\\) - wartości zupełnie spoza zakresu obu wykresów; błąd wynikający z mylenia danych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **dziedziny** (oś \\(OX\\)) ze **zbiorem wartości** (oś \\(OY\\))! To najczęstszy błąd w tym typie zadań. Dziedzina \\(f\\) to \\(\\langle -3, 7\\rangle\\), ale zbiór wartości to coś innego - patrzymy wyłącznie na oś pionową.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu są wykresy **dwóch** funkcji - \\(f\\) i \\(g\\). Upewnij się, że czytasz dane z wykresu **funkcji \\(f\\)**, nie \\(g\\). Funkcja \\(g\\) jest przesunięta i ma inny zbiór wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy krańce są **osiągane** przez funkcję (wtedy nawias kwadratowy \\(\\langle\\)), czy tylko zbliżane (nawias okrągły). Na wykresie łamanej krańce są zwykle zaznaczone pełną kropką - wtedy przedział jest domknięty.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nZbiór wartości to zakres osi \\(y\\), jaki przyjmuje funkcja \\(f\\).\n- Wartość najmniejsza: \\(y = -3\\) (dla \\(x=7\\)).\n- Wartość największa: \\(y = 5\\) (wierzchołek dla \\(x=-1\\)).\n\nZatem \\(f\\) przyjmuje wszystkie wartości z \\(\\langle -3, 5\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza fragmentów\nFunkcja \\(f\\) składa się z odcinków:\n- stała \\(y=2\\) dla \\(x\\in\\langle -6, -3\\rangle\\),\n- rosnąca do wartości \\(5\\) w \\(x=-1\\),\n- malejąca do wartości \\(-3\\) w \\(x=7\\).\n\nMaksimum = \\(5\\), minimum = \\(-3\\). Zbiór wartości: \\(\\langle -3, 5\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle -6, 7\\rangle\\)** - to dziedzina, nie zbiór wartości.\n- **C. \\(\\langle 0, 6\\rangle\\)** - funkcja przyjmuje wartości ujemne oraz mniejsze od \\(6\\).\n- **D. \\(\\langle -5, 8\\rangle\\)** - wartości \\(\\pm 5, \\pm 8\\) nie są osiągane.\n\n**Uwaga:** zbiór wartości czyta się z **pionowego** zakresu wykresu.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (1 pkt)<br>Prosta o równaniu<br>2<br>1<br>y<br>x<br>m<br><br> jest prostopadła do prostej o równaniu<br>3<br>1<br>2<br>y<br>x<br><br>. Stąd<br>wynika, że<br>A.<br>3<br>m <br>B.<br>2<br>3<br>m <br>C.<br>3<br>2<br>m <br>D.<br>3<br>m <br>Zadanie 8 z matury podstawowej - maj 2013. Prosta o równaniu y = 2/m x + 1 jest prostopadła do prostej o równaniu y = -3/2 x - 1. Stąd wynika, że A. m = -3, B. m = 2/3, C. m = 3/2, D. m = 3.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Badanie prostopadłości prostych na<br>podstawie ich równań kierunkowych<br>(II.8.c)<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -3, 5\\rangle\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt zbioru wartości z wykresu</h4>\n<p><strong>Zbiór wartości</strong> funkcji to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które funkcja przyjmuje - czyli to, co widzimy na osi \\(OY\\).</p>\n<p>Patrzymy na wykres funkcji \\(f\\):</p>\n<ul><li><strong>Najniższy punkt</strong> wykresu \\(f\\): \\(y = -3\\)</li><li><strong>Najwyższy punkt</strong> wykresu \\(f\\): \\(y = 5\\)</li><li>Wykres przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy \\(-3\\) a \\(5\\) (łamana - ciągła)</li></ul>\n<p>Zatem zbiór wartości funkcji \\(f\\) to:<br>\\[ZW(f) = \\langle -3, 5\\rangle\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: A</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę dziedziny vs. zbioru wartości</h4>\n<p>Ważne rozróżnienie: <strong>dziedzina</strong> to wartości na osi \\(OX\\), <strong>zbiór wartości</strong> to wartości na osi \\(OY\\).</p>\n<p>Z opisu wykresu funkcji \\(f\\):</p>\n<ul><li>Dziedzina (oś \\(OX\\)): \\(\\langle -3, 7\\rangle\\) - tyle że TO NIE JEST odpowiedź</li><li>Zbiór wartości (oś \\(OY\\)): szukamy, jak nisko i jak wysoko sięga wykres</li></ul>\n<p>Wykres \\(f\\) sięga:</p>\n<ul><li>w dół do \\(y = -3\\) - <strong>minimum funkcji</strong></li><li>w górę do \\(y = 5\\) - <strong>maksimum funkcji</strong></li></ul>\n<p>Oba krańce są osiągane (krańce zamknięte \\(\\langle \\cdot \\rangle\\)), więc:<br>\\[ZW(f) = \\langle -3, 5\\rangle\\]</p>\n<p>Zgadza się z odpowiedzią A. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości i odczyt z wykresu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | \\(\\langle -6, 7\\rangle\\) - pomylono zbiór wartości z czymś innym; \\(7\\) to prawy kraniec <strong>dziedziny</strong> \\(f\\), a \\(-6\\) nie pojawia się nigdzie na wykresie |<br>| C | \\(\\langle 0, 6\\rangle\\) - mogą to być wartości odczytane z wykresu funkcji \\(g\\) (przesuniętej o 1 w prawo), nie \\(f\\); lub odczytano błędnie min/max |<br>| D | \\(\\langle -5, 8\\rangle\\) - wartości zupełnie spoza zakresu obu wykresów; błąd wynikający z mylenia danych |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić <strong>dziedziny</strong> (oś \\(OX\\)) ze <strong>zbiorem wartości</strong> (oś \\(OY\\))! To najczęstszy błąd w tym typie zadań. Dziedzina \\(f\\) to \\(\\langle -3, 7\\rangle\\), ale zbiór wartości to coś innego - patrzymy wyłącznie na oś pionową.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniu są wykresy <strong>dwóch</strong> funkcji - \\(f\\) i \\(g\\). Upewnij się, że czytasz dane z wykresu <strong>funkcji \\(f\\)</strong>, nie \\(g\\). Funkcja \\(g\\) jest przesunięta i ma inny zbiór wartości.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, czy krańce są <strong>osiągane</strong> przez funkcję (wtedy nawias kwadratowy \\(\\langle\\)), czy tylko zbliżane (nawias okrągły). Na wykresie łamanej krańce są zwykle zaznaczone pełną kropką - wtedy przedział jest domknięty.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Zbiór wartości to zakres osi \\(y\\), jaki przyjmuje funkcja \\(f\\).</p>\n<ul><li>Wartość najmniejsza: \\(y = -3\\) (dla \\(x=7\\)).</li><li>Wartość największa: \\(y = 5\\) (wierzchołek dla \\(x=-1\\)).</li></ul>\n<p>Zatem \\(f\\) przyjmuje wszystkie wartości z \\(\\langle -3, 5\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza fragmentów</h5>\n<p>Funkcja \\(f\\) składa się z odcinków:</p>\n<ul><li>stała \\(y=2\\) dla \\(x\\in\\langle -6, -3\\rangle\\),</li><li>rosnąca do wartości \\(5\\) w \\(x=-1\\),</li><li>malejąca do wartości \\(-3\\) w \\(x=7\\).</li></ul>\n<p>Maksimum = \\(5\\), minimum = \\(-3\\). Zbiór wartości: \\(\\langle -3, 5\\rangle\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\langle -6, 7\\rangle\\)</strong> - to dziedzina, nie zbiór wartości.</li><li><strong>C. \\(\\langle 0, 6\\rangle\\)</strong> - funkcja przyjmuje wartości ujemne oraz mniejsze od \\(6\\).</li><li><strong>D. \\(\\langle -5, 8\\rangle\\)</strong> - wartości \\(\\pm 5, \\pm 8\\) nie są osiągane.</li></ul>\n<p><strong>Uwaga:</strong> zbiór wartości czyta się z <strong>pionowego</strong> zakresu wykresu.</p>"}]}