{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y\nax\nb\n\n\ny\n0\nx\nJakie znaki mają współczynniki a i b ?\nA.\n0\na \ni\n0\nb \nB.\n0\na \ni\n0\nb \nC.\n0\n\na\ni\n0\nb \nD.\n0\n\na\ni\n0\nb \nZadanie 9 z matury podstawowej - maj 2013. Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax+b. Jakie znaki mają współczynniki a i b ? A. a<0 i b<0, B. a<0 i b>0, C. a>0 i b<0, D. a>0 i b>0.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie współczynników we\nwzorze funkcji liniowej do określenia\npołożenia prostej w układzie\nwspółrzędnych (II.4.g)\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - przedział \\((5, 7\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: gdzie f leży poniżej osi OX\n\n**Szukamy** wszystkich \\(x\\), dla których \\(f(x) < 0\\), czyli fragmentów wykresu **leżących poniżej osi \\(OX\\)**.\n\n**Krok 1 - Znajdź miejsca zerowe \\(f\\).**\n\nNa podstawie wykresu funkcja \\(f\\) przecina oś \\(OX\\) w punkcie \\(x = 5\\):\n\\[f(5) = 0\\]\nDla \\(x < 5\\) (na widocznym fragmencie wykres jest powyżej osi), a dla \\(x > 5\\) - wykres schodzi **poniżej osi**.\n\n**Krok 2 - Sprawdź wartość na prawym krańcu dziedziny.**\n\nFunkcja jest określona na \\(\\langle -3, 7\\rangle\\). Odczytujemy z wykresu, że:\n\\[f(7) < 0\\]\nPrawy kraniec \\(x = 7\\) jest **w dziedzinie**, więc \\(7\\) należy do szukanego przedziału (nawias zamknięty \\(\\rangle\\)).\n\n**Krok 3 - Ustal czy punkt \\(x = 5\\) należy do przedziału.**\n\nPonieważ \\(f(5) = 0\\), a szukamy wartości **ściśle ujemnych** (\\(f < 0\\)), punkt \\(x = 5\\) **nie należy** → nawias otwarty \\((\\) od lewej.\n\n**Wniosek:**\n\\[\\boxed{f(x) < 0 \\iff x \\in (5,\\ 7\\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie granic przedziału\n\nSprawdzamy każdy z potencjalnych granic szukanego przedziału:\n\n| \\(x\\) | \\(f(x)\\) | Wniosek |\n| \\(x = 5\\) | \\(f(5) = 0\\) | zero, nie ujemna → punkt **nie wchodzi** |\n| \\(x = 6\\) (wewnątrz) | \\(f(6) < 0\\) | ujemna ✓ → punkt należy |\n| \\(x = 7\\) | \\(f(7) < 0\\) | ujemna ✓ → **wchodzi** (zamknięty kraniec) |\n| \\(x = 4\\) | \\(f(4) > 0\\) | dodatnia → **nie należy** |\n\nStąd jedynym fragmentem, gdzie \\(f\\) jest **wyłącznie ujemna**, jest \\((5, 7\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy odczyt z wykresu i definicja:\n\n> Funkcja \\(f\\) przyjmuje wartości ujemne dla tych \\(x\\), dla których punkt wykresu leży **poniżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) < 0\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\langle 5, 0\\rangle\\) - to odwrócony przedział (lewy kraniec \\(5 >\\) prawy kraniec \\(0\\)), czyli **zbiór pusty** w sensie matematycznym; klasyczna pułapka na nieuważnych |\n| C | \\((0, 7\\rangle\\) - za szeroki przedział; na odcinku \\((0, 5)\\) funkcja \\(f\\) przyjmuje **wartości dodatnie**, więc nie cały ten przedział spełnia warunek |\n| D | \\(\\langle -6, 5\\rangle\\) - funkcja w ogóle nie jest określona dla \\(x < -3\\); poza tym dla \\(x \\in \\langle -3, 5\\rangle\\) funkcja przyjmuje zarówno wartości ujemne, jak i dodatnie, a nie **tylko** ujemne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie brzmi „tylko wartości **ujemne**\" - przedział musi zawierać się **całkowicie poniżej osi OX**. Nie wystarczy, że gdzieś tam \\(f < 0\\); na całym przedziale musi być \\(f < 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(x = 5\\), gdzie \\(f(5) = 0\\), **nie daje wartości ujemnej** - zero to zero, nie minus! Stąd nawias otwarty \\((5, \\ldots\\). Uczniowie często o tym zapominają i dają nawias zamknięty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy przedział zawiera się w **dziedzinie** funkcji. Odpowiedź D zawiera \\(x < -3\\), gdzie \\(f\\) po prostu nie istnieje.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza znaku funkcji\nFunkcja \\(f\\) ma miejsce zerowe w \\(x=5\\) (wykres przecina oś \\(Ox\\)).\n- Dla \\(x\\in(5, 7\\rangle\\): wykres jest **pod osią** \\(Ox\\), więc \\(f(x)<0\\).\n- Dla \\(x<5\\): \\(f(x)\\ge 0\\) (w różnych miejscach).\n\nZatem przedział \\((5, 7\\rangle\\) to miejsce, gdzie funkcja przyjmuje wartości **tylko ujemne**.\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja punktów końcowych\n- \\(f(5) = 0\\) - nie należy (otwarty nawias).\n- \\(f(7) = -3 < 0\\) - należy (zamknięty nawias).\n- Wszystkie pośrednie \\(f(x) < 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\langle 5, 0\\rangle\\)** - zapis niepoprawny (niemalejący), w dodatku \\(f(5)=0\\ne\\) ujemne.\n- **C. \\((0, 7\\rangle\\)** - zawiera \\(x\\in(0,5)\\), gdzie \\(f(x)>0\\).\n- **D. \\(\\langle -6, 5\\rangle\\)** - tu \\(f\\) jest nieujemna.\n\n**Pamiętaj:** „tylko ujemne\" = cały przedział pod osią \\(Ox\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y<br>ax<br>b<br><br><br>y<br>0<br>x<br>Jakie znaki mają współczynniki a i b ?<br>A.<br>0<br>a <br>i<br>0<br>b <br>B.<br>0<br>a <br>i<br>0<br>b <br>C.<br>0<br><br>a<br>i<br>0<br>b <br>D.<br>0<br><br>a<br>i<br>0<br>b <br>Zadanie 9 z matury podstawowej - maj 2013. Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax+b. Jakie znaki mają współczynniki a i b ? A. a&lt;0 i b&lt;0, B. a&lt;0 i b&gt;0, C. a&gt;0 i b&lt;0, D. a&gt;0 i b&gt;0.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wykorzystanie współczynników we<br>wzorze funkcji liniowej do określenia<br>położenia prostej w układzie<br>współrzędnych (II.4.g)<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - przedział \\((5, 7\\rangle\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu: gdzie f leży poniżej osi OX</h4>\n<p><strong>Szukamy</strong> wszystkich \\(x\\), dla których \\(f(x) &lt; 0\\), czyli fragmentów wykresu <strong>leżących poniżej osi \\(OX\\)</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Znajdź miejsca zerowe \\(f\\).</strong></p>\n<p>Na podstawie wykresu funkcja \\(f\\) przecina oś \\(OX\\) w punkcie \\(x = 5\\):<br>\\[f(5) = 0\\]<br>Dla \\(x &lt; 5\\) (na widocznym fragmencie wykres jest powyżej osi), a dla \\(x &gt; 5\\) - wykres schodzi <strong>poniżej osi</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 2 - Sprawdź wartość na prawym krańcu dziedziny.</strong></p>\n<p>Funkcja jest określona na \\(\\langle -3, 7\\rangle\\). Odczytujemy z wykresu, że:<br>\\[f(7) &lt; 0\\]<br>Prawy kraniec \\(x = 7\\) jest <strong>w dziedzinie</strong>, więc \\(7\\) należy do szukanego przedziału (nawias zamknięty \\(\\rangle\\)).</p>\n<p><strong>Krok 3 - Ustal czy punkt \\(x = 5\\) należy do przedziału.</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(f(5) = 0\\), a szukamy wartości <strong>ściśle ujemnych</strong> (\\(f &lt; 0\\)), punkt \\(x = 5\\) <strong>nie należy</strong> → nawias otwarty \\((\\) od lewej.</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong><br>\\[\\boxed{f(x) &lt; 0 \\iff x \\in (5,\\ 7\\rangle}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie granic przedziału</h4>\n<p>Sprawdzamy każdy z potencjalnych granic szukanego przedziału:</p>\n<p>| \\(x\\) | \\(f(x)\\) | Wniosek |<br>| \\(x = 5\\) | \\(f(5) = 0\\) | zero, nie ujemna → punkt <strong>nie wchodzi</strong> |<br>| \\(x = 6\\) (wewnątrz) | \\(f(6) &lt; 0\\) | ujemna ✓ → punkt należy |<br>| \\(x = 7\\) | \\(f(7) &lt; 0\\) | ujemna ✓ → <strong>wchodzi</strong> (zamknięty kraniec) |<br>| \\(x = 4\\) | \\(f(4) &gt; 0\\) | dodatnia → <strong>nie należy</strong> |</p>\n<p>Stąd jedynym fragmentem, gdzie \\(f\\) jest <strong>wyłącznie ujemna</strong>, jest \\((5, 7\\rangle\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu <strong>nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE</strong> - wystarczy odczyt z wykresu i definicja:</p>\n<blockquote>Funkcja \\(f\\) przyjmuje wartości ujemne dla tych \\(x\\), dla których punkt wykresu leży <strong>poniżej osi \\(OX\\)</strong> (czyli \\(f(x) &lt; 0\\)).</blockquote>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(\\langle 5, 0\\rangle\\) - to odwrócony przedział (lewy kraniec \\(5 &gt;\\) prawy kraniec \\(0\\)), czyli <strong>zbiór pusty</strong> w sensie matematycznym; klasyczna pułapka na nieuważnych |<br>| C | \\((0, 7\\rangle\\) - za szeroki przedział; na odcinku \\((0, 5)\\) funkcja \\(f\\) przyjmuje <strong>wartości dodatnie</strong>, więc nie cały ten przedział spełnia warunek |<br>| D | \\(\\langle -6, 5\\rangle\\) - funkcja w ogóle nie jest określona dla \\(x &lt; -3\\); poza tym dla \\(x \\in \\langle -3, 5\\rangle\\) funkcja przyjmuje zarówno wartości ujemne, jak i dodatnie, a nie <strong>tylko</strong> ujemne |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pytanie brzmi „tylko wartości <strong>ujemne</strong>&quot; - przedział musi zawierać się <strong>całkowicie poniżej osi OX</strong>. Nie wystarczy, że gdzieś tam \\(f &lt; 0\\); na całym przedziale musi być \\(f &lt; 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(x = 5\\), gdzie \\(f(5) = 0\\), <strong>nie daje wartości ujemnej</strong> - zero to zero, nie minus! Stąd nawias otwarty \\((5, \\ldots\\). Uczniowie często o tym zapominają i dają nawias zamknięty.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, czy przedział zawiera się w <strong>dziedzinie</strong> funkcji. Odpowiedź D zawiera \\(x &lt; -3\\), gdzie \\(f\\) po prostu nie istnieje.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza znaku funkcji</h5>\n<p>Funkcja \\(f\\) ma miejsce zerowe w \\(x=5\\) (wykres przecina oś \\(Ox\\)).</p>\n<ul><li>Dla \\(x\\in(5, 7\\rangle\\): wykres jest <strong>pod osią</strong> \\(Ox\\), więc \\(f(x)&lt;0\\).</li><li>Dla \\(x&lt;5\\): \\(f(x)\\ge 0\\) (w różnych miejscach).</li></ul>\n<p>Zatem przedział \\((5, 7\\rangle\\) to miejsce, gdzie funkcja przyjmuje wartości <strong>tylko ujemne</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja punktów końcowych</h5>\n<ul><li>\\(f(5) = 0\\) - nie należy (otwarty nawias).</li><li>\\(f(7) = -3 &lt; 0\\) - należy (zamknięty nawias).</li><li>Wszystkie pośrednie \\(f(x) &lt; 0\\).</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\langle 5, 0\\rangle\\)</strong> - zapis niepoprawny (niemalejący), w dodatku \\(f(5)=0\\ne\\) ujemne.</li><li><strong>C. \\((0, 7\\rangle\\)</strong> - zawiera \\(x\\in(0,5)\\), gdzie \\(f(x)&gt;0\\).</li><li><strong>D. \\(\\langle -6, 5\\rangle\\)</strong> - tu \\(f\\) jest nieujemna.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> „tylko ujemne&quot; = cały przedział pod osią \\(Ox\\).</p>"}]}