{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3\n)x\nx\n\n\nA.\nB.\nC.\nD.\nWskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3-x) > x.","answer":"D","answer_text":"3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nZbiór rozwiązań nierówności \\(2(3-x) > x\\) to przedział otwarty \\((-\\infty, 2)\\) - czyli półprosta w lewo od punktu \\(2\\) z otwartym końcem.\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne\n\nRozwiązujemy nierówność krok po kroku:\n\n\\[2(3 - x) > x\\]\n\n**Krok 1:** Rozwijamy nawias:\n\\[6 - 2x > x\\]\n\n**Krok 2:** Przenosimy \\(x\\) na lewą stronę (dodajemy \\(2x\\) do obu stron):\n\\[6 > x + 2x\\]\n\\[6 > 3x\\]\n\n**Krok 3:** Dzielimy obie strony przez \\(3\\) (liczba dodatnia - znak nierówności się **nie zmienia**):\n\\[\\frac{6}{3} > x\\]\n\\[2 > x\\]\n\nCo jest równoważne:\n\\[x < 2\\]\n\n**Zbiór rozwiązań:** \\(x \\in (-\\infty, 2)\\) - czyli półprosta w lewo od punktu \\(2\\), z otwartym punktem końcowym (punkt \\(2\\) nie należy do zbioru, bo mamy nierówność ostrą \\(>\\)).\n\nNa osi liczbowej: punkt \\(2\\) **otwarty** (pusty kółko), zacieniowanie w lewo. To odpowiada rysunkowi **D**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy kilka wartości, żeby potwierdzić wynik.\n\n**Sprawdzenie \\(x = 0\\)** (powinno należeć do rozwiązania, bo \\(0 < 2\\)):\n\\[2(3 - 0) > 0 \\implies 6 > 0 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(x = 2\\)** (granica - nie powinno należeć):\n\\[2(3 - 2) > 2 \\implies 2 \\cdot 1 > 2 \\implies 2 > 2 \\quad \\times\\]\nRówność, nie ostrość - punkt \\(2\\) **nie należy** do rozwiązania.\n\n**Sprawdzenie \\(x = 5\\)** (nie powinno należeć, bo \\(5 > 2\\)):\n\\[2(3 - 5) > 5 \\implies 2 \\cdot (-2) > 5 \\implies -4 > 5 \\quad \\times\\]\n\nWszystko się zgadza - zbiór rozwiązań to \\((-\\infty, 2)\\), punkt \\(2\\) otwarty, kierunek w lewo.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowych przekształceń nierówności liniowych (rozwijanie nawiasów, przenoszenie wyrazów, dzielenie przez liczbę dodatnią).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Co pokazuje | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Półprosta w prawo od \\(2\\) (otwarty) | Odwrócono sens nierówności: uczeń czyta \\(x > 2\\) zamiast \\(x < 2\\) |\n| B | Przedział otwarty \\((2, 4)\\) | Błąd przy dzieleniu lub traktowanie jako równanie z dwoma rozwiązaniami |\n| C | Półprosta w prawo od \\(5\\) | Błąd w rozwinięciu nawiasu: np. \\(2(3-x) = 6 - x\\) zamiast \\(6 - 2x\\), co daje \\(6 - x > x \\Rightarrow x < 3\\) - lub inne błędne uproszczenie prowadzące do liczby \\(5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dzielisz lub mnożysz obie strony nierówności przez liczbę **ujemną**, musisz **odwrócić znak nierówności**. Tutaj dzieliliśmy przez \\(+3\\), więc znak pozostaje bez zmian - ale gdyby było \\(-3\\), znak by się zmienił.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(2\\) jest **otwarty** (puste kółko na osi), bo nierówność jest **ostra** (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)). Gdyby było \\(\\geq\\), punkt \\(2\\) należałby do zbioru - rysowalibyśmy **zamknięte** kółko.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo odczytać wynik \\(2 > x\\) i pomyśleć, że to \\(x > 2\\) (bo widzimy \\(2\\) przed \\(x\\)). Zawsze przepisuj jako \\(x < 2\\), żeby kierunek był oczywisty!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności\nRozwiązujemy nierówność \\(2(3-x)>x\\):\n\\[6 - 2x > x\\]\n\\[6 > 3x\\]\n\\[x < 2.\\]\nZbiór rozwiązań: \\((-\\infty, 2)\\) - przedział otwarty od \\(-\\infty\\) do \\(2\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wartości\nDla \\(x=0\\): \\(2\\cdot 3 = 6 > 0\\) ✓ - \\(0\\) spełnia nierówność.\nDla \\(x=3\\): \\(2\\cdot 0 = 0\\); \\(0>3\\) - fałsz.\nZatem \\(x<2\\), co zgadza się z rysunkiem **D**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Sugeruje dwa rozłączne zbiory - błędna interpretacja.\n- **B.** \\((2, 4)\\) - żadna z wartości spoza tego nie jest rozwiązaniem.\n- **C.** \\((4, \\infty)\\) - zły kierunek nierówności.\n\n**Trik:** rozwiń nawiasy i skrupulatnie zbierz \\(x\\) po jednej stronie.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 1. (1 pkt)<br>Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3<br>)x<br>x<br><br><br>A.<br>B.<br>C.<br>D.<br>Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3-x) &gt; x.</p>","answer_text_html":"<p>3<br>4<br>5<br>6<br>7<br>8<br>9<br>10<br>11<br>12<br>13<br>14<br>15<br>16<br>17<br>18<br>19<br>20<br>21<br>22<br>23<br>24<br>25</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Zbiór rozwiązań nierówności \\(2(3-x) &gt; x\\) to przedział otwarty \\((-\\infty, 2)\\) - czyli półprosta w lewo od punktu \\(2\\) z otwartym końcem.</p>\n<h4>Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne</h4>\n<p>Rozwiązujemy nierówność krok po kroku:</p>\n<p>\\[2(3 - x) &gt; x\\]</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Rozwijamy nawias:<br>\\[6 - 2x &gt; x\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Przenosimy \\(x\\) na lewą stronę (dodajemy \\(2x\\) do obu stron):<br>\\[6 &gt; x + 2x\\]<br>\\[6 &gt; 3x\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Dzielimy obie strony przez \\(3\\) (liczba dodatnia - znak nierówności się <strong>nie zmienia</strong>):<br>\\[\\frac{6}{3} &gt; x\\]<br>\\[2 &gt; x\\]</p>\n<p>Co jest równoważne:<br>\\[x &lt; 2\\]</p>\n<p><strong>Zbiór rozwiązań:</strong> \\(x \\in (-\\infty, 2)\\) - czyli półprosta w lewo od punktu \\(2\\), z otwartym punktem końcowym (punkt \\(2\\) nie należy do zbioru, bo mamy nierówność ostrą \\(&gt;\\)).</p>\n<p>Na osi liczbowej: punkt \\(2\\) <strong>otwarty</strong> (pusty kółko), zacieniowanie w lewo. To odpowiada rysunkowi <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy kilka wartości, żeby potwierdzić wynik.</p>\n<p><strong>Sprawdzenie \\(x = 0\\)</strong> (powinno należeć do rozwiązania, bo \\(0 &lt; 2\\)):<br>\\[2(3 - 0) &gt; 0 \\implies 6 &gt; 0 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie \\(x = 2\\)</strong> (granica - nie powinno należeć):<br>\\[2(3 - 2) &gt; 2 \\implies 2 \\cdot 1 &gt; 2 \\implies 2 &gt; 2 \\quad \\times\\]<br>Równość, nie ostrość - punkt \\(2\\) <strong>nie należy</strong> do rozwiązania.</p>\n<p><strong>Sprawdzenie \\(x = 5\\)</strong> (nie powinno należeć, bo \\(5 &gt; 2\\)):<br>\\[2(3 - 5) &gt; 5 \\implies 2 \\cdot (-2) &gt; 5 \\implies -4 &gt; 5 \\quad \\times\\]</p>\n<p>Wszystko się zgadza - zbiór rozwiązań to \\((-\\infty, 2)\\), punkt \\(2\\) otwarty, kierunek w lewo.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowych przekształceń nierówności liniowych (rozwijanie nawiasów, przenoszenie wyrazów, dzielenie przez liczbę dodatnią).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Co pokazuje | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Półprosta w prawo od \\(2\\) (otwarty) | Odwrócono sens nierówności: uczeń czyta \\(x &gt; 2\\) zamiast \\(x &lt; 2\\) |<br>| B | Przedział otwarty \\((2, 4)\\) | Błąd przy dzieleniu lub traktowanie jako równanie z dwoma rozwiązaniami |<br>| C | Półprosta w prawo od \\(5\\) | Błąd w rozwinięciu nawiasu: np. \\(2(3-x) = 6 - x\\) zamiast \\(6 - 2x\\), co daje \\(6 - x &gt; x \\Rightarrow x &lt; 3\\) - lub inne błędne uproszczenie prowadzące do liczby \\(5\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy dzielisz lub mnożysz obie strony nierówności przez liczbę <strong>ujemną</strong>, musisz <strong>odwrócić znak nierówności</strong>. Tutaj dzieliliśmy przez \\(+3\\), więc znak pozostaje bez zmian - ale gdyby było \\(-3\\), znak by się zmienił.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(2\\) jest <strong>otwarty</strong> (puste kółko na osi), bo nierówność jest <strong>ostra</strong> (\\(&gt;\\), nie \\(\\geq\\)). Gdyby było \\(\\geq\\), punkt \\(2\\) należałby do zbioru - rysowalibyśmy <strong>zamknięte</strong> kółko.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo odczytać wynik \\(2 &gt; x\\) i pomyśleć, że to \\(x &gt; 2\\) (bo widzimy \\(2\\) przed \\(x\\)). Zawsze przepisuj jako \\(x &lt; 2\\), żeby kierunek był oczywisty!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności</h5>\n<p>Rozwiązujemy nierówność \\(2(3-x)&gt;x\\):<br>\\[6 - 2x &gt; x\\]<br>\\[6 &gt; 3x\\]<br>\\[x &lt; 2.\\]<br>Zbiór rozwiązań: \\((-\\infty, 2)\\) - przedział otwarty od \\(-\\infty\\) do \\(2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie wartości</h5>\n<p>Dla \\(x=0\\): \\(2\\cdot 3 = 6 &gt; 0\\) ✓ - \\(0\\) spełnia nierówność.<br>Dla \\(x=3\\): \\(2\\cdot 0 = 0\\); \\(0&gt;3\\) - fałsz.<br>Zatem \\(x&lt;2\\), co zgadza się z rysunkiem <strong>D</strong>.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Sugeruje dwa rozłączne zbiory - błędna interpretacja.</li><li><strong>B.</strong> \\((2, 4)\\) - żadna z wartości spoza tego nie jest rozwiązaniem.</li><li><strong>C.</strong> \\((4, \\infty)\\) - zły kierunek nierówności.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> rozwiń nawiasy i skrupulatnie zbierz \\(x\\) po jednej stronie.</p>"}]}