{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nLiczba\n2\n2\nlog 100\nlog 50\n\njest równa\nA.\n2\nlog 50\nB. 1\nC. 2\nD.\n2\nlog 5000\nLiczba log_2 100 - log_2 50 jest równa A. log_2 50, B. 1, C. 2, D. log_2 5000","answer":"B","answer_text":"\n15\n\n\n8250\nlub\n\n\n10\n\n\ny\n\n15\n\n\n8250\nlub\nx\n\n\nx\n\n210\n\n\n6000\nlub","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - Własność logarytmu ilorazu\n\nKorzystamy z wzoru na logarytm ilorazu:\n\\[\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\]\n\nStosujemy go bezpośrednio:\n\\[\\log_2 100 - \\log_2 50 = \\log_2 \\frac{100}{50} = \\log_2 2\\]\n\nTeraz korzystamy z definicji logarytmu - logarytm z podstawy równej tej podstawie wynosi zawsze 1:\n\\[\\log_2 2 = 1\\]\n\n**Odpowiedź: \\(1\\)**\n\n## Sposób 2 - Zamiana na postać potęgową (weryfikacja)\n\nObliczamy każdy logarytm osobno, rozkładając liczby na czynniki pierwsze.\n\n\\[100 = 4 \\cdot 25 = 2^2 \\cdot 5^2\\]\n\\[50 = 2 \\cdot 25 = 2^1 \\cdot 5^2\\]\n\nStąd:\n\\[\\log_2 100 = \\log_2(2^2 \\cdot 5^2) = 2 + 2\\log_2 5\\]\n\\[\\log_2 50 = \\log_2(2 \\cdot 5^2) = 1 + 2\\log_2 5\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[\\log_2 100 - \\log_2 50 = (2 + 2\\log_2 5) - (1 + 2\\log_2 5) = 2 - 1 = \\mathbf{1}\\]\n\nCzłony z \\(\\log_2 5\\) znoszą się - wynik: **\\(1\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyta w Sposobie 1 do połączenia obu logarytmów w jeden.\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nStąd \\(\\log_2 2 = 1\\), bo \\(2^1 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(\\log_2 50\\) | Uczeń odejmuje logarytmy jak liczby: \\(\\log_2 100 - \\log_2 50 \\overset{?}{=} \\log_2(100 - 50) = \\log_2 50\\). To **zły wzór** - nie istnieje reguła \"logarytm różnicy = różnica argumentów\". |\n| C: \\(2\\) | Uczeń myli wynik z wykładnikiem: widzi \\(\\log_2 100 = \\log_2 10^2\\) i \"czyta\" samą potęgę \\(2\\), ignorując zmianę podstawy lub dalsze obliczenia. |\n| D: \\(\\log_2 5000\\) | Uczeń stosuje wzór na **sumę** zamiast różnicę: \\(\\log_2 100 + \\log_2 50 = \\log_2 5000\\). Pomylił znak - minus staje się mnożeniem, a nie dzieleniem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm różnicy to NIE jest różnica argumentów. \\(\\log_a(x - y) \\neq \\log_a x - \\log_a y\\). Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_2 2 = 1\\) - zawsze! Logarytm z liczby równej podstawie wynosi dokładnie 1. Warto to zapamiętać jako fakt natychmiastowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli w wyniku wychodzi \\(\\log_a(\\text{jakaś liczba})\\), sprawdź, czy nie da się tego uproscić do zwykłej liczby całkowitej - tu właśnie \\(\\log_2 2 = 1\\), a nie \"zostawiamy jako logarytm\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność logarytmów (różnica)\n\\[\\log_{a}x - \\log_{a}y = \\log_{a}\\dfrac{x}{y}.\\]\n\\[\\log_{2}100 - \\log_{2}50 = \\log_{2}\\dfrac{100}{50} = \\log_{2}2 = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Definicja logarytmu\n\\(\\log_{2}2 = c\\) oznacza \\(2^{c}=2\\), więc \\(c=1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\log_{2}50\\):** pomylono dzielenie z odejmowaniem.\n- **C. \\(2\\):** \\(\\log_{2}4 = 2\\), a tu \\(\\tfrac{100}{50}=2\\), więc \\(\\log_{2}2=1\\).\n- **D. \\(\\log_{2}5000\\):** mnożenie zamiast dzielenia (\\(\\log_{a}(xy) = \\log_{a}x + \\log_{a}y\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log_{a}x - \\log_{a}y = \\log_{a}\\tfrac{x}{y}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 10. (1 pkt)
Liczba
2
2
log 100
log 50

jest równa
A.
2
log 50
B. 1
C. 2
D.
2
log 5000
Liczba log_2 100 - log_2 50 jest równa A. log_2 50, B. 1, C. 2, D. log_2 5000

","answer_text_html":"


15


8250
lub


10


y

15


8250
lub
x


x

210


6000
lub

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(1\\)

\n

Sposób 1 - Własność logarytmu ilorazu

\n

Korzystamy z wzoru na logarytm ilorazu:
\\[\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\]

\n

Stosujemy go bezpośrednio:
\\[\\log_2 100 - \\log_2 50 = \\log_2 \\frac{100}{50} = \\log_2 2\\]

\n

Teraz korzystamy z definicji logarytmu - logarytm z podstawy równej tej podstawie wynosi zawsze 1:
\\[\\log_2 2 = 1\\]

\n

Odpowiedź: \\(1\\)

\n

Sposób 2 - Zamiana na postać potęgową (weryfikacja)

\n

Obliczamy każdy logarytm osobno, rozkładając liczby na czynniki pierwsze.

\n

\\[100 = 4 \\cdot 25 = 2^2 \\cdot 5^2\\]
\\[50 = 2 \\cdot 25 = 2^1 \\cdot 5^2\\]

\n

Stąd:
\\[\\log_2 100 = \\log_2(2^2 \\cdot 5^2) = 2 + 2\\log_2 5\\]
\\[\\log_2 50 = \\log_2(2 \\cdot 5^2) = 1 + 2\\log_2 5\\]

\n

Odejmujemy:
\\[\\log_2 100 - \\log_2 50 = (2 + 2\\log_2 5) - (1 + 2\\log_2 5) = 2 - 1 = \\mathbf{1}\\]

\n

Człony z \\(\\log_2 5\\) znoszą się - wynik: \\(1\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - własność logarytmu ilorazu:
\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]
Użyta w Sposobie 1 do połączenia obu logarytmów w jeden.

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - definicja logarytmu:
\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]
Stąd \\(\\log_2 2 = 1\\), bo \\(2^1 = 2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A: \\(\\log_2 50\\) | Uczeń odejmuje logarytmy jak liczby: \\(\\log_2 100 - \\log_2 50 \\overset{?}{=} \\log_2(100 - 50) = \\log_2 50\\). To zły wzór - nie istnieje reguła "logarytm różnicy = różnica argumentów". |
| C: \\(2\\) | Uczeń myli wynik z wykładnikiem: widzi \\(\\log_2 100 = \\log_2 10^2\\) i "czyta" samą potęgę \\(2\\), ignorując zmianę podstawy lub dalsze obliczenia. |
| D: \\(\\log_2 5000\\) | Uczeń stosuje wzór na sumę zamiast różnicę: \\(\\log_2 100 + \\log_2 50 = \\log_2 5000\\). Pomylił znak - minus staje się mnożeniem, a nie dzieleniem. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Logarytm różnicy to NIE jest różnica argumentów. \\(\\log_a(x - y) \\neq \\log_a x - \\log_a y\\). Różnica logarytmów to logarytm ilorazu: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_2 2 = 1\\) - zawsze! Logarytm z liczby równej podstawie wynosi dokładnie 1. Warto to zapamiętać jako fakt natychmiastowy.
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli w wyniku wychodzi \\(\\log_a(\\text{jakaś liczba})\\), sprawdź, czy nie da się tego uproscić do zwykłej liczby całkowitej - tu właśnie \\(\\log_2 2 = 1\\), a nie "zostawiamy jako logarytm".
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Własność logarytmów (różnica)
\n

\\[\\log_{a}x - \\log_{a}y = \\log_{a}\\dfrac{x}{y}.\\]
\\[\\log_{2}100 - \\log_{2}50 = \\log_{2}\\dfrac{100}{50} = \\log_{2}2 = 1.\\]

\n
Sposób 2 - Definicja logarytmu
\n

\\(\\log_{2}2 = c\\) oznacza \\(2^{c}=2\\), więc \\(c=1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(\\log_{a}x - \\log_{a}y = \\log_{a}\\tfrac{x}{y}\\).

"}]}