{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nWielomian\n\n\n2\n2\n( )\n3\n2\nW x\nx\n\n\njest równy wielomianowi\nA.\n4\n2\n9\n12\n4\nx\nx\n\n\nB.\n4\n2\n9\n12\n4\nx\nx\n\n\nC.\n4\n9\n4\nx \nD.\n4\n9\n4\nx \nWielomian W(x) = (3x-2)^2 jest równy wielomianowi A. 9x^4 - 12x^2 + 4, B. 9x^4 + 12x^2 + 4, C. 9x^4-4, D. 9x^4+4","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(9x^{4}-12x^{2}+4\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na kwadrat różnicy \\((a-b)^2\\)\n\nZauważamy, że wyrażenie \\((3x^2 - 2)^2\\) ma postać \\((a - b)^2\\), gdzie:\n\\[a = 3x^2, \\quad b = 2\\]\n\nStosujemy wzór skróconego mnożenia:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[(3x^2 - 2)^2 = (3x^2)^2 - 2 \\cdot (3x^2) \\cdot 2 + 2^2\\]\n\nObliczamy każdy składnik:\n\\[(3x^2)^2 = 9x^4\\]\n\\[2 \\cdot 3x^2 \\cdot 2 = 12x^2\\]\n\\[2^2 = 4\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{W(x) = 9x^4 - 12x^2 + 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Mnożenie nawiasów \"na piechotę\"\n\nZamiast korzystać ze wzoru, możemy po prostu rozmnożyć nawias przez nawias:\n\n\\[(3x^2 - 2)(3x^2 - 2)\\]\n\nKażdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego:\n\\[= 3x^2 \\cdot 3x^2 + 3x^2 \\cdot (-2) + (-2) \\cdot 3x^2 + (-2) \\cdot (-2)\\]\n\\[= 9x^4 - 6x^2 - 6x^2 + 4\\]\n\nŁączymy wyrazy podobne:\n\\[= 9x^4 - 12x^2 + 4\\]\n\nWynik zgodny z odpowiedzią A. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(a = 3x^2\\) i \\(b = 2\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy przy obliczaniu \\((3x^2)^2 = 9x^4\\), bo \\((3)^2 = 9\\) i \\((x^2)^2 = x^4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | Zamiast \\(-2ab\\) napisano \\(+2ab\\) - zgubiono minus ze wzoru \\((a-b)^2\\). Gdyby liczyć \\((3x^2+2)^2\\), wychodziłoby \\(9x^4+12x^2+4\\). |\n| **C** | Zastosowano błędny \"wzór\" \\((a-b)^2 = a^2 - b^2\\) - czyli wzór na różnicę kwadratów zamiast kwadratu różnicy. To całkowicie inny wzór! |\n| **D** | Połączono dwa błędy naraz: zły wzór \\((a-b)^2 = a^2 + b^2\\) (zniknął środkowy składnik) i zgubiono minus. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\((a-b)^2\\) z \\(a^2 - b^2\\). To są RÓŻNE wzory! Kwadrat różnicy ma **trzy** składniki: \\(a^2 - 2ab + b^2\\). Różnica kwadratów ma **dwa**: \\((a-b)(a+b)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o środkowym wyrazie \\(-2ab\\)! Uczniowie nagminnie \"zapominają\" o członie \\(-12x^2\\) i wybierają odpowiedź C lub D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy potęgowaniu \\((3x^2)^2\\) potęgujemy **zarówno współczynnik, jak i zmienną**: \\(3^2 \\cdot (x^2)^2 = 9x^4\\). Błędem jest napisanie \\(3x^4\\) (zapomnienie o podniesieniu \\(3^2\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\n\\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\). Tu \\(a=3x^{2}\\), \\(b=2\\):\n\\[(3x^{2}-2)^{2} = (3x^{2})^{2} - 2\\cdot 3x^{2}\\cdot 2 + 2^{2} = 9x^{4} - 12x^{2} + 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozwijanie nawiasu\n\\((3x^{2}-2)(3x^{2}-2) = 9x^{4} - 6x^{2} - 6x^{2} + 4 = 9x^{4} - 12x^{2} + 4.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(9x^{4}+12x^{2}+4\\) - to \\((3x^{2}+2)^{2}\\), zły znak środkowego wyrazu.\n- **C.** \\(9x^{4}-4\\) - to \\((3x^{2}-2)(3x^{2}+2)\\), różnica kwadratów.\n- **D.** \\(9x^{4}+4\\) - brak środkowego wyrazu, błąd.\n\n**Pamiętaj:** \\((a-b)^{2} \\ne a^{2}-b^{2}\\) - środkowy wyraz \\(-2ab\\) jest kluczowy.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
Wielomian


2
2
( )
3
2
W x
x


jest równy wielomianowi
A.
4
2
9
12
4
x
x


B.
4
2
9
12
4
x
x


C.
4
9
4
x 
D.
4
9
4
x 
Wielomian W(x) = (3x-2)^2 jest równy wielomianowi A. 9x^4 - 12x^2 + 4, B. 9x^4 + 12x^2 + 4, C. 9x^4-4, D. 9x^4+4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(9x^{4}-12x^{2}+4\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na kwadrat różnicy \\((a-b)^2\\)

\n

Zauważamy, że wyrażenie \\((3x^2 - 2)^2\\) ma postać \\((a - b)^2\\), gdzie:
\\[a = 3x^2, \\quad b = 2\\]

\n

Stosujemy wzór skróconego mnożenia:
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]

\n

Podstawiamy:
\\[(3x^2 - 2)^2 = (3x^2)^2 - 2 \\cdot (3x^2) \\cdot 2 + 2^2\\]

\n

Obliczamy każdy składnik:
\\[(3x^2)^2 = 9x^4\\]
\\[2 \\cdot 3x^2 \\cdot 2 = 12x^2\\]
\\[2^2 = 4\\]

\n

Zatem:
\\[\\boxed{W(x) = 9x^4 - 12x^2 + 4}\\]

\n

Sposób 2 - Mnożenie nawiasów "na piechotę"

\n

Zamiast korzystać ze wzoru, możemy po prostu rozmnożyć nawias przez nawias:

\n

\\[(3x^2 - 2)(3x^2 - 2)\\]

\n

Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego:
\\[= 3x^2 \\cdot 3x^2 + 3x^2 \\cdot (-2) + (-2) \\cdot 3x^2 + (-2) \\cdot (-2)\\]
\\[= 9x^4 - 6x^2 - 6x^2 + 4\\]

\n

Łączymy wyrazy podobne:
\\[= 9x^4 - 12x^2 + 4\\]

\n

Wynik zgodny z odpowiedzią A. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(a = 3x^2\\) i \\(b = 2\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):
\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Użyliśmy przy obliczaniu \\((3x^2)^2 = 9x^4\\), bo \\((3)^2 = 9\\) i \\((x^2)^2 = x^4\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Zamiast \\(-2ab\\) napisano \\(+2ab\\) - zgubiono minus ze wzoru \\((a-b)^2\\). Gdyby liczyć \\((3x^2+2)^2\\), wychodziłoby \\(9x^4+12x^2+4\\). |
| C | Zastosowano błędny "wzór" \\((a-b)^2 = a^2 - b^2\\) - czyli wzór na różnicę kwadratów zamiast kwadratu różnicy. To całkowicie inny wzór! |
| D | Połączono dwa błędy naraz: zły wzór \\((a-b)^2 = a^2 + b^2\\) (zniknął środkowy składnik) i zgubiono minus. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pomylenie \\((a-b)^2\\) z \\(a^2 - b^2\\). To są RÓŻNE wzory! Kwadrat różnicy ma trzy składniki: \\(a^2 - 2ab + b^2\\). Różnica kwadratów ma dwa: \\((a-b)(a+b)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o środkowym wyrazie \\(-2ab\\)! Uczniowie nagminnie "zapominają" o członie \\(-12x^2\\) i wybierają odpowiedź C lub D.
\n
⚠️ Uwaga: Przy potęgowaniu \\((3x^2)^2\\) potęgujemy zarówno współczynnik, jak i zmienną: \\(3^2 \\cdot (x^2)^2 = 9x^4\\). Błędem jest napisanie \\(3x^4\\) (zapomnienie o podniesieniu \\(3^2\\)).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia
\n

\\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\). Tu \\(a=3x^{2}\\), \\(b=2\\):
\\[(3x^{2}-2)^{2} = (3x^{2})^{2} - 2\\cdot 3x^{2}\\cdot 2 + 2^{2} = 9x^{4} - 12x^{2} + 4.\\]

\n
Sposób 2 - Rozwijanie nawiasu
\n

\\((3x^{2}-2)(3x^{2}-2) = 9x^{4} - 6x^{2} - 6x^{2} + 4 = 9x^{4} - 12x^{2} + 4.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\((a-b)^{2} \\ne a^{2}-b^{2}\\) - środkowy wyraz \\(-2ab\\) jest kluczowy.

"}]}