{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nZ prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15\n(tak jak a rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy\nA\nB\nC\nD\nO\nA. 25\nB. 30\nC. 35\nD. 40\nZ prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15 (tak jak a rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy A. 25, B. 30, C. 35, D. 40.","answer":"C","answer_text":"6\n\nx\n2\n\n12\n\n\n0\nlub\nx\n2\n\nx\n\n6\n\n\n12\n\nx\n\n6\n\n\n0","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (35)\n\n## Sposób 1 - Analiza obwodów: co dodajemy, co odejmujemy\n\n**Krok 1: Znajdź bok trójkąta równobocznego.**\n\nTrójkąt \\(AOD\\) jest równoboczny i ma obwód 15, więc:\n\\[|AO| = |OD| = |AD| = \\frac{15}{3} = 5\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wymiary prostokąta.**\n\nBok \\(AD\\) to lewa krawędź prostokąta (A - lewy dolny, D - lewy górny), więc wysokość prostokąta:\n\\[|AD| = 5\\]\n\nZ obwodu prostokąta:\n\\[2(|AB| + |AD|) = 30 \\implies |AB| + 5 = 15 \\implies |AB| = 10\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz obwód zacieniowanej figury.**\n\nWycinając trójkąt \\(AOD\\), usuwamy bok \\(AD\\) z obrysu prostokąta, a w jego miejsce pojawiają się dwa boki trójkąta: \\(AO\\) i \\(OD\\).\n\n\\[\\text{Obwód zacieniowanej} = \\underbrace{(\\text{obwód prostokąta})}_{30} - \\underbrace{|AD|}_{5} + \\underbrace{|AO| + |OD|}_{5 + 5}\\]\n\n\\[\\boxed{= 30 - 5 + 10 = 35}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie obwodu\n\nIdąc po granicy zacieniowanej figury:\n\n| Odcinek | Długość |\n| \\(A \\to B\\) (dół) | 10 |\n| \\(B \\to C\\) (prawa strona) | 5 |\n| \\(C \\to D\\) (góra) | 10 |\n| \\(D \\to O\\) (bok trójkąta) | 5 |\n| \\(O \\to A\\) (bok trójkąta) | 5 |\n\n\\[\\text{Suma} = 10 + 5 + 10 + 5 + 5 = \\mathbf{35}\\]\n\nWynik zgodny z metodą pierwszą. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy skomplikowanych wzorów z karty - wystarczą definicje:\n\n- **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - trójkąt równoboczny: \\(|AO| = |OD| = |AD|\\).\n- Obwód jako suma długości boków granicznych figury.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** (25) | Policzono tylko trzy boki prostokąta bez lewej krawędzi: \\(10 + 5 + 10 = 25\\), zapominając dodać \\(|AO|\\) i \\(|OD|\\) |\n| **B** (30) | Uznano, że obwód zacieniowanej figury = obwód prostokąta = 30; pominięto fakt, że wycięcie trójkąta zmienia obrys |\n| **D** (40) | Dodano pełny obwód trójkąta do obwodu prostokąta bez odjęcia \\(|AD|\\): \\(30 + 15 - 5 = 40\\) - podwójne liczenie boku \\(AD\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wycinając figurę, bok \\(AD\\) **znika** z obrysu zewnętrznego - zastępują go dwa boki trójkąta. Łatwo zapomnieć odjąć \\(|AD|\\) i wtedy wynik wychodzi za duży (odpowiedź D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro trójkąt jest równoboczny i jego jeden bok to \\(|AD|\\), musisz **najpierw** obliczyć długość boku z obwodu trójkąta, a dopiero potem znaleźć drugi wymiar prostokąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(O\\) leży **wewnątrz** prostokąta - boki \\(AO\\) i \\(OD\\) tworzą nową, \"wciętą\" krawędź figury. Nie wolno ich pominąć przy liczeniu obwodu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Dodawanie i odejmowanie boków\nTrójkąt równoboczny \\(AOD\\) ma obwód \\(15\\), więc każdy jego bok = \\(5\\). W szczególności \\(|AD|=5\\).\nProstokąt \\(ABCD\\) ma obwód \\(30\\). \\(|AD|=5\\), więc \\(|AB|=\\dfrac{30-2\\cdot 5}{2}=\\dfrac{20}{2}=10\\).\n\nZacieniowana figura ma brzeg: \\(AB\\), \\(BC\\), \\(CD\\) (bez \\(AD\\)) + dwa boki trójkąta \\(AO\\) i \\(OD\\).\n\\[O_{\\text{zac}} = |AB| + |BC| + |CD| + |AO| + |OD| = 10 + 5 + 10 + 5 + 5 = 35.\\]\n\n### Sposób 2 - Obwód dwóch figur\nObwód prostokąta: \\(30\\). Odejmujemy bok \\(AD=5\\) i dodajemy dwa boki trójkąta \\(AO+OD=10\\):\n\\[O = 30 - 5 + 10 = 35.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(25\\):** obwód minus wszystkie trzy boki trójkąta (błąd).\n- **B. \\(30\\):** obwód prostokąta bez zmian.\n- **D. \\(40\\):** dodanie całego obwodu trójkąta.\n\n**Trik:** przy wycinaniu - usuwamy fragment brzegu wyciętej figury, dodajemy pozostałe boki wyciętego kształtu.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 12. (1 pkt)<br>Z prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15<br>(tak jak a rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy<br>A<br>B<br>C<br>D<br>O<br>A. 25<br>B. 30<br>C. 35<br>D. 40<br>Z prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15 (tak jak a rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy A. 25, B. 30, C. 35, D. 40.</p>","answer_text_html":"<p>6<br><br>x<br>2<br><br>12<br><br><br>0<br>lub<br>x<br>2<br><br>x<br><br>6<br><br><br>12<br><br>x<br><br>6<br><br><br>0</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (35)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza obwodów: co dodajemy, co odejmujemy</h4>\n<p><strong>Krok 1: Znajdź bok trójkąta równobocznego.</strong></p>\n<p>Trójkąt \\(AOD\\) jest równoboczny i ma obwód 15, więc:<br>\\[|AO| = |OD| = |AD| = \\frac{15}{3} = 5\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz wymiary prostokąta.</strong></p>\n<p>Bok \\(AD\\) to lewa krawędź prostokąta (A - lewy dolny, D - lewy górny), więc wysokość prostokąta:<br>\\[|AD| = 5\\]</p>\n<p>Z obwodu prostokąta:<br>\\[2(|AB| + |AD|) = 30 \\implies |AB| + 5 = 15 \\implies |AB| = 10\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznacz obwód zacieniowanej figury.</strong></p>\n<p>Wycinając trójkąt \\(AOD\\), usuwamy bok \\(AD\\) z obrysu prostokąta, a w jego miejsce pojawiają się dwa boki trójkąta: \\(AO\\) i \\(OD\\).</p>\n<p>\\[\\text{Obwód zacieniowanej} = \\underbrace{(\\text{obwód prostokąta})}<em>{30} - \\underbrace{|AD|}</em>{5} + \\underbrace{|AO| + |OD|}_{5 + 5}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{= 30 - 5 + 10 = 35}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie obwodu</h4>\n<p>Idąc po granicy zacieniowanej figury:</p>\n<p>| Odcinek | Długość |<br>| \\(A \\to B\\) (dół) | 10 |<br>| \\(B \\to C\\) (prawa strona) | 5 |<br>| \\(C \\to D\\) (góra) | 10 |<br>| \\(D \\to O\\) (bok trójkąta) | 5 |<br>| \\(O \\to A\\) (bok trójkąta) | 5 |</p>\n<p>\\[\\text{Suma} = 10 + 5 + 10 + 5 + 5 = \\mathbf{35}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z metodą pierwszą. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy skomplikowanych wzorów z karty - wystarczą definicje:</p>\n<ul><li><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - trójkąt równoboczny: \\(|AO| = |OD| = |AD|\\).</li><li>Obwód jako suma długości boków granicznych figury.</li></ul>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> (25) | Policzono tylko trzy boki prostokąta bez lewej krawędzi: \\(10 + 5 + 10 = 25\\), zapominając dodać \\(|AO|\\) i \\(|OD|\\) |<br>| <strong>B</strong> (30) | Uznano, że obwód zacieniowanej figury = obwód prostokąta = 30; pominięto fakt, że wycięcie trójkąta zmienia obrys |<br>| <strong>D</strong> (40) | Dodano pełny obwód trójkąta do obwodu prostokąta bez odjęcia \\(|AD|\\): \\(30 + 15 - 5 = 40\\) - podwójne liczenie boku \\(AD\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wycinając figurę, bok \\(AD\\) <strong>znika</strong> z obrysu zewnętrznego - zastępują go dwa boki trójkąta. Łatwo zapomnieć odjąć \\(|AD|\\) i wtedy wynik wychodzi za duży (odpowiedź D).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Skoro trójkąt jest równoboczny i jego jeden bok to \\(|AD|\\), musisz <strong>najpierw</strong> obliczyć długość boku z obwodu trójkąta, a dopiero potem znaleźć drugi wymiar prostokąta.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(O\\) leży <strong>wewnątrz</strong> prostokąta - boki \\(AO\\) i \\(OD\\) tworzą nową, &quot;wciętą&quot; krawędź figury. Nie wolno ich pominąć przy liczeniu obwodu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Dodawanie i odejmowanie boków</h5>\n<p>Trójkąt równoboczny \\(AOD\\) ma obwód \\(15\\), więc każdy jego bok = \\(5\\). W szczególności \\(|AD|=5\\).<br>Prostokąt \\(ABCD\\) ma obwód \\(30\\). \\(|AD|=5\\), więc \\(|AB|=\\dfrac{30-2\\cdot 5}{2}=\\dfrac{20}{2}=10\\).</p>\n<p>Zacieniowana figura ma brzeg: \\(AB\\), \\(BC\\), \\(CD\\) (bez \\(AD\\)) + dwa boki trójkąta \\(AO\\) i \\(OD\\).<br>\\[O_{\\text{zac}} = |AB| + |BC| + |CD| + |AO| + |OD| = 10 + 5 + 10 + 5 + 5 = 35.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Obwód dwóch figur</h5>\n<p>Obwód prostokąta: \\(30\\). Odejmujemy bok \\(AD=5\\) i dodajemy dwa boki trójkąta \\(AO+OD=10\\):<br>\\[O = 30 - 5 + 10 = 35.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(25\\):</strong> obwód minus wszystkie trzy boki trójkąta (błąd).</li><li><strong>B. \\(30\\):</strong> obwód prostokąta bez zmian.</li><li><strong>D. \\(40\\):</strong> dodanie całego obwodu trójkąta.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przy wycinaniu - usuwamy fragment brzegu wyciętej figury, dodajemy pozostałe boki wyciętego kształtu.</p>"}]}