{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nLiczby 3\n4\nx \n, 8, 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\ngeometrycznego. Wtedy\nA.\n6\nx \nB.\n0\nx \nC.\n6\nx \nD.\n12\nx \n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nLiczby 3x-4, 8, 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy A. x = -6, B. x = 0, C. x = 6, D. x = 12.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(x = 12\\))\n\n## Sposób 1 - Stały iloraz ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest **taki sam**. Oznaczmy wyrazy:\n\\[a_1 = 3x - 4, \\quad a_2 = 8, \\quad a_3 = 2\\]\n\nWarunek ciągu geometrycznego:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{8}{3x - 4} = \\frac{2}{8}\\]\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[8 \\cdot 8 = 2 \\cdot (3x - 4)\\]\n\\[64 = 6x - 8\\]\n\\[72 = 6x\\]\n\\[\\boxed{x = 12}\\]\n\n**Sprawdzenie:** dla \\(x = 12\\) mamy \\(a_1 = 3 \\cdot 12 - 4 = 32\\), więc ciąg to \\(32, 8, 2\\). Iloraz: \\(\\frac{8}{32} = \\frac{1}{4}\\), \\(\\frac{2}{8} = \\frac{1}{4}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu (średnia geometryczna)\n\nW ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest **średnią geometryczną** sąsiadów:\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[8^2 = (3x - 4) \\cdot 2\\]\n\\[64 = 6x - 8\\]\n\\[6x = 72\\]\n\\[\\boxed{x = 12}\\]\n\nTo ta sama równanie co w Sposobie 1 - ale dochodzimy do niej elegantszą drogą, bez dzielenia przez nieznaną.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\n\noraz definicja stałego ilorazu:\n\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = q = \\text{const}\\]\n\nUżyliśmy obu w Sposobach 1 i 2 - to dwie równoważne formy tego samego warunku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość \\(a_1\\) | Błąd |\n| A (\\(x = -6\\)) | \\(3(-6)-4 = -22\\) | Ciąg \\(-22, 8, 2\\): \\(\\frac{8}{-22} \\neq \\frac{2}{8}\\). Typowy błąd: przestawienie ilorazu, np. ustawienie \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{a_2}{a_3}\\) zamiast \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\), lub błąd znaku przy mnożeniu na krzyż. |\n| B (\\(x = 0\\)) | \\(3(0)-4 = -4\\) | Ciąg \\(-4, 8, 2\\): \\(\\frac{8}{-4} = -2 \\neq \\frac{1}{4}\\). Często wynik pośpiesznego podstawienia bez rozwiązania równania. |\n| C (\\(x = 6\\)) | \\(3(6)-4 = 14\\) | Ciąg \\(14, 8, 2\\): \\(\\frac{8}{14} \\neq \\frac{2}{8}\\). Typowy błąd: \\(64 = 6x - 8\\) → pomylono \\(72 = 6x\\) z \\(56 = 6x\\), stąd \\(x \\approx 9{,}3\\) i zaokrąglono do \\(6\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić ciągu **geometrycznego** z **arytmetycznym**! W arytmetycznym piszemy \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\), w geometrycznym \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\). Tutaj \\(8 - 2 = 6\\) i \\(8 - 32 = -24\\) - różnice nierówne, więc nie arytmetyczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **sprawdź**, czy \\(a_1 \\neq 0\\). Gdyby wyszło \\(x = \\frac{4}{3}\\), mielibyśmy \\(a_1 = 0\\) i ciąg geometryczny by nie istniał.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie na krzyż działa tylko gdy \\(a_1 \\neq 0\\). Tutaj \\(3x - 4 = 0 \\Rightarrow x = \\frac{4}{3}\\) - to nie jest rozwiązanie, więc bezpiecznie dzielimy.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek środka geometrycznego\nDla ciągu geometrycznego \\(a, b, c\\) zachodzi \\(b^{2}=a\\cdot c\\).\nTu \\(a=3x-4\\), \\(b=8\\), \\(c=2\\):\n\\[8^{2} = (3x-4)\\cdot 2\\]\n\\[64 = 6x - 8\\]\n\\[6x = 72 \\Rightarrow x = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Stały iloraz\n\\(q = \\dfrac{2}{8} = \\dfrac{1}{4}\\). Wtedy \\(a_{1} = \\dfrac{a_{2}}{q} = \\dfrac{8}{1/4} = 32\\).\nZ \\(3x-4=32\\) otrzymujemy \\(3x=36\\), \\(x=12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x=-6\\):** \\(a_{1}=-22\\), \\(\\tfrac{8}{-22}\\ne\\tfrac{2}{8}\\).\n- **B. \\(x=0\\):** \\(a_{1}=-4\\), \\(\\tfrac{8}{-4}=-2\\ne \\tfrac{1}{4}\\).\n- **C. \\(x=6\\):** \\(a_{1}=14\\), \\(\\tfrac{8}{14}\\ne \\tfrac{1}{4}\\).\n\n**Pamiętaj:** w ciągu geometrycznym \\(b^{2}=ac\\) (warunek środka geometrycznego).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 13. (1 pkt)<br>Liczby 3<br>4<br>x <br>, 8, 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu<br>geometrycznego. Wtedy<br>A.<br>6<br>x <br>B.<br>0<br>x <br>C.<br>6<br>x <br>D.<br>12<br>x </p>\n<p>Poziom podstawowy<br>5<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>6<br>Liczby 3x-4, 8, 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy A. x = -6, B. x = 0, C. x = 6, D. x = 12.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (\\(x = 12\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Stały iloraz ciągu geometrycznego</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest <strong>taki sam</strong>. Oznaczmy wyrazy:<br>\\[a_1 = 3x - 4, \\quad a_2 = 8, \\quad a_3 = 2\\]</p>\n<p>Warunek ciągu geometrycznego:<br>\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[\\frac{8}{3x - 4} = \\frac{2}{8}\\]</p>\n<p>Mnożymy na krzyż:<br>\\[8 \\cdot 8 = 2 \\cdot (3x - 4)\\]<br>\\[64 = 6x - 8\\]<br>\\[72 = 6x\\]<br>\\[\\boxed{x = 12}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> dla \\(x = 12\\) mamy \\(a_1 = 3 \\cdot 12 - 4 = 32\\), więc ciąg to \\(32, 8, 2\\). Iloraz: \\(\\frac{8}{32} = \\frac{1}{4}\\), \\(\\frac{2}{8} = \\frac{1}{4}\\) ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu (średnia geometryczna)</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest <strong>średnią geometryczną</strong> sąsiadów:<br>\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[8^2 = (3x - 4) \\cdot 2\\]<br>\\[64 = 6x - 8\\]<br>\\[6x = 72\\]<br>\\[\\boxed{x = 12}\\]</p>\n<p>To ta sama równanie co w Sposobie 1 - ale dochodzimy do niej elegantszą drogą, bez dzielenia przez nieznaną.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - własność ciągu geometrycznego:<br>\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]</p>\n<p>oraz definicja stałego ilorazu:<br>\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = q = \\text{const}\\]</p>\n<p>Użyliśmy obu w Sposobach 1 i 2 - to dwie równoważne formy tego samego warunku.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość \\(a_1\\) | Błąd |<br>| A (\\(x = -6\\)) | \\(3(-6)-4 = -22\\) | Ciąg \\(-22, 8, 2\\): \\(\\frac{8}{-22} \\neq \\frac{2}{8}\\). Typowy błąd: przestawienie ilorazu, np. ustawienie \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{a_2}{a_3}\\) zamiast \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\), lub błąd znaku przy mnożeniu na krzyż. |<br>| B (\\(x = 0\\)) | \\(3(0)-4 = -4\\) | Ciąg \\(-4, 8, 2\\): \\(\\frac{8}{-4} = -2 \\neq \\frac{1}{4}\\). Często wynik pośpiesznego podstawienia bez rozwiązania równania. |<br>| C (\\(x = 6\\)) | \\(3(6)-4 = 14\\) | Ciąg \\(14, 8, 2\\): \\(\\frac{8}{14} \\neq \\frac{2}{8}\\). Typowy błąd: \\(64 = 6x - 8\\) → pomylono \\(72 = 6x\\) z \\(56 = 6x\\), stąd \\(x \\approx 9{,}3\\) i zaokrąglono do \\(6\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić ciągu <strong>geometrycznego</strong> z <strong>arytmetycznym</strong>! W arytmetycznym piszemy \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\), w geometrycznym \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\). Tutaj \\(8 - 2 = 6\\) i \\(8 - 32 = -24\\) - różnice nierówne, więc nie arytmetyczny.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze <strong>sprawdź</strong>, czy \\(a_1 \\neq 0\\). Gdyby wyszło \\(x = \\frac{4}{3}\\), mielibyśmy \\(a_1 = 0\\) i ciąg geometryczny by nie istniał.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mnożenie na krzyż działa tylko gdy \\(a_1 \\neq 0\\). Tutaj \\(3x - 4 = 0 \\Rightarrow x = \\frac{4}{3}\\) - to nie jest rozwiązanie, więc bezpiecznie dzielimy.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek środka geometrycznego</h5>\n<p>Dla ciągu geometrycznego \\(a, b, c\\) zachodzi \\(b^{2}=a\\cdot c\\).<br>Tu \\(a=3x-4\\), \\(b=8\\), \\(c=2\\):<br>\\[8^{2} = (3x-4)\\cdot 2\\]<br>\\[64 = 6x - 8\\]<br>\\[6x = 72 \\Rightarrow x = 12.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Stały iloraz</h5>\n<p>\\(q = \\dfrac{2}{8} = \\dfrac{1}{4}\\). Wtedy \\(a_{1} = \\dfrac{a_{2}}{q} = \\dfrac{8}{1/4} = 32\\).<br>Z \\(3x-4=32\\) otrzymujemy \\(3x=36\\), \\(x=12\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(x=-6\\):</strong> \\(a_{1}=-22\\), \\(\\tfrac{8}{-22}\\ne\\tfrac{2}{8}\\).</li><li><strong>B. \\(x=0\\):</strong> \\(a_{1}=-4\\), \\(\\tfrac{8}{-4}=-2\\ne \\tfrac{1}{4}\\).</li><li><strong>C. \\(x=6\\):</strong> \\(a_{1}=14\\), \\(\\tfrac{8}{14}\\ne \\tfrac{1}{4}\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> w ciągu geometrycznym \\(b^{2}=ac\\) (warunek środka geometrycznego).</p>"}]}