{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nPunkt\n\n\n4,1\nS \njest środkiem odcinka AB , gdzie\n\n\n,0\nA\na\n\ni\n\n\n3,2\nB\na\n\n\n. Zatem\nA.\n0\na \nB.\n1\n2\na \nC.\n2\na \nD.\n5\n2\na \nPunkt S = (4,1) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(a,0) i B=(a+3,2). Zatem A. a = 0, B. a = 1/2, C. a = 2, D. a = 5/2.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(a = \\dfrac{5}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na środek odcinka (współrzędna y)\n\nKorzystamy ze wzoru na środek odcinka: współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.\n\nŚrodek \\(S = (4, 1)\\), punkty \\(A = (a, 0)\\) i \\(B = (a+3, 2)\\).\n\nZacznijmy od współrzędnej **y**, bo tam od razu dostajemy weryfikację (nie ma wolnych parametrów):\n\n\\[y_S = \\frac{y_A + y_B}{2} = \\frac{0 + 2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nZgadza się - to potwierdza, że dane są spójne.\n\nTeraz współrzędna **x**:\n\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}\\]\n\n\\[4 = \\frac{a + (a+3)}{2}\\]\n\n\\[4 = \\frac{2a + 3}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez 2:\n\n\\[8 = 2a + 3\\]\n\n\\[2a = 5\\]\n\n\\[\\boxed{a = \\frac{5}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(a = \\frac{5}{2}\\) punkt \\(S = (4, 1)\\) rzeczywiście jest środkiem:\n\n\\[A = \\left(\\frac{5}{2},\\ 0\\right), \\quad B = \\left(\\frac{5}{2} + 3,\\ 2\\right) = \\left(\\frac{11}{2},\\ 2\\right)\\]\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\):\n\n\\[x_S = \\frac{\\frac{5}{2} + \\frac{11}{2}}{2} = \\frac{\\frac{16}{2}}{2} = \\frac{8}{2} = 4 \\checkmark\\]\n\n\\[y_S = \\frac{0 + 2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź **D** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do ustawienia równania z nieznanym \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((a=0)\\) | Uczeń podstawia \\(a=0\\) i nie sprawdza - dostaje \\(x_S = \\frac{0+3}{2} = 1{,}5 \\neq 4\\). Błąd przez brak obliczeń. |\n| B \\(\\left(a=\\frac{1}{2}\\right)\\) | Błąd przy mnożeniu: uczeń liczy \\(8 = 2a+3\\) jako \\(a = \\frac{8}{3}\\) lub pomija dodanie 3 do mianownika. |\n| C \\((a=2)\\) | Uczeń zapomina dodać \\((a+3)\\) do \\(a\\) i błędnie upraszcza: \\(4 = \\frac{a + 3}{2}\\), skąd \\(a = 5\\) albo liczy \\(\\frac{a+3}{2} = 4\\), więc \\(a+3=8\\), \\(a=5\\) - i popełnia błąd arytmetyczny dostając 2. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędna \\(x\\) punktu \\(B\\) to **\\(a+3\\)**, nie \\(3\\)! Łatwo zapomnieć, że obie współrzędne zależą od \\(a\\), i podstawić do wzoru tylko \\(3\\) zamiast \\(a+3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zapisaniu \\(4 = \\frac{2a+3}{2}\\) pamiętaj, żeby **pomnożyć obie strony przez 2** przed odejmowaniem - błąd to odjęcie 3 bez tego mnożenia i dostanie \\(a = \\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto sprawdzić obie współrzędne (x i y) - w tym zadaniu y od razu daje \\(1 = 1\\), co jest dobrym sygnałem, że punkt jest poprawnie skonstruowany.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\nŚrodek odcinka \\(AB\\) ma współrzędne:\n\\[S = \\left(\\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}, \\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\\right).\\]\nPierwsza współrzędna:\n\\[\\dfrac{a + (a+3)}{2} = 4 \\Rightarrow \\dfrac{2a+3}{2} = 4 \\Rightarrow 2a+3 = 8 \\Rightarrow a = \\dfrac{5}{2}.\\]\nDruga współrzędna: \\(\\dfrac{0+2}{2}=1\\) ✓ (zgadza się).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a=\\tfrac{5}{2}\\): \\(A=(\\tfrac{5}{2}, 0)\\), \\(B=(\\tfrac{11}{2}, 2)\\).\nŚrodek: \\(\\left(\\tfrac{5/2+11/2}{2}, \\tfrac{0+2}{2}\\right) = (4, 1)\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=0\\):** środek \\((1{,}5; 1)\\), nie \\((4, 1)\\).\n- **B. \\(a=\\tfrac{1}{2}\\):** środek \\((2, 1)\\).\n- **C. \\(a=2\\):** środek \\((3{,}5; 1)\\).\n\n**Pamiętaj:** środek odcinka = średnia arytmetyczna współrzędnych końców.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>Punkt<br><br><br>4,1<br>S <br>jest środkiem odcinka AB , gdzie<br><br><br>,0<br>A<br>a<br><br>i<br><br><br>3,2<br>B<br>a<br><br><br>. Zatem<br>A.<br>0<br>a <br>B.<br>1<br>2<br>a <br>C.<br>2<br>a <br>D.<br>5<br>2<br>a <br>Punkt S = (4,1) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(a,0) i B=(a+3,2). Zatem A. a = 0, B. a = 1/2, C. a = 2, D. a = 5/2.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>\\(a = \\dfrac{5}{2}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór na środek odcinka (współrzędna y)</h4>\n<p>Korzystamy ze wzoru na środek odcinka: współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.</p>\n<p>Środek \\(S = (4, 1)\\), punkty \\(A = (a, 0)\\) i \\(B = (a+3, 2)\\).</p>\n<p>Zacznijmy od współrzędnej <strong>y</strong>, bo tam od razu dostajemy weryfikację (nie ma wolnych parametrów):</p>\n<p>\\[y_S = \\frac{y_A + y_B}{2} = \\frac{0 + 2}{2} = 1 \\checkmark\\]</p>\n<p>Zgadza się - to potwierdza, że dane są spójne.</p>\n<p>Teraz współrzędna <strong>x</strong>:</p>\n<p>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}\\]</p>\n<p>\\[4 = \\frac{a + (a+3)}{2}\\]</p>\n<p>\\[4 = \\frac{2a + 3}{2}\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez 2:</p>\n<p>\\[8 = 2a + 3\\]</p>\n<p>\\[2a = 5\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{a = \\frac{5}{2}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy dla \\(a = \\frac{5}{2}\\) punkt \\(S = (4, 1)\\) rzeczywiście jest środkiem:</p>\n<p>\\[A = \\left(\\frac{5}{2},\\ 0\\right), \\quad B = \\left(\\frac{5}{2} + 3,\\ 2\\right) = \\left(\\frac{11}{2},\\ 2\\right)\\]</p>\n<p>Środek odcinka \\(AB\\):</p>\n<p>\\[x_S = \\frac{\\frac{5}{2} + \\frac{11}{2}}{2} = \\frac{\\frac{16}{2}}{2} = \\frac{8}{2} = 4 \\checkmark\\]</p>\n<p>\\[y_S = \\frac{0 + 2}{2} = 1 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - odpowiedź <strong>D</strong> jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - wzór na środek odcinka:<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do ustawienia równania z nieznanym \\(a\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A \\((a=0)\\) | Uczeń podstawia \\(a=0\\) i nie sprawdza - dostaje \\(x_S = \\frac{0+3}{2} = 1{,}5 \\neq 4\\). Błąd przez brak obliczeń. |<br>| B \\(\\left(a=\\frac{1}{2}\\right)\\) | Błąd przy mnożeniu: uczeń liczy \\(8 = 2a+3\\) jako \\(a = \\frac{8}{3}\\) lub pomija dodanie 3 do mianownika. |<br>| C \\((a=2)\\) | Uczeń zapomina dodać \\((a+3)\\) do \\(a\\) i błędnie upraszcza: \\(4 = \\frac{a + 3}{2}\\), skąd \\(a = 5\\) albo liczy \\(\\frac{a+3}{2} = 4\\), więc \\(a+3=8\\), \\(a=5\\) - i popełnia błąd arytmetyczny dostając 2. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współrzędna \\(x\\) punktu \\(B\\) to <strong>\\(a+3\\)</strong>, nie \\(3\\)! Łatwo zapomnieć, że obie współrzędne zależą od \\(a\\), i podstawić do wzoru tylko \\(3\\) zamiast \\(a+3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po zapisaniu \\(4 = \\frac{2a+3}{2}\\) pamiętaj, żeby <strong>pomnożyć obie strony przez 2</strong> przed odejmowaniem - błąd to odjęcie 3 bez tego mnożenia i dostanie \\(a = \\frac{1}{2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze warto sprawdzić obie współrzędne (x i y) - w tym zadaniu y od razu daje \\(1 = 1\\), co jest dobrym sygnałem, że punkt jest poprawnie skonstruowany.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na środek odcinka</h5>\n<p>Środek odcinka \\(AB\\) ma współrzędne:<br>\\[S = \\left(\\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}, \\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\\right).\\]<br>Pierwsza współrzędna:<br>\\[\\dfrac{a + (a+3)}{2} = 4 \\Rightarrow \\dfrac{2a+3}{2} = 4 \\Rightarrow 2a+3 = 8 \\Rightarrow a = \\dfrac{5}{2}.\\]<br>Druga współrzędna: \\(\\dfrac{0+2}{2}=1\\) ✓ (zgadza się).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(a=\\tfrac{5}{2}\\): \\(A=(\\tfrac{5}{2}, 0)\\), \\(B=(\\tfrac{11}{2}, 2)\\).<br>Środek: \\(\\left(\\tfrac{5/2+11/2}{2}, \\tfrac{0+2}{2}\\right) = (4, 1)\\). ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a=0\\):</strong> środek \\((1{,}5; 1)\\), nie \\((4, 1)\\).</li><li><strong>B. \\(a=\\tfrac{1}{2}\\):</strong> środek \\((2, 1)\\).</li><li><strong>C. \\(a=2\\):</strong> środek \\((3{,}5; 1)\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> środek odcinka = średnia arytmetyczna współrzędnych końców.</p>"}]}