{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nIle jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5?\nA. 90\nB. 100\nC. 180\nD. 200\nIle jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5? A. 90, B. 100, C. 180, D. 200","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(180\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\nSzukamy liczb trzycyfrowych podzielnych przez \\(5\\), czyli kończących się na \\(0\\) lub \\(5\\).\n\n**Wyznaczamy zakres:**\n- Najmniejsza trzycyfrowa liczba podzielna przez \\(5\\): \\(a_1 = 100\\)\n- Największa trzycyfrowa liczba podzielna przez \\(5\\): \\(a_n = 995\\)\n\nTe liczby tworzą **ciąg arytmetyczny** o różnicy \\(r = 5\\):\n\\[100, \\; 105, \\; 110, \\; \\ldots, \\; 990, \\; 995\\]\n\n**Liczymy ile wyrazów ma ten ciąg**, korzystając z ogólnego wzoru \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\):\n\n\\[995 = 100 + (n-1) \\cdot 5\\]\n\\[895 = (n-1) \\cdot 5\\]\n\\[n - 1 = 179\\]\n\\[\\boxed{n = 180}\\]\n\n**Odpowiedź: jest dokładnie \\(180\\) takich liczb.**\n\n## Sposób 2 - Zliczanie przez ostatnią cyfrę\n\nLiczba musi być trzycyfrowa (\\(100\\)-\\(999\\)) i podzielna przez \\(5\\), więc kończy się na \\(0\\) albo na \\(5\\). Liczymy obie grupy osobno.\n\n**Kończące się na \\(0\\):** \\(100, 110, 120, \\ldots, 990\\)\n\\[n_0 = \\frac{990 - 100}{10} + 1 = \\frac{890}{10} + 1 = 89 + 1 = 90\\]\n\n**Kończące się na \\(5\\):** \\(105, 115, 125, \\ldots, 995\\)\n\\[n_5 = \\frac{995 - 105}{10} + 1 = \\frac{890}{10} + 1 = 89 + 1 = 90\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[n = n_0 + n_5 = 90 + 90 = \\boxed{180}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nW Sposobie 1 użyliśmy tego wzoru, by wyznaczyć liczbę wyrazów ciągu \\(100, 105, \\ldots, 995\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(90\\) | Policzono tylko liczby kończące się na \\(0\\) (lub tylko na \\(5\\)) - zapomniano, że podzielność przez \\(5\\) daje **dwie** możliwe ostatnie cyfry |\n| B: \\(100\\) | Błędne przyjęcie zakresu, np. zliczenie liczb od \\(5\\) do \\(500\\) (\\(5, 10, \\ldots, 500\\) - to jest 100 liczb, ale nie wszystkie są trzycyfrowe) |\n| D: \\(200\\) | Pomylenie zakresu - policzono wszystkie liczby od \\(5\\) do \\(1000\\) podzielne przez \\(5\\) (\\(\\frac{1000}{5} = 200\\)), nie ograniczając się do trzycyfrowych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielność przez \\(5\\) oznacza kończenie się na \\(0\\) **lub** \\(5\\) - bardzo często uczniowie myślą tylko o zerze i gubią połowę liczb.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy stosowaniu wzoru \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1\\) pamiętaj o \\(+1\\) - bez niego zaniżasz wynik o \\(1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zakres to \\(100\\)-\\(999\\), nie \\(100\\)-\\(1000\\). Liczba \\(1000\\) jest **czterocyfrowa**, więc nie wchodzi do zakresu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny\nLiczby trzycyfrowe podzielne przez \\(5\\): \\(100, 105, 110, \\ldots, 995\\).\nTo ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \\(a_{1}=100\\), różnicy \\(r=5\\), ostatnim wyrazie \\(a_{n}=995\\).\n\\[a_{n} = a_{1} + (n-1)r \\Rightarrow 995 = 100 + (n-1)\\cdot 5\\]\n\\[895 = (n-1)\\cdot 5 \\Rightarrow n-1 = 179 \\Rightarrow n = 180.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni rachunek\nLiczb trzycyfrowych jest \\(999 - 100 + 1 = 900\\). Z nich co piąta jest podzielna przez \\(5\\):\n\\[\\dfrac{900}{5} = 180.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(90\\):** \\(\\tfrac{900}{10}\\), tzn. podzielne przez \\(10\\) - za mało.\n- **B. \\(100\\):** zły rachunek.\n- **D. \\(200\\):** \\(\\tfrac{1000}{5}\\) - wliczono też liczby niepoprawne.\n\n**Pamiętaj:** liczba trzycyfrowych = \\(999-100+1=900\\); co piąta podzielna przez \\(5\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 15. (1 pkt)
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5?
A. 90
B. 100
C. 180
D. 200
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5? A. 90, B. 100, C. 180, D. 200

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (\\(180\\))

\n

Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego

\n

Szukamy liczb trzycyfrowych podzielnych przez \\(5\\), czyli kończących się na \\(0\\) lub \\(5\\).

\n

Wyznaczamy zakres:

\n\n

Te liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \\(r = 5\\):
\\[100, \\; 105, \\; 110, \\; \\ldots, \\; 990, \\; 995\\]

\n

Liczymy ile wyrazów ma ten ciąg, korzystając z ogólnego wzoru \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\):

\n

\\[995 = 100 + (n-1) \\cdot 5\\]
\\[895 = (n-1) \\cdot 5\\]
\\[n - 1 = 179\\]
\\[\\boxed{n = 180}\\]

\n

Odpowiedź: jest dokładnie \\(180\\) takich liczb.

\n

Sposób 2 - Zliczanie przez ostatnią cyfrę

\n

Liczba musi być trzycyfrowa (\\(100\\)-\\(999\\)) i podzielna przez \\(5\\), więc kończy się na \\(0\\) albo na \\(5\\). Liczymy obie grupy osobno.

\n

Kończące się na \\(0\\): \\(100, 110, 120, \\ldots, 990\\)
\\[n_0 = \\frac{990 - 100}{10} + 1 = \\frac{890}{10} + 1 = 89 + 1 = 90\\]

\n

Kończące się na \\(5\\): \\(105, 115, 125, \\ldots, 995\\)
\\[n_5 = \\frac{995 - 105}{10} + 1 = \\frac{890}{10} + 1 = 89 + 1 = 90\\]

\n

Łącznie:
\\[n = n_0 + n_5 = 90 + 90 = \\boxed{180}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]
W Sposobie 1 użyliśmy tego wzoru, by wyznaczyć liczbę wyrazów ciągu \\(100, 105, \\ldots, 995\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(90\\) | Policzono tylko liczby kończące się na \\(0\\) (lub tylko na \\(5\\)) - zapomniano, że podzielność przez \\(5\\) daje dwie możliwe ostatnie cyfry |
| B: \\(100\\) | Błędne przyjęcie zakresu, np. zliczenie liczb od \\(5\\) do \\(500\\) (\\(5, 10, \\ldots, 500\\) - to jest 100 liczb, ale nie wszystkie są trzycyfrowe) |
| D: \\(200\\) | Pomylenie zakresu - policzono wszystkie liczby od \\(5\\) do \\(1000\\) podzielne przez \\(5\\) (\\(\\frac{1000}{5} = 200\\)), nie ograniczając się do trzycyfrowych |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Podzielność przez \\(5\\) oznacza kończenie się na \\(0\\) lub \\(5\\) - bardzo często uczniowie myślą tylko o zerze i gubią połowę liczb.
\n
⚠️ Uwaga: Przy stosowaniu wzoru \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1\\) pamiętaj o \\(+1\\) - bez niego zaniżasz wynik o \\(1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zakres to \\(100\\)-\\(999\\), nie \\(100\\)-\\(1000\\). Liczba \\(1000\\) jest czterocyfrowa, więc nie wchodzi do zakresu.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny
\n

Liczby trzycyfrowe podzielne przez \\(5\\): \\(100, 105, 110, \\ldots, 995\\).
To ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \\(a_{1}=100\\), różnicy \\(r=5\\), ostatnim wyrazie \\(a_{n}=995\\).
\\[a_{n} = a_{1} + (n-1)r \\Rightarrow 995 = 100 + (n-1)\\cdot 5\\]
\\[895 = (n-1)\\cdot 5 \\Rightarrow n-1 = 179 \\Rightarrow n = 180.\\]

\n
Sposób 2 - Bezpośredni rachunek
\n

Liczb trzycyfrowych jest \\(999 - 100 + 1 = 900\\). Z nich co piąta jest podzielna przez \\(5\\):
\\[\\dfrac{900}{5} = 180.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: liczba trzycyfrowych = \\(999-100+1=900\\); co piąta podzielna przez \\(5\\).

"}]}