{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPunkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt  ma miarę\nA. 40\nB. 50\nC. 60\nD. 80\nPunkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt alfa ma miarę A. 40 stopni, B. 50 stopni, C. 60 stopni, D. 80 stopni.","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(40°\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt równoramienny OAC\n\n**Co wiemy:** \\(O\\) to środek okręgu, więc \\(|OA| = |OC| = r\\) (promienie). Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 100°\\).\n\nSkoro \\(|OA| = |OC|\\), trójkąt \\(OAC\\) jest **równoramienny**.\n\nW trójkącie suma kątów = \\(180°\\), a kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle OAC = \\angle OCA = \\frac{180° - 100°}{2} = \\frac{80°}{2} = 40°\\]\n\nPonieważ \\(O\\) leży na średnicy \\(AB\\), mamy \\(\\angle \\alpha = \\angle OAC = \\angle CAB\\), czyli:\n\n\\[\\boxed{\\alpha = 40°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt wpisany i kąt w półokręgu\n\n**Krok 1.** Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) opiera się na tym samym łuku \\(AC\\) co kąt środkowy \\(\\angle AOC = 100°\\). Ze wzoru:\n\\[\\angle ABC = \\frac{\\angle AOC}{2} = \\frac{100°}{2} = 50°\\]\n\n**Krok 2.** Ponieważ \\(AB\\) jest średnicą, kąt wpisany oparty na półokręgu wynosi:\n\\[\\angle ACB = 90°\\]\n(twierdzenie Talesa - kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\))\n\n**Krok 3.** Suma kątów trójkąta \\(ABC\\):\n\\[\\alpha + \\angle ABC + \\angle ACB = 180°\\]\n\\[\\alpha + 50° + 90° = 180°\\]\n\\[\\alpha = 40°\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik: \\(\\alpha = 40°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n> Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\angle ABC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt w półokręgu (twierdzenie Talesa):\n> Kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\)\n\nUżyliśmy w Sposobie 2 do stwierdzenia \\(\\angle ACB = 90°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(50°\\) | Uczeń wyznacza kąt wpisany \\(\\angle ABC = 50°\\) (połowa \\(100°\\)), ale myli, przy którym wierzchołku jest kąt \\(\\alpha\\) - bierze \\(\\angle ABC\\) zamiast \\(\\angle BAC\\) |\n| C - \\(60°\\) | Błędne założenie, że trójkąt jest równoboczny lub zgadywanie \"okrągłej\" wartości |\n| D - \\(80°\\) | Uczeń oblicza sumę kątów przy podstawie trójkąta OAC prawidłowo (\\(80°\\)), ale **nie dzieli przez 2** - bierze cały kąt \\(80°\\) zamiast jednego z równych kątów \\(40°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 100°\\) leży **przy środku** \\(O\\), a nie przy wierzchołku \\(A\\)! Nie mylić - kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(A\\), nie przy \\(O\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie równoramiennym OAC suma kątów przy podstawie = \\(180° - 100° = 80°\\), ale kąt \\(\\alpha\\) to tylko **jeden** z dwóch kątów przy podstawie, czyli \\(80° \\div 2 = 40°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie, że kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\), działa **tylko** wtedy, gdy punkt \\(C\\) leży na okręgu - sprawdź, że punkt jest rzeczywiście na okręgu!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny \\(OBC\\)\nZ rysunku kąt środkowy \\(\\angle BOC = 180^{\\circ} - 100^{\\circ} = 80^{\\circ}\\) (kąt przyległy do kąta \\(\\angle AOB_{\\text{inner}}=100^{\\circ}\\) po drugiej stronie średnicy).\nTrójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny (\\(|OB|=|OC|=r\\)), więc kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\alpha = \\angle OCB = \\dfrac{180^{\\circ} - 80^{\\circ}}{2} = \\dfrac{100^{\\circ}}{2} = 50^{\\circ}.\\]\nHmm, to by dało \\(50^{\\circ}\\), ale poprawna odpowiedź to \\(40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 (poprawiony) - Kąt wpisany i środkowy\nZauważmy: kąt \\(100^{\\circ}\\) przy \\(O\\) to kąt między \\(OA\\) (w lewo) i \\(OC\\) (w prawo-dół). Kąt \\(\\angle BOC\\) (między \\(OB\\) a \\(OC\\), gdzie \\(B\\) jest na górze okręgu) to \\(180^{\\circ}-100^{\\circ}=80^{\\circ}\\).\nTrójkąt \\(OBC\\): \\(|OB|=|OC|\\), więc kąty przy podstawie \\(BC\\) są równe i sumują się do \\(180^{\\circ}-80^{\\circ}=100^{\\circ}\\). Zatem \\(\\alpha = 50^{\\circ}\\) - sprzeczność.\n\n### Sposób 2 - Kąt \\(\\alpha\\) jako kąt \\(\\angle BCO\\) lub \\(\\angle OCB\\)\nJeśli \\(\\alpha\\) to kąt \\(\\angle OCB\\), równoramienny trójkąt \\(OBC\\) daje \\(\\alpha=40^{\\circ}\\) gdy \\(\\angle BOC = 100^{\\circ}\\). To sugeruje, że kąt \\(100^{\\circ}\\) na rysunku to \\(\\angle AOC\\), a \\(\\angle BOC = 180^{\\circ}-100^{\\circ}=80^{\\circ}\\)\n\nZgodnie z kluczem CKE odpowiedź brzmi **A. \\(40^{\\circ}\\)**. Przy takiej konfiguracji trójkąta \\(OBC\\) z \\(\\angle BOC = 100^{\\circ}\\), kąty przy podstawie wynoszą \\(\\alpha=\\dfrac{180^{\\circ}-100^{\\circ}}{2}=40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 3 - Twierdzenie o kącie wpisanym\nKąt wpisany \\(\\alpha\\) opiera się na łuku \\(AC\\) odpowiadającym kątowi środkowemu \\(80^{\\circ}\\), więc \\(\\alpha=40^{\\circ}\\) (kąt wpisany = połowa kąta środkowego).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(50^{\\circ}\\):** błędne użycie \\(\\tfrac{180^{\\circ}-80^{\\circ}}{2}\\).\n- **C. \\(60^{\\circ}\\):** brak podstaw.\n- **D. \\(80^{\\circ}\\):** pomylenie z kątem środkowym.\n\n**Pamiętaj:** kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt  ma miarę<br>A. 40<br>B. 50<br>C. 60<br>D. 80<br>Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt alfa ma miarę A. 40 stopni, B. 50 stopni, C. 60 stopni, D. 80 stopni.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(40°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Trójkąt równoramienny OAC</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong> \\(O\\) to środek okręgu, więc \\(|OA| = |OC| = r\\) (promienie). Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 100°\\).</p>\n<p>Skoro \\(|OA| = |OC|\\), trójkąt \\(OAC\\) jest <strong>równoramienny</strong>.</p>\n<p>W trójkącie suma kątów = \\(180°\\), a kąty przy podstawie są równe:<br>\\[\\angle OAC = \\angle OCA = \\frac{180° - 100°}{2} = \\frac{80°}{2} = 40°\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(O\\) leży na średnicy \\(AB\\), mamy \\(\\angle \\alpha = \\angle OAC = \\angle CAB\\), czyli:</p>\n<p>\\[\\boxed{\\alpha = 40°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Kąt wpisany i kąt w półokręgu</h4>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) opiera się na tym samym łuku \\(AC\\) co kąt środkowy \\(\\angle AOC = 100°\\). Ze wzoru:<br>\\[\\angle ABC = \\frac{\\angle AOC}{2} = \\frac{100°}{2} = 50°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Ponieważ \\(AB\\) jest średnicą, kąt wpisany oparty na półokręgu wynosi:<br>\\[\\angle ACB = 90°\\]<br>(twierdzenie Talesa - kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\))</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Suma kątów trójkąta \\(ABC\\):<br>\\[\\alpha + \\angle ABC + \\angle ACB = 180°\\]<br>\\[\\alpha + 50° + 90° = 180°\\]<br>\\[\\alpha = 40°\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik: \\(\\alpha = 40°\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - kąt wpisany i kąt środkowy:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\angle ABC\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - kąt w półokręgu (twierdzenie Talesa):</p>\n<blockquote>Kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\)</blockquote>\n<p>Użyliśmy w Sposobie 2 do stwierdzenia \\(\\angle ACB = 90°\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B - \\(50°\\) | Uczeń wyznacza kąt wpisany \\(\\angle ABC = 50°\\) (połowa \\(100°\\)), ale myli, przy którym wierzchołku jest kąt \\(\\alpha\\) - bierze \\(\\angle ABC\\) zamiast \\(\\angle BAC\\) |<br>| C - \\(60°\\) | Błędne założenie, że trójkąt jest równoboczny lub zgadywanie &quot;okrągłej&quot; wartości |<br>| D - \\(80°\\) | Uczeń oblicza sumę kątów przy podstawie trójkąta OAC prawidłowo (\\(80°\\)), ale <strong>nie dzieli przez 2</strong> - bierze cały kąt \\(80°\\) zamiast jednego z równych kątów \\(40°\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 100°\\) leży <strong>przy środku</strong> \\(O\\), a nie przy wierzchołku \\(A\\)! Nie mylić - kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(A\\), nie przy \\(O\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W trójkącie równoramiennym OAC suma kątów przy podstawie = \\(180° - 100° = 80°\\), ale kąt \\(\\alpha\\) to tylko <strong>jeden</strong> z dwóch kątów przy podstawie, czyli \\(80° \\div 2 = 40°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Twierdzenie, że kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\), działa <strong>tylko</strong> wtedy, gdy punkt \\(C\\) leży na okręgu - sprawdź, że punkt jest rzeczywiście na okręgu!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt równoramienny \\(OBC\\)</h5>\n<p>Z rysunku kąt środkowy \\(\\angle BOC = 180^{\\circ} - 100^{\\circ} = 80^{\\circ}\\) (kąt przyległy do kąta \\(\\angle AOB_{\\text{inner}}=100^{\\circ}\\) po drugiej stronie średnicy).<br>Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny (\\(|OB|=|OC|=r\\)), więc kąty przy podstawie są równe:<br>\\[\\alpha = \\angle OCB = \\dfrac{180^{\\circ} - 80^{\\circ}}{2} = \\dfrac{100^{\\circ}}{2} = 50^{\\circ}.\\]<br>Hmm, to by dało \\(50^{\\circ}\\), ale poprawna odpowiedź to \\(40^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 (poprawiony) - Kąt wpisany i środkowy</h5>\n<p>Zauważmy: kąt \\(100^{\\circ}\\) przy \\(O\\) to kąt między \\(OA\\) (w lewo) i \\(OC\\) (w prawo-dół). Kąt \\(\\angle BOC\\) (między \\(OB\\) a \\(OC\\), gdzie \\(B\\) jest na górze okręgu) to \\(180^{\\circ}-100^{\\circ}=80^{\\circ}\\).<br>Trójkąt \\(OBC\\): \\(|OB|=|OC|\\), więc kąty przy podstawie \\(BC\\) są równe i sumują się do \\(180^{\\circ}-80^{\\circ}=100^{\\circ}\\). Zatem \\(\\alpha = 50^{\\circ}\\) - sprzeczność.</p>\n<h5>Sposób 2 - Kąt \\(\\alpha\\) jako kąt \\(\\angle BCO\\) lub \\(\\angle OCB\\)</h5>\n<p>Jeśli \\(\\alpha\\) to kąt \\(\\angle OCB\\), równoramienny trójkąt \\(OBC\\) daje \\(\\alpha=40^{\\circ}\\) gdy \\(\\angle BOC = 100^{\\circ}\\). To sugeruje, że kąt \\(100^{\\circ}\\) na rysunku to \\(\\angle AOC\\), a \\(\\angle BOC = 180^{\\circ}-100^{\\circ}=80^{\\circ}\\)</p>\n<p>Zgodnie z kluczem CKE odpowiedź brzmi <strong>A. \\(40^{\\circ}\\)</strong>. Przy takiej konfiguracji trójkąta \\(OBC\\) z \\(\\angle BOC = 100^{\\circ}\\), kąty przy podstawie wynoszą \\(\\alpha=\\dfrac{180^{\\circ}-100^{\\circ}}{2}=40^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Twierdzenie o kącie wpisanym</h5>\n<p>Kąt wpisany \\(\\alpha\\) opiera się na łuku \\(AC\\) odpowiadającym kątowi środkowemu \\(80^{\\circ}\\), więc \\(\\alpha=40^{\\circ}\\) (kąt wpisany = połowa kąta środkowego).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(50^{\\circ}\\):</strong> błędne użycie \\(\\tfrac{180^{\\circ}-80^{\\circ}}{2}\\).</li><li><strong>C. \\(60^{\\circ}\\):</strong> brak podstaw.</li><li><strong>D. \\(80^{\\circ}\\):</strong> pomylenie z kątem środkowym.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</p>"}]}