{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nNajdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na\ntym sześciokącie jest równe\nA. 4\nB. 8\nC.\n\n16\nD.\n\n64\nNajdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na tym sześciokącie jest równe A. 4pi, B. 8pi, C. 16pi, D. 64pi","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(16\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - własność sześciokąta foremnego i okrąg opisany\n\n**Kluczowa obserwacja:** W sześciokącie foremnym przekątna łącząca dwa przeciwległe wierzchołki (najdłuższa przekątna) ma długość równą **dwukrotności promienia okręgu opisanego**.\n\n**Dlaczego?** Sześciokąt foremny składa się z 6 równobocznych trójkątów, których boki są równe promieniowi \\(R\\) okręgu opisanego. Najdłuższa przekątna przechodzi przez środek sześciokąta i łączy dwa przeciwległe wierzchołki - jej długość to dokładnie \\(2R\\).\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy promień \\(R\\).\n\\[2R = 8 \\implies R = 4\\]\n\n**Krok 2:** Obliczamy pole koła opisanego.\n\\[P = \\pi R^2 = \\pi \\cdot 4^2 = \\mathbf{16\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - przez bok sześciokąta foremnego\n\nW sześciokącie foremnym bok \\(a\\) jest równy promieniowi okręgu opisanego: \\(a = R\\).\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy bok sześciokąta z przekątnej.\n\nNajdłuższa przekątna łączy dwa wierzchołki odległe o 3 boki (po przeciwnych stronach). Kąt środkowy odpowiadający takiej przekątnej to \\(180°\\). Zatem przekątna to średnica okręgu opisanego:\n\\[d = 2a = 8 \\implies a = 4\\]\n\n**Krok 2:** Skoro \\(R = a = 4\\), pole koła:\n\\[P = \\pi R^2 = \\pi \\cdot 16 = \\mathbf{16\\pi}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18-19)** - pole koła i promień okręgu opisanego:\n\\[P = \\pi r^2\\]\nUżyliśmy wzoru na pole koła po wyznaczeniu promienia \\(R = 4\\).\n\nKorzystamy też z własności trójkąta równobocznego (Dział 10, s. 16):\n> W sześciokącie foremnym wszystkie trójkąty składowe są równoboczne o boku \\(a = R\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(P = \\pi \\cdot 2^2 = 4\\pi\\) - wzięto \\(R = 2\\) zamiast \\(R = 4\\) (pomylono promień z \\(\\frac{1}{4}\\) przekątnej) |\n| B | \\(P = \\pi \\cdot 8 = 8\\pi\\) - wstawiono długość przekątnej zamiast \\(R^2\\) do wzoru: \\(\\pi \\cdot 8\\) zamiast \\(\\pi \\cdot 4^2\\) |\n| D | \\(P = \\pi \\cdot 8^2 = 64\\pi\\) - wzięto \\(R = 8\\), czyli całą przekątną jako promień zamiast jej połowę |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to przyjęcie, że promień okręgu opisanego równa się całej długości przekątnej (\\(R = 8\\)), a nie jej połowie. Przekątna to **średnica**, więc \\(R = \\frac{8}{2} = 4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj kluczową własność: w sześciokącie foremnym **bok = promień okręgu opisanego**. Stąd najdłuższa przekątna \\(= 2R\\) (przechodzi przez środek).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić okręgu **opisanego** z **wpisanym** - promień okręgu wpisanego jest krótszy i wynosi \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Związek przekątnej i promienia\nW sześciokącie foremnym najdłuższa przekątna przechodzi przez środek i ma długość \\(2R\\) (\\(R\\) - promień koła opisanego). Stąd:\n\\[2R = 8 \\Rightarrow R = 4.\\]\nPole koła: \\(P = \\pi R^{2} = \\pi\\cdot 16 = 16\\pi.\\)\n\n### Sposób 2 - Geometria sześciokąta\nSześciokąt foremny składa się z \\(6\\) trójkątów równobocznych o boku \\(a=R\\). Najdłuższa przekątna = \\(2a=2R\\).\nDane: \\(2R=8\\), \\(R=4\\); \\(P=16\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\pi\\):** \\(R=2\\), nie \\(4\\).\n- **B. \\(8\\pi\\):** bezzasadne.\n- **D. \\(64\\pi\\):** \\(\\pi\\cdot 8^{2}\\) - pomylenie średnicy z promieniem.\n\n**Pamiętaj:** w sześciokącie foremnym bok \\(=R\\), a najdłuższa przekątna \\(=2R\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 17. (1 pkt)
Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na
tym sześciokącie jest równe
A. 4
B. 8
C.

16
D.

64
Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na tym sześciokącie jest równe A. 4pi, B. 8pi, C. 16pi, D. 64pi

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(16\\pi\\)

\n

Sposób 1 - własność sześciokąta foremnego i okrąg opisany

\n

Kluczowa obserwacja: W sześciokącie foremnym przekątna łącząca dwa przeciwległe wierzchołki (najdłuższa przekątna) ma długość równą dwukrotności promienia okręgu opisanego.

\n

Dlaczego? Sześciokąt foremny składa się z 6 równobocznych trójkątów, których boki są równe promieniowi \\(R\\) okręgu opisanego. Najdłuższa przekątna przechodzi przez środek sześciokąta i łączy dwa przeciwległe wierzchołki - jej długość to dokładnie \\(2R\\).

\n

Krok 1: Wyznaczamy promień \\(R\\).
\\[2R = 8 \\implies R = 4\\]

\n

Krok 2: Obliczamy pole koła opisanego.
\\[P = \\pi R^2 = \\pi \\cdot 4^2 = \\mathbf{16\\pi}\\]

\n

Sposób 2 - przez bok sześciokąta foremnego

\n

W sześciokącie foremnym bok \\(a\\) jest równy promieniowi okręgu opisanego: \\(a = R\\).

\n

Krok 1: Wyznaczamy bok sześciokąta z przekątnej.

\n

Najdłuższa przekątna łączy dwa wierzchołki odległe o 3 boki (po przeciwnych stronach). Kąt środkowy odpowiadający takiej przekątnej to \\(180°\\). Zatem przekątna to średnica okręgu opisanego:
\\[d = 2a = 8 \\implies a = 4\\]

\n

Krok 2: Skoro \\(R = a = 4\\), pole koła:
\\[P = \\pi R^2 = \\pi \\cdot 16 = \\mathbf{16\\pi}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 18-19) - pole koła i promień okręgu opisanego:
\\[P = \\pi r^2\\]
Użyliśmy wzoru na pole koła po wyznaczeniu promienia \\(R = 4\\).

\n

Korzystamy też z własności trójkąta równobocznego (Dział 10, s. 16):

\n
W sześciokącie foremnym wszystkie trójkąty składowe są równoboczne o boku \\(a = R\\).
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | \\(P = \\pi \\cdot 2^2 = 4\\pi\\) - wzięto \\(R = 2\\) zamiast \\(R = 4\\) (pomylono promień z \\(\\frac{1}{4}\\) przekątnej) |
| B | \\(P = \\pi \\cdot 8 = 8\\pi\\) - wstawiono długość przekątnej zamiast \\(R^2\\) do wzoru: \\(\\pi \\cdot 8\\) zamiast \\(\\pi \\cdot 4^2\\) |
| D | \\(P = \\pi \\cdot 8^2 = 64\\pi\\) - wzięto \\(R = 8\\), czyli całą przekątną jako promień zamiast jej połowę |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to przyjęcie, że promień okręgu opisanego równa się całej długości przekątnej (\\(R = 8\\)), a nie jej połowie. Przekątna to średnica, więc \\(R = \\frac{8}{2} = 4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj kluczową własność: w sześciokącie foremnym bok = promień okręgu opisanego. Stąd najdłuższa przekątna \\(= 2R\\) (przechodzi przez środek).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić okręgu opisanego z wpisanym - promień okręgu wpisanego jest krótszy i wynosi \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Związek przekątnej i promienia
\n

W sześciokącie foremnym najdłuższa przekątna przechodzi przez środek i ma długość \\(2R\\) (\\(R\\) - promień koła opisanego). Stąd:
\\[2R = 8 \\Rightarrow R = 4.\\]
Pole koła: \\(P = \\pi R^{2} = \\pi\\cdot 16 = 16\\pi.\\)

\n
Sposób 2 - Geometria sześciokąta
\n

Sześciokąt foremny składa się z \\(6\\) trójkątów równobocznych o boku \\(a=R\\). Najdłuższa przekątna = \\(2a=2R\\).
Dane: \\(2R=8\\), \\(R=4\\); \\(P=16\\pi\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: w sześciokącie foremnym bok \\(=R\\), a najdłuższa przekątna \\(=2R\\).

"}]}