{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nPole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30 jest równe\nA. 24\nB. 12 3\nC. 12\nD. 6 3\nPole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30 stopni jest równe A. 24, B. 12, C. 12, D. 6 pierwiastków z 3","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(24\\))\n\n## Sposób 1 - wzór na pole równoległoboku z kątem\n\nPole równoległoboku o bokach \\(a\\) i \\(b\\) i kącie między nimi \\(\\alpha\\) wyraża się wzorem:\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(a = 4\\), \\(b = 12\\), \\(\\alpha = 30°\\):\n\\[P = 4 \\cdot 12 \\cdot \\sin 30°\\]\n\nZ tabeli wartości trygonometrycznych: \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), zatem:\n\\[P = 48 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{24}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wysokość (z definicji pola)\n\nPole równoległoboku to **podstawa razy wysokość**: \\(P = a \\cdot h\\).\n\nBiorę podstawę \\(a = 12\\). Wysokość \\(h\\) to prostopadle opuszczony odcinek na tę podstawę z wierzchołka. Tworzę trójkąt prostokątny: bok boczny \\(b = 4\\) jest przeciwprostokątnością, kąt między bokami to \\(30°\\).\n\n\\[h = b \\cdot \\sin 30° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\nZatem:\n\\[P = a \\cdot h = 12 \\cdot 2 = \\mathbf{24}\\]\n\nWynik zgodny - **pole równoległoboku wynosi \\(24\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = ab\\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości boków, a \\(\\alpha\\) - kąt między nimi. Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartość:\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nKluczowe przy podstawieniu - bez tej wartości nie policzysz pola.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B \\((12\\sqrt{3})\\) | Użycie \\(\\sin 60°\\) zamiast \\(\\sin 30°\\) - pomylenie kąta ostrego z jego dopełnieniem do \\(90°\\) |\n| C \\((12\\sqrt{3})\\) | Wzięcie tylko jednego boku: \\(P = 4 \\cdot b\\) bez uwzględnienia kąta, lub \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 12 \\cdot \\sin 30°\\) - użycie wzoru na pole **trójkąta** zamiast równoległoboku |\n| D \\((6\\sqrt{3})\\) | Obliczenie \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 12 \\cdot \\sin 60°\\) - dwa błędy naraz: wzór trójkąta i zły kąt |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu podany jest **kąt ostry**. Równoległobok ma dwa kąty ostre i dwa rozwarty - do wzoru \\(P = ab\\sin\\alpha\\) wstawiamy **kąt ostry** (dla kąta rozwartego \\(\\sin\\) daje ten sam wynik, bo \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\), ale warto wiedzieć, że to nie przypadek).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wzoru na pole równoległoboku \\(P = ab\\sin\\alpha\\) z polem **trójkąta** \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\alpha\\) - to bardzo częsty błąd! Trójkąt to połowa równoległoboku, stąd czynnik \\(\\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)! Wartość \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) to \\(\\sin 60°\\) (lub \\(\\cos 30°\\)). Jeśli mylisz te dwie wartości, zajrzyj do tabeli na karcie wzorów - jest tam zawsze na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór z sinusem kąta\nPole równoległoboku: \\(P = a\\cdot b\\cdot \\sin\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt między bokami.\n\\[P = 4\\cdot 12\\cdot \\sin 30^{\\circ} = 48\\cdot \\dfrac{1}{2} = 24.\\]\n\n### Sposób 2 - Wysokość równoległoboku\nWysokość opuszczona na bok \\(12\\): \\(h = 4\\sin 30^{\\circ} = 4\\cdot \\tfrac{1}{2}=2\\).\n\\[P = 12\\cdot 2 = 24.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(12\\sqrt{3}\\):** użyto \\(\\sin 60^{\\circ}=\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\); błędny kąt.\n- **C. \\(12\\):** pomylono się o czynnik \\(2\\).\n- **D. \\(6\\sqrt{3}\\):** inny błędny kąt.\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sin 30^{\\circ}=\\tfrac{1}{2}\\), \\(\\sin 60^{\\circ}=\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 18. (1 pkt)
Pole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30 jest równe
A. 24
B. 12 3
C. 12
D. 6 3
Pole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30 stopni jest równe A. 24, B. 12, C. 12, D. 6 pierwiastków z 3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A (\\(24\\))

\n

Sposób 1 - wzór na pole równoległoboku z kątem

\n

Pole równoległoboku o bokach \\(a\\) i \\(b\\) i kącie między nimi \\(\\alpha\\) wyraża się wzorem:
\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]

\n

Podstawiamy dane: \\(a = 4\\), \\(b = 12\\), \\(\\alpha = 30°\\):
\\[P = 4 \\cdot 12 \\cdot \\sin 30°\\]

\n

Z tabeli wartości trygonometrycznych: \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), zatem:
\\[P = 48 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{24}\\]

\n

Sposób 2 - przez wysokość (z definicji pola)

\n

Pole równoległoboku to podstawa razy wysokość: \\(P = a \\cdot h\\).

\n

Biorę podstawę \\(a = 12\\). Wysokość \\(h\\) to prostopadle opuszczony odcinek na tę podstawę z wierzchołka. Tworzę trójkąt prostokątny: bok boczny \\(b = 4\\) jest przeciwprostokątnością, kąt między bokami to \\(30°\\).

\n

\\[h = b \\cdot \\sin 30° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]

\n

Zatem:
\\[P = a \\cdot h = 12 \\cdot 2 = \\mathbf{24}\\]

\n

Wynik zgodny - pole równoległoboku wynosi \\(24\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole równoległoboku:
\\[P = ab\\sin\\alpha\\]
gdzie \\(a, b\\) to długości boków, a \\(\\alpha\\) - kąt między nimi. Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - wartość:
\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]
Kluczowe przy podstawieniu - bez tej wartości nie policzysz pola.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B \\((12\\sqrt{3})\\) | Użycie \\(\\sin 60°\\) zamiast \\(\\sin 30°\\) - pomylenie kąta ostrego z jego dopełnieniem do \\(90°\\) |
| C \\((12\\sqrt{3})\\) | Wzięcie tylko jednego boku: \\(P = 4 \\cdot b\\) bez uwzględnienia kąta, lub \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 12 \\cdot \\sin 30°\\) - użycie wzoru na pole trójkąta zamiast równoległoboku |
| D \\((6\\sqrt{3})\\) | Obliczenie \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 12 \\cdot \\sin 60°\\) - dwa błędy naraz: wzór trójkąta i zły kąt |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: W zadaniu podany jest kąt ostry. Równoległobok ma dwa kąty ostre i dwa rozwarty - do wzoru \\(P = ab\\sin\\alpha\\) wstawiamy kąt ostry (dla kąta rozwartego \\(\\sin\\) daje ten sam wynik, bo \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\), ale warto wiedzieć, że to nie przypadek).
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl wzoru na pole równoległoboku \\(P = ab\\sin\\alpha\\) z polem trójkąta \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\alpha\\) - to bardzo częsty błąd! Trójkąt to połowa równoległoboku, stąd czynnik \\(\\frac{1}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)! Wartość \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) to \\(\\sin 60°\\) (lub \\(\\cos 30°\\)). Jeśli mylisz te dwie wartości, zajrzyj do tabeli na karcie wzorów - jest tam zawsze na egzaminie.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór z sinusem kąta
\n

Pole równoległoboku: \\(P = a\\cdot b\\cdot \\sin\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt między bokami.
\\[P = 4\\cdot 12\\cdot \\sin 30^{\\circ} = 48\\cdot \\dfrac{1}{2} = 24.\\]

\n
Sposób 2 - Wysokość równoległoboku
\n

Wysokość opuszczona na bok \\(12\\): \\(h = 4\\sin 30^{\\circ} = 4\\cdot \\tfrac{1}{2}=2\\).
\\[P = 12\\cdot 2 = 24.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(\\sin 30^{\\circ}=\\tfrac{1}{2}\\), \\(\\sin 60^{\\circ}=\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).

"}]}