{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba wszystkich jego\nwierzchołków jest równa\nA. 6\nB. 8\nC. 12\nD. 16\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba wszystkich jego wierzchołków jest równa A. 6, B. 8, C. 12, D. 16","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(16\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory na graniastosłup \\(n\\)-kątny\n\nGraniastosłup o podstawie będącej wielokątem \\(n\\)-kątnym ma:\n- **krawędzie**: \\(3n\\) (n krawędzi dolnej podstawy + n krawędzi górnej podstawy + n krawędzi bocznych)\n- **wierzchołki**: \\(2n\\) (n wierzchołków dolnej podstawy + n wierzchołków górnej podstawy)\n- **ściany**: \\(n + 2\\)\n\nZnamy liczbę krawędzi:\n\\[3n = 24\\]\n\\[n = 8\\]\n\nMamy więc **graniastosłup ośmiokątny** (podstawa to ośmiokąt).\n\nLiczba wierzchołków:\n\\[2n = 2 \\cdot 8 = \\mathbf{16}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Eulera (weryfikacja)\n\nDla dowolnego wielościanu zachodzi wzór Eulera:\n\\[V - E + F = 2\\]\ngdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDla graniastosłupa ośmiokątnego (\\(n = 8\\)):\n- \\(E = 24\\) (dane)\n- \\(F = n + 2 = 8 + 2 = 10\\)\n- \\(V = ?\\)\n\nZe wzoru Eulera:\n\\[V - 24 + 10 = 2\\]\n\\[V = 2 + 24 - 10 = \\mathbf{16}\\]\n\nWynik zgodny z metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa \\(n\\)-kątnego i przeliczenie jego elementów (wierzchołki, krawędzie, ściany) ze wzorów ogólnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(6\\) | Pomyłka: \\(n = 24/4 = 6\\), jakby krawędź boczna była liczona podwójnie. Brak sensu geometrycznego. |\n| B - \\(8\\) | Wzięto samo \\(n = 8\\) bez przemnożenia przez 2. Uczeń policzył tylko wierzchołki jednej podstawy. |\n| C - \\(12\\) | Zastosowano błędny wzór \\(V = \\frac{E}{2}\\), czyli \\(\\frac{24}{2} = 12\\). Mylenie liczby krawędzi z liczbą wierzchołków połówką. |\n| D - \\(16\\) | **Poprawna odpowiedź.** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to znajomość wzorów tylko dla graniastosłupa czworokątnego (sześcianu czy prostopadłościanu), gdzie \\(V = 8, E = 12, F = 6\\). Tutaj podstawa jest ośmiokątem, więc dane są inne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o podziale krawędzi - graniastosłup \\(n\\)-kątny ma **trzy grupy** krawędzi po \\(n\\): dolna podstawa, górna podstawa, krawędzie boczne. Łącznie \\(3n\\), nie \\(2n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) działa dla każdego wielościanu wypukłego i jest świetnym narzędziem do weryfikacji obliczeń w zadaniach o bryle.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzory dla graniastosłupa \\(n\\)-kątnego\nGraniastosłup \\(n\\)-kątny ma:\n- \\(K=3n\\) krawędzi,\n- \\(W=2n\\) wierzchołków,\n- \\(S=n+2\\) ścian.\n\nZ \\(3n=24\\): \\(n=8\\). Wtedy \\(W=2\\cdot 8=16\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera\n\\(W-K+S=2\\). Liczba ścian \\(S=n+2=10\\), \\(K=24\\). Stąd \\(W=2+K-S=2+24-10=16\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\):** \\(n=3\\), \\(K=9\\ne 24\\).\n- **B. \\(8\\):** \\(n=4\\), \\(K=12\\ne 24\\).\n- **C. \\(12\\):** \\(n=6\\), \\(K=18\\ne 24\\).\n\n**Pamiętaj:** graniastosłup \\(n\\)-kątny: \\(K=3n\\), \\(W=2n\\), \\(S=n+2\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba wszystkich jego<br>wierzchołków jest równa<br>A. 6<br>B. 8<br>C. 12<br>D. 16<br>Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba wszystkich jego wierzchołków jest równa A. 6, B. 8, C. 12, D. 16</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(16\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzory na graniastosłup \\(n\\)-kątny</h4>\n<p>Graniastosłup o podstawie będącej wielokątem \\(n\\)-kątnym ma:</p>\n<ul><li><strong>krawędzie</strong>: \\(3n\\) (n krawędzi dolnej podstawy + n krawędzi górnej podstawy + n krawędzi bocznych)</li><li><strong>wierzchołki</strong>: \\(2n\\) (n wierzchołków dolnej podstawy + n wierzchołków górnej podstawy)</li><li><strong>ściany</strong>: \\(n + 2\\)</li></ul>\n<p>Znamy liczbę krawędzi:<br>\\[3n = 24\\]<br>\\[n = 8\\]</p>\n<p>Mamy więc <strong>graniastosłup ośmiokątny</strong> (podstawa to ośmiokąt).</p>\n<p>Liczba wierzchołków:<br>\\[2n = 2 \\cdot 8 = \\mathbf{16}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Twierdzenie Eulera (weryfikacja)</h4>\n<p>Dla dowolnego wielościanu zachodzi wzór Eulera:<br>\\[V - E + F = 2\\]<br>gdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.</p>\n<p>Dla graniastosłupa ośmiokątnego (\\(n = 8\\)):</p>\n<ul><li>\\(E = 24\\) (dane)</li><li>\\(F = n + 2 = 8 + 2 = 10\\)</li><li>\\(V = ?\\)</li></ul>\n<p>Ze wzoru Eulera:<br>\\[V - 24 + 10 = 2\\]<br>\\[V = 2 + 24 - 10 = \\mathbf{16}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa \\(n\\)-kątnego i przeliczenie jego elementów (wierzchołki, krawędzie, ściany) ze wzorów ogólnych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(6\\) | Pomyłka: \\(n = 24/4 = 6\\), jakby krawędź boczna była liczona podwójnie. Brak sensu geometrycznego. |<br>| B - \\(8\\) | Wzięto samo \\(n = 8\\) bez przemnożenia przez 2. Uczeń policzył tylko wierzchołki jednej podstawy. |<br>| C - \\(12\\) | Zastosowano błędny wzór \\(V = \\frac{E}{2}\\), czyli \\(\\frac{24}{2} = 12\\). Mylenie liczby krawędzi z liczbą wierzchołków połówką. |<br>| D - \\(16\\) | <strong>Poprawna odpowiedź.</strong> |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to znajomość wzorów tylko dla graniastosłupa czworokątnego (sześcianu czy prostopadłościanu), gdzie \\(V = 8, E = 12, F = 6\\). Tutaj podstawa jest ośmiokątem, więc dane są inne!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj o podziale krawędzi - graniastosłup \\(n\\)-kątny ma <strong>trzy grupy</strong> krawędzi po \\(n\\): dolna podstawa, górna podstawa, krawędzie boczne. Łącznie \\(3n\\), nie \\(2n\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) działa dla każdego wielościanu wypukłego i jest świetnym narzędziem do weryfikacji obliczeń w zadaniach o bryle.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzory dla graniastosłupa \\(n\\)-kątnego</h5>\n<p>Graniastosłup \\(n\\)-kątny ma:</p>\n<ul><li>\\(K=3n\\) krawędzi,</li><li>\\(W=2n\\) wierzchołków,</li><li>\\(S=n+2\\) ścian.</li></ul>\n<p>Z \\(3n=24\\): \\(n=8\\). Wtedy \\(W=2\\cdot 8=16\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór Eulera</h5>\n<p>\\(W-K+S=2\\). Liczba ścian \\(S=n+2=10\\), \\(K=24\\). Stąd \\(W=2+K-S=2+24-10=16\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(6\\):</strong> \\(n=3\\), \\(K=9\\ne 24\\).</li><li><strong>B. \\(8\\):</strong> \\(n=4\\), \\(K=12\\ne 24\\).</li><li><strong>C. \\(12\\):</strong> \\(n=6\\), \\(K=18\\ne 24\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> graniastosłup \\(n\\)-kątny: \\(K=3n\\), \\(W=2n\\), \\(S=n+2\\).</p>"}]}