{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nObjętość walca o wysokości 8 jest równa 72. Promień podstawy tego walca jest równy\nA. 9\nB. 8\nC. 6\nD. 3\nO\nB\nC\n100\n\nA\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nObjętość walca o wysokości 8 jest równa 72 pi. Promień podstawy tego walca jest równy A. 8, B. 8, C. 6, D. 3.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(r = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na objętość walca\n\nZnamy wzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(V = 72\\pi\\), \\(h = 8\\):\n\\[72\\pi = \\pi r^2 \\cdot 8\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\pi\\):\n\\[72 = 8r^2\\]\n\nDzielimy przez \\(8\\):\n\\[r^2 = \\frac{72}{8} = 9\\]\n\nWyciągamy pierwiastek (promień jest dodatni):\n\\[r = \\sqrt{9} = \\mathbf{3}\\]\n\n**Promień podstawy walca wynosi \\(3\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(r = 3\\) i \\(h = 8\\) dają objętość \\(72\\pi\\):\n\\[V = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 8 = \\pi \\cdot 9 \\cdot 8 = 72\\pi \\checkmark\\]\n\nDla porządku sprawdzamy też inne odpowiedzi:\n\\[r = 9: \\quad \\pi \\cdot 81 \\cdot 8 = 648\\pi \\neq 72\\pi\\]\n\\[r = 6: \\quad \\pi \\cdot 36 \\cdot 8 = 288\\pi \\neq 72\\pi\\]\n\nTylko \\(r = 3\\) daje poprawny wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio - podstawiliśmy \\(V\\) i \\(h\\), wyznaczając \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(9\\) | Uczeń wylicza poprawnie \\(r^2 = 9\\), ale **zapomina wyciągnąć pierwiastek** i podaje \\(r = 9\\) zamiast \\(r = \\sqrt{9} = 3\\) |\n| B. \\(8\\) | Uczeń myli promień z wysokością - przepisuje \\(h = 8\\) jako wynik |\n| C. \\(6\\) | Uczeń dzieli \\(72 : 8 = 9\\), a następnie błędnie wyciąga pierwiastek: \\(\\sqrt{9} \\to\\) pomyłka i wynik \\(6\\); lub nie dzieli przez \\(\\pi\\) i przelicza inaczej |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\(r^2 = 9\\) i podanie odpowiedzi \\(9\\) (opcja A). Pamiętaj - z równania \\(r^2 = 9\\) wynika \\(r = 3\\), bo promień musi być dodatni!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(V = \\pi r^2 h\\) stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Nie można po prostu podzielić \\(V\\) przez \\(\\pi\\) i \\(h\\) i uznać wyniku za promień - trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj jednostki logiki zadania - jeśli wychodzi \\(r^2 = 9\\), to \\(r = 3\\), nie \\(r = 9\\). Szybka weryfikacja przez podstawienie do wzoru uchroni przed błędem!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość walca\n\\(V = \\pi r^{2}\\cdot H\\). Dane: \\(V=72\\pi\\), \\(H=8\\):\n\\[72\\pi = \\pi r^{2}\\cdot 8 \\Rightarrow r^{2} = 9 \\Rightarrow r = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(r=3\\): \\(V=\\pi\\cdot 9\\cdot 8=72\\pi\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(9\\):** \\(V=\\pi\\cdot 81\\cdot 8=648\\pi\\).\n- **B. \\(8\\):** \\(V=\\pi\\cdot 64\\cdot 8=512\\pi\\).\n- **C. \\(6\\):** \\(V=\\pi\\cdot 36\\cdot 8=288\\pi\\).\n\n**Pamiętaj:** objętość walca = \\(\\pi r^{2}\\cdot H\\), więc \\(r=\\sqrt{\\tfrac{V}{\\pi H}}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Objętość walca o wysokości 8 jest równa 72. Promień podstawy tego walca jest równy<br>A. 9<br>B. 8<br>C. 6<br>D. 3<br>O<br>B<br>C<br>100<br><br>A</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>7<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>8<br>Objętość walca o wysokości 8 jest równa 72 pi. Promień podstawy tego walca jest równy A. 8, B. 8, C. 6, D. 3.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(r = 3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Ze wzoru na objętość walca</h4>\n<p>Znamy wzór na objętość walca:<br>\\[V = \\pi r^2 h\\]</p>\n<p>Podstawiamy dane: \\(V = 72\\pi\\), \\(h = 8\\):<br>\\[72\\pi = \\pi r^2 \\cdot 8\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(\\pi\\):<br>\\[72 = 8r^2\\]</p>\n<p>Dzielimy przez \\(8\\):<br>\\[r^2 = \\frac{72}{8} = 9\\]</p>\n<p>Wyciągamy pierwiastek (promień jest dodatni):<br>\\[r = \\sqrt{9} = \\mathbf{3}\\]</p>\n<p><strong>Promień podstawy walca wynosi \\(3\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(r = 3\\) i \\(h = 8\\) dają objętość \\(72\\pi\\):<br>\\[V = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 8 = \\pi \\cdot 9 \\cdot 8 = 72\\pi \\checkmark\\]</p>\n<p>Dla porządku sprawdzamy też inne odpowiedzi:<br>\\[r = 9: \\quad \\pi \\cdot 81 \\cdot 8 = 648\\pi \\neq 72\\pi\\]<br>\\[r = 6: \\quad \\pi \\cdot 36 \\cdot 8 = 288\\pi \\neq 72\\pi\\]</p>\n<p>Tylko \\(r = 3\\) daje poprawny wynik.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wzór na objętość walca:<br>\\[V = \\pi r^2 h\\]<br>Użyliśmy go bezpośrednio - podstawiliśmy \\(V\\) i \\(h\\), wyznaczając \\(r\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(9\\) | Uczeń wylicza poprawnie \\(r^2 = 9\\), ale <strong>zapomina wyciągnąć pierwiastek</strong> i podaje \\(r = 9\\) zamiast \\(r = \\sqrt{9} = 3\\) |<br>| B. \\(8\\) | Uczeń myli promień z wysokością - przepisuje \\(h = 8\\) jako wynik |<br>| C. \\(6\\) | Uczeń dzieli \\(72 : 8 = 9\\), a następnie błędnie wyciąga pierwiastek: \\(\\sqrt{9} \\to\\) pomyłka i wynik \\(6\\); lub nie dzieli przez \\(\\pi\\) i przelicza inaczej |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\(r^2 = 9\\) i podanie odpowiedzi \\(9\\) (opcja A). Pamiętaj - z równania \\(r^2 = 9\\) wynika \\(r = 3\\), bo promień musi być dodatni!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> We wzorze \\(V = \\pi r^2 h\\) stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Nie można po prostu podzielić \\(V\\) przez \\(\\pi\\) i \\(h\\) i uznać wyniku za promień - trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdzaj jednostki logiki zadania - jeśli wychodzi \\(r^2 = 9\\), to \\(r = 3\\), nie \\(r = 9\\). Szybka weryfikacja przez podstawienie do wzoru uchroni przed błędem!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na objętość walca</h5>\n<p>\\(V = \\pi r^{2}\\cdot H\\). Dane: \\(V=72\\pi\\), \\(H=8\\):<br>\\[72\\pi = \\pi r^{2}\\cdot 8 \\Rightarrow r^{2} = 9 \\Rightarrow r = 3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(r=3\\): \\(V=\\pi\\cdot 9\\cdot 8=72\\pi\\). ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(9\\):</strong> \\(V=\\pi\\cdot 81\\cdot 8=648\\pi\\).</li><li><strong>B. \\(8\\):</strong> \\(V=\\pi\\cdot 64\\cdot 8=512\\pi\\).</li><li><strong>C. \\(6\\):</strong> \\(V=\\pi\\cdot 36\\cdot 8=288\\pi\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> objętość walca = \\(\\pi r^{2}\\cdot H\\), więc \\(r=\\sqrt{\\tfrac{V}{\\pi H}}\\).</p>"}]}