{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nLiczby 7,\n, 49\na\nw podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe\nA. 14\nB. 21\nC. 28\nD. 42\nLiczby 7, a, 49 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe A. 14, B. 21, C. 28, D. 42","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a = 28\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest **średnią arytmetyczną** swoich sąsiadów. Czyli:\n\n\\[a = \\frac{7 + 49}{2}\\]\n\n\\[a = \\frac{56}{2} = 28\\]\n\n**Zatem \\(a = 28\\).**\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie różnicy ciągu\n\nOznaczmy różnicę ciągu arytmetycznego przez \\(r\\). Wtedy:\n\n\\[a_1 = 7, \\quad a_2 = 7 + r, \\quad a_3 = 7 + 2r\\]\n\nWiemy, że \\(a_3 = 49\\), więc:\n\n\\[7 + 2r = 49\\]\n\n\\[2r = 42\\]\n\n\\[r = 21\\]\n\nStąd:\n\n\\[a = a_2 = 7 + r = 7 + 21 = 28\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(7,\\ 28,\\ 49\\) - różnice: \\(28 - 7 = 21\\) i \\(49 - 28 = 21\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 - środkowy wyraz \\(a\\) jest średnią arytmetyczną skrajnych.\n\nOraz wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia różnicy \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(14\\) | Uczeń podwaja pierwszy wyraz: \\(2 \\cdot 7 = 14\\), zamiast liczyć średnią |\n| B. \\(21\\) | Uczeń wyznacza różnicę \\(r = 21\\) i podaje ją jako odpowiedź, zamiast obliczyć \\(a = 7 + 21\\) |\n| D. \\(42\\) | Uczeń liczy \\(49 - 7 = 42\\) i podaje różnicę między skrajnymi wyrazami - pomija, że to jest suma dwóch różnic |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = 21\\) to nie jest odpowiedź - to tylko narzędzie do obliczenia \\(a\\). Łatwo tu się zatrzymać za wcześnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(49 - 7 = 42\\) to suma **dwóch** skoków (z \\(7\\) do \\(a\\) i z \\(a\\) do \\(49\\)), więc jeden skok wynosi \\(21\\), a \\(a = 7 + 21 = 28\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\) jest najszybszym sposobem - zapamiętaj ją, bo skraca rozwiązanie do jednego działania!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Średnia arytmetyczna\nDla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(a = \\dfrac{a_{1}+a_{3}}{2}\\).\n\\[a = \\dfrac{7+49}{2} = \\dfrac{56}{2} = 28.\\]\n\n### Sposób 2 - Stała różnica\nRóżnica: \\(a-7 = 49-a\\), czyli \\(2a=56\\), \\(a=28\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\):** dwukrotność \\(7\\), ale nie średnia.\n- **B. \\(21\\):** błędny rachunek.\n- **D. \\(42\\):** sześciokrotność \\(7\\), zła logika.\n\n**Pamiętaj:** środkowy wyraz ciągu arytmetycznego = średnia arytmetyczna wyrazów skrajnych.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 21. (1 pkt)<br>Liczby 7,<br>, 49<br>a<br>w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe<br>A. 14<br>B. 21<br>C. 28<br>D. 42<br>Liczby 7, a, 49 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe A. 14, B. 21, C. 28, D. 42</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(a = 28\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego</h4>\n<p>W ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest <strong>średnią arytmetyczną</strong> swoich sąsiadów. Czyli:</p>\n<p>\\[a = \\frac{7 + 49}{2}\\]</p>\n<p>\\[a = \\frac{56}{2} = 28\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(a = 28\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - wyznaczenie różnicy ciągu</h4>\n<p>Oznaczmy różnicę ciągu arytmetycznego przez \\(r\\). Wtedy:</p>\n<p>\\[a_1 = 7, \\quad a_2 = 7 + r, \\quad a_3 = 7 + 2r\\]</p>\n<p>Wiemy, że \\(a_3 = 49\\), więc:</p>\n<p>\\[7 + 2r = 49\\]</p>\n<p>\\[2r = 42\\]</p>\n<p>\\[r = 21\\]</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>\\[a = a_2 = 7 + r = 7 + 21 = 28\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(7,\\ 28,\\ 49\\) - różnice: \\(28 - 7 = 21\\) i \\(49 - 28 = 21\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - własność wyrazu ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 1 - środkowy wyraz \\(a\\) jest średnią arytmetyczną skrajnych.</p>\n<p>Oraz wzór na \\(n\\)-ty wyraz:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia różnicy \\(r\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(14\\) | Uczeń podwaja pierwszy wyraz: \\(2 \\cdot 7 = 14\\), zamiast liczyć średnią |<br>| B. \\(21\\) | Uczeń wyznacza różnicę \\(r = 21\\) i podaje ją jako odpowiedź, zamiast obliczyć \\(a = 7 + 21\\) |<br>| D. \\(42\\) | Uczeń liczy \\(49 - 7 = 42\\) i podaje różnicę między skrajnymi wyrazami - pomija, że to jest suma dwóch różnic |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica \\(r = 21\\) to nie jest odpowiedź - to tylko narzędzie do obliczenia \\(a\\). Łatwo tu się zatrzymać za wcześnie!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(49 - 7 = 42\\) to suma <strong>dwóch</strong> skoków (z \\(7\\) do \\(a\\) i z \\(a\\) do \\(49\\)), więc jeden skok wynosi \\(21\\), a \\(a = 7 + 21 = 28\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Własność \\(a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\) jest najszybszym sposobem - zapamiętaj ją, bo skraca rozwiązanie do jednego działania!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Średnia arytmetyczna</h5>\n<p>Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(a = \\dfrac{a_{1}+a_{3}}{2}\\).<br>\\[a = \\dfrac{7+49}{2} = \\dfrac{56}{2} = 28.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Stała różnica</h5>\n<p>Różnica: \\(a-7 = 49-a\\), czyli \\(2a=56\\), \\(a=28\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(14\\):</strong> dwukrotność \\(7\\), ale nie średnia.</li><li><strong>B. \\(21\\):</strong> błędny rachunek.</li><li><strong>D. \\(42\\):</strong> sześciokrotność \\(7\\), zła logika.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> środkowy wyraz ciągu arytmetycznego = średnia arytmetyczna wyrazów skrajnych.</p>"}]}