{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nCiąg \n\nna\njest określony wzorem\n2\nna\nn\nn\n\n\n, dla\n1\nn . Który wyraz tego ciągu jest równy 6?\nA. drugi\nB. trzeci\nC. szósty\nD. trzydziesty\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = n^2-n, dla n >= 1. Który wyraz tego ciągu jest równy 6?","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (trzeci)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie kolejnych wartości \\(n\\)\n\nSzukamy, dla jakiego \\(n\\) zachodzi \\(a_n = 6\\). Sprawdzamy kolejne wyrazy:\n\n\\[a_1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0\\]\n\\[a_2 = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2\\]\n\\[a_3 = 3^2 - 3 = 9 - 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n**Trzeci wyraz ciągu jest równy 6.** Nie musimy sprawdzać dalej.\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie równania\n\nUstawiamy równanie \\(a_n = 6\\) i rozwiązujemy je:\n\n\\[n^2 - n = 6\\]\n\\[n^2 - n - 6 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-6) = 1 + 24 = 25\\]\n\nPierwiastki:\n\\[n = \\frac{1 \\pm \\sqrt{25}}{2} = \\frac{1 \\pm 5}{2}\\]\n\\[n_1 = \\frac{1 - 5}{2} = -2, \\qquad n_2 = \\frac{1 + 5}{2} = 3\\]\n\nPonieważ \\(n \\geq 1\\) (wyraz ciągu musi być dodatni), odrzucamy \\(n = -2\\).\n\n**Wynika stąd, że \\(n = 3\\), czyli szukany wyraz to wyraz trzeci.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad n_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 2 do rozwiązania równania \\(n^2 - n - 6 = 0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (drugi) | \\(a_2 = 4 - 2 = 2 \\neq 6\\) - uczeń mógł liczyć \\(2^2 - 2^1 = 2\\), albo pomylić wzór |\n| C (szósty) | \\(a_6 = 36 - 6 = 30 \\neq 6\\) - uczeń mógł mylnie wstawić \\(n = 6\\) bo szukał liczby 6 |\n| D (trzydziesty) | \\(a_{30} = 900 - 30 = 870 \\neq 6\\) - skrajnie błędne, prawdopodobnie pomylenie \\(n\\) z wartością |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie szukamy \\(n = 6\\) - szukamy \\(n\\) takiego, że **wartość** \\(a_n = 6\\). To częsty błąd: uczeń wstawia \\(n = 6\\) bo widzi szóstkę w treści i wybiera odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązaniu równaniem kwadratowym wychodzą dwa rozwiązania: \\(n = 3\\) i \\(n = -2\\). Wartość \\(n = -2\\) trzeba odrzucić, bo \\(n \\geq 1\\) - ciąg jest określony tylko dla naturalnych \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najszybsza metoda na egzaminie to Sposób 1 - wystarczy podstawić \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\) i sprawdzać kolejno. Nie warto tu \"na siłę\" rozwiązywać równania kwadratowego, choć oczywiście też działa.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie równania\n\\(a_{n} = n^{2} - n = 6\\):\n\\[n^{2} - n - 6 = 0\\]\n\\[(n-3)(n+2) = 0 \\Rightarrow n=3 \\text{ lub } n=-2.\\]\nPonieważ \\(n\\ge 1\\), mamy \\(n=3\\) - trzeci wyraz.\n\n### Sposób 2 - Obliczenie kolejnych wyrazów\n- \\(a_{1}=1-1=0\\),\n- \\(a_{2}=4-2=2\\),\n- \\(a_{3}=9-3=6\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. drugi:** \\(a_{2}=2\\), nie \\(6\\).\n- **C. szósty:** \\(a_{6}=36-6=30\\).\n- **D. trzydziesty:** \\(a_{30}=900-30=870\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(n^{2}-n = n(n-1)\\), szukamy iloczynu dwóch kolejnych liczb = \\(6\\). To \\(2\\cdot 3\\), więc \\(n=3\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Ciąg <br><br>na<br>jest określony wzorem<br>2<br>na<br>n<br>n<br><br><br>, dla<br>1<br>n . Który wyraz tego ciągu jest równy 6?<br>A. drugi<br>B. trzeci<br>C. szósty<br>D. trzydziesty<br>Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = n^2-n, dla n &gt;= 1. Który wyraz tego ciągu jest równy 6?</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (trzeci)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie kolejnych wartości \\(n\\)</h4>\n<p>Szukamy, dla jakiego \\(n\\) zachodzi \\(a_n = 6\\). Sprawdzamy kolejne wyrazy:</p>\n<p>\\[a_1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0\\]<br>\\[a_2 = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2\\]<br>\\[a_3 = 3^2 - 3 = 9 - 3 = \\mathbf{6}\\]</p>\n<p><strong>Trzeci wyraz ciągu jest równy 6.</strong> Nie musimy sprawdzać dalej.</p>\n<h4>Sposób 2 - Rozwiązanie równania</h4>\n<p>Ustawiamy równanie \\(a_n = 6\\) i rozwiązujemy je:</p>\n<p>\\[n^2 - n = 6\\]<br>\\[n^2 - n - 6 = 0\\]</p>\n<p>Wyróżnik:<br>\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-6) = 1 + 24 = 25\\]</p>\n<p>Pierwiastki:<br>\\[n = \\frac{1 \\pm \\sqrt{25}}{2} = \\frac{1 \\pm 5}{2}\\]<br>\\[n_1 = \\frac{1 - 5}{2} = -2, \\qquad n_2 = \\frac{1 + 5}{2} = 3\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(n \\geq 1\\) (wyraz ciągu musi być dodatni), odrzucamy \\(n = -2\\).</p>\n<p><strong>Wynika stąd, że \\(n = 3\\), czyli szukany wyraz to wyraz trzeci.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wzory na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:<br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad n_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]<br>Użyliśmy tych wzorów w Sposobie 2 do rozwiązania równania \\(n^2 - n - 6 = 0\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (drugi) | \\(a_2 = 4 - 2 = 2 \\neq 6\\) - uczeń mógł liczyć \\(2^2 - 2^1 = 2\\), albo pomylić wzór |<br>| C (szósty) | \\(a_6 = 36 - 6 = 30 \\neq 6\\) - uczeń mógł mylnie wstawić \\(n = 6\\) bo szukał liczby 6 |<br>| D (trzydziesty) | \\(a_{30} = 900 - 30 = 870 \\neq 6\\) - skrajnie błędne, prawdopodobnie pomylenie \\(n\\) z wartością |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie szukamy \\(n = 6\\) - szukamy \\(n\\) takiego, że <strong>wartość</strong> \\(a_n = 6\\). To częsty błąd: uczeń wstawia \\(n = 6\\) bo widzi szóstkę w treści i wybiera odpowiedź C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozwiązaniu równaniem kwadratowym wychodzą dwa rozwiązania: \\(n = 3\\) i \\(n = -2\\). Wartość \\(n = -2\\) trzeba odrzucić, bo \\(n \\geq 1\\) - ciąg jest określony tylko dla naturalnych \\(n\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najszybsza metoda na egzaminie to Sposób 1 - wystarczy podstawić \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\) i sprawdzać kolejno. Nie warto tu &quot;na siłę&quot; rozwiązywać równania kwadratowego, choć oczywiście też działa.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozwiązanie równania</h5>\n<p>\\(a_{n} = n^{2} - n = 6\\):<br>\\[n^{2} - n - 6 = 0\\]<br>\\[(n-3)(n+2) = 0 \\Rightarrow n=3 \\text{ lub } n=-2.\\]<br>Ponieważ \\(n\\ge 1\\), mamy \\(n=3\\) - trzeci wyraz.</p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenie kolejnych wyrazów</h5>\n<ul><li>\\(a_{1}=1-1=0\\),</li><li>\\(a_{2}=4-2=2\\),</li><li>\\(a_{3}=9-3=6\\). ✓</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. drugi:</strong> \\(a_{2}=2\\), nie \\(6\\).</li><li><strong>C. szósty:</strong> \\(a_{6}=36-6=30\\).</li><li><strong>D. trzydziesty:</strong> \\(a_{30}=900-30=870\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(n^{2}-n = n(n-1)\\), szukamy iloczynu dwóch kolejnych liczb = \\(6\\). To \\(2\\cdot 3\\), więc \\(n=3\\).</p>"}]}