{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo\ndwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe\nA. 1\n6\nB.\n1\n12\nC.\n1\n18\nD.\n1\n36\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe A. 1/6, B. 1/12, C. 1/18, D. 1/36","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(\\dfrac{1}{36}\\)\n\n## Sposób 1 - Prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego (mnożenie)\n\n**Od czego zaczynamy:** Rzucamy kostką dwa razy - to dwa **niezależne** zdarzenia. Prawdopodobieństwo złożenia niezależnych zdarzeń to iloczyn ich prawdopodobieństw.\n\n**Krok 1:** Prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 oczek przy **pierwszym** rzucie:\n\\[P(\\text{5 za 1. razem}) = \\frac{1}{6}\\]\nbo jedna ścianka (z szóstką) na 6 możliwych.\n\n**Krok 2:** Prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 oczek przy **drugim** rzucie:\n\\[P(\\text{5 za 2. razem}) = \\frac{1}{6}\\]\nWynik pierwszego rzutu nie wpływa na drugi - zdarzenia są niezależne.\n\n**Krok 3:** Oba zdarzenia muszą zajść jednocześnie (pierwsze I drugie), więc mnożymy:\n\\[P(\\text{5 i 5}) = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{36}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{36}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych\n\n**Idea:** Policzmy, ile jest wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kostkami, a ile z nich to \"piątka i piątka\".\n\n**Krok 1:** Przy dwóch rzutach każdy wynik to para \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).\n\nŁączna liczba wyników:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Krok 2:** Ile wyników to \"(5, 5)\"? Dokładnie **jeden**: para \\((5, 5)\\).\n\\[|A| = 1\\]\n\n**Krok 3:** Prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{1}{36}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{36}\\)** ✓ - zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia prawdopodobieństwa zdarzenia \"piątka i piątka\".\n\n**Dział 14 (s. 29-30)** - schemat Bernoullego (wersja uproszczona dla \\(n = 2, k = 2\\)):\n\\[P_n(k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot q^{n-k}\\]\nDla \\(n = 2\\), \\(k = 2\\), \\(p = \\frac{1}{6}\\), \\(q = \\frac{5}{6}\\):\n\\[P_2(2) = \\binom{2}{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{6}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^0 = 1 \\cdot \\frac{1}{36} \\cdot 1 = \\frac{1}{36}\\]\nTo eleganckie potwierdzenie wyniku metodą Bernoullego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\frac{1}{6}\\) | Policzono prawdopodobieństwo dla **jednego** rzutu, zapominając o drugim - jakby pytanie dotyczyło tylko jednej piątki |\n| B \\(\\frac{1}{12}\\) | Dodano zamiast mnożyć: \\(\\frac{1}{6} + \\frac{1}{6} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\) - błąd, lub dzielono przez 12 bez uzasadnienia |\n| C \\(\\frac{1}{18}\\) | Typowy błąd \"przemnożono przez \\(\\frac{1}{3}\\)\" - brak matematycznego sensu, prawdopodobnie zgadywanie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodajemy prawdopodobieństw - **mnożymy**! Dodawanie \\(P(A) + P(B)\\) stosujemy tylko wtedy, gdy zdarzenia **wykluczają się** (nie mogą zajść jednocześnie). Tu oba muszą zajść razem → mnożymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kostka jest \"bez pamięci\" - wynik drugiego rzutu jest całkowicie niezależny od pierwszego. Nawet jeśli za pierwszym razem wypadła piątka, szansa na piątkę za drugim razem nadal wynosi \\(\\frac{1}{6}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A (\\(\\frac{1}{6}\\)) jest bardzo kuszącą pułapką - to prawdopodobieństwo dla jednego rzutu. Zadanie pyta o **dwa** rzuty naraz, więc musimy iść o krok dalej.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych\n\\(|\\Omega|=6\\cdot 6=36\\). Szukamy par gdzie oba razy wypadło \\(5\\): jedyna para \\((5, 5)\\).\n\\[p = \\dfrac{1}{36}.\\]\n\n### Sposób 2 - Niezależność zdarzeń\nDwa niezależne rzuty: prawdopodobieństwo wyrzucenia \\(5\\) w każdym rzucie = \\(\\tfrac{1}{6}\\).\n\\[p = \\dfrac{1}{6}\\cdot \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{1}{36}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{6}\\):** tylko jeden rzut.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{12}\\):** pomyłka z dzieleniem przez \\(2\\).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{18}\\):** błędne liczenie par.\n\n**Pamiętaj:** prawdopodobieństwo niezależnych zdarzeń mnożymy.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 23. (1 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe
A. 1
6
B.
1
12
C.
1
18
D.
1
36
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe A. 1/6, B. 1/12, C. 1/18, D. 1/36

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

\\(\\dfrac{1}{36}\\)

\n

Sposób 1 - Prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego (mnożenie)

\n

Od czego zaczynamy: Rzucamy kostką dwa razy - to dwa niezależne zdarzenia. Prawdopodobieństwo złożenia niezależnych zdarzeń to iloczyn ich prawdopodobieństw.

\n

Krok 1: Prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 oczek przy pierwszym rzucie:
\\[P(\\text{5 za 1. razem}) = \\frac{1}{6}\\]
bo jedna ścianka (z szóstką) na 6 możliwych.

\n

Krok 2: Prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 oczek przy drugim rzucie:
\\[P(\\text{5 za 2. razem}) = \\frac{1}{6}\\]
Wynik pierwszego rzutu nie wpływa na drugi - zdarzenia są niezależne.

\n

Krok 3: Oba zdarzenia muszą zajść jednocześnie (pierwsze I drugie), więc mnożymy:
\\[P(\\text{5 i 5}) = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{36}\\]

\n

Wynik: \\(\\dfrac{1}{36}\\)

\n

Sposób 2 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych

\n

Idea: Policzmy, ile jest wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kostkami, a ile z nich to "piątka i piątka".

\n

Krok 1: Przy dwóch rzutach każdy wynik to para \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).

\n

Łączna liczba wyników:
\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]

\n

Krok 2: Ile wyników to "(5, 5)"? Dokładnie jeden: para \\((5, 5)\\).
\\[|A| = 1\\]

\n

Krok 3: Prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{1}{36}\\]

\n

Wynik: \\(\\dfrac{1}{36}\\) ✓ - zgodny ze Sposobem 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia prawdopodobieństwa zdarzenia "piątka i piątka".

\n

Dział 14 (s. 29-30) - schemat Bernoullego (wersja uproszczona dla \\(n = 2, k = 2\\)):
\\[P_n(k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot q^{n-k}\\]
Dla \\(n = 2\\), \\(k = 2\\), \\(p = \\frac{1}{6}\\), \\(q = \\frac{5}{6}\\):
\\[P_2(2) = \\binom{2}{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{6}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^0 = 1 \\cdot \\frac{1}{36} \\cdot 1 = \\frac{1}{36}\\]
To eleganckie potwierdzenie wyniku metodą Bernoullego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\(\\frac{1}{6}\\) | Policzono prawdopodobieństwo dla jednego rzutu, zapominając o drugim - jakby pytanie dotyczyło tylko jednej piątki |
| B \\(\\frac{1}{12}\\) | Dodano zamiast mnożyć: \\(\\frac{1}{6} + \\frac{1}{6} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\) - błąd, lub dzielono przez 12 bez uzasadnienia |
| C \\(\\frac{1}{18}\\) | Typowy błąd "przemnożono przez \\(\\frac{1}{3}\\)" - brak matematycznego sensu, prawdopodobnie zgadywanie |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie dodajemy prawdopodobieństw - mnożymy! Dodawanie \\(P(A) + P(B)\\) stosujemy tylko wtedy, gdy zdarzenia wykluczają się (nie mogą zajść jednocześnie). Tu oba muszą zajść razem → mnożymy.
\n
⚠️ Uwaga: Kostka jest "bez pamięci" - wynik drugiego rzutu jest całkowicie niezależny od pierwszego. Nawet jeśli za pierwszym razem wypadła piątka, szansa na piątkę za drugim razem nadal wynosi \\(\\frac{1}{6}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź A (\\(\\frac{1}{6}\\)) jest bardzo kuszącą pułapką - to prawdopodobieństwo dla jednego rzutu. Zadanie pyta o dwa rzuty naraz, więc musimy iść o krok dalej.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych
\n

\\(|\\Omega|=6\\cdot 6=36\\). Szukamy par gdzie oba razy wypadło \\(5\\): jedyna para \\((5, 5)\\).
\\[p = \\dfrac{1}{36}.\\]

\n
Sposób 2 - Niezależność zdarzeń
\n

Dwa niezależne rzuty: prawdopodobieństwo wyrzucenia \\(5\\) w każdym rzucie = \\(\\tfrac{1}{6}\\).
\\[p = \\dfrac{1}{6}\\cdot \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{1}{36}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: prawdopodobieństwo niezależnych zdarzeń mnożymy.

"}]}