{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i\n3\nsin\n3\n\n. Wtedy wartość wyrażenia\n2\n2cos\n1\n jest równa\nA. 0\nB.\n1\n3\nC.\n5\n9\nD. 1\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = = pierwiastek z 3 / 3. Wtedy wartość wyrażenia 2cos^2 alfa - 1 jest równa A. 0, B. 1/3, C. 5/9, D. 1","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + podstawienie\n\n**Szukamy \\(\\cos^2\\alpha\\)** z jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nObliczamy \\(\\sin^2\\alpha\\):\n\n\\[\\sin^2\\alpha = \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[2\\cos^2\\alpha - 1 = 2 \\cdot \\frac{2}{3} - 1 = \\frac{4}{3} - \\frac{3}{3} = \\boxed{\\frac{1}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozpoznanie wzoru na cosinus podwojonego kąta\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(2\\cos^2\\alpha - 1\\) to dokładnie wzór na **cosinus podwojonego kąta**:\n\n\\[\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1 = 1 - 2\\sin^2\\alpha\\]\n\nKorzystamy z postaci z sinusem (łatwiej, bo mamy dane \\(\\sin\\alpha\\)):\n\n\\[\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^2\\alpha = 1 - 2 \\cdot \\frac{1}{3} = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Wynik ten sam: \\(\\dfrac{1}{3}\\)** - i szybciej, bo ominęliśmy wyznaczanie \\(\\cos^2\\alpha\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):**\n\n- Jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos^2\\alpha\\).\n\n- Cosinus podwojonego kąta:\n\\[\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1 = 1 - 2\\sin^2\\alpha\\]\nUżyty w Sposobie 2 - pozwala od razu rozpoznać postać wyrażenia i podstawić \\(\\sin^2\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** - \\(0\\) | Uczeń myli \\(\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) z \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a potem liczy \\(2\\cos^2 60° - 1 = 2 \\cdot \\frac{1}{4} - 1 = -\\frac{1}{2}\\) (i znów przelicza, gubiąc się w obliczeniach). Albo błędnie stosuje wzór \\(\\cos 2\\alpha = 0\\) na podstawie pomylenia \\(\\alpha\\) z \\(45°\\). |\n| **C** - \\(\\frac{5}{9}\\) | Uczeń błędnie podnosi do kwadratu: pisze \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{9}\\) lub \\(\\frac{2}{9}\\) zamiast \\(\\frac{1}{3}\\), co prowadzi do \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{7}{9}\\) i \\(2 \\cdot \\frac{7}{9} - 1 = \\frac{5}{9}\\). |\n| **D** - \\(1\\) | Uczeń \"aplikuje\" jedynkę trygonometryczną nie myśląc: skoro \\(\\sin^2+\\cos^2=1\\), to może \\(2\\cos^2\\alpha - 1 = 1\\)? Błąd polega na wstawieniu \\(\\cos^2\\alpha = 1\\) (jakby \\(\\alpha = 0°\\)) albo pominięciu kroku obliczenia \\(\\cos^2\\alpha\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\dfrac{(\\sqrt{3})^2}{3^2} = \\dfrac{3}{9} = \\dfrac{1}{3}\\), **nie** \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) ani \\(\\dfrac{3}{3}\\). Kwadratujemy osobno licznik i mianownik!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy kąt jest ostry - przy ostrym \\(\\alpha\\) mamy \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{2}{3}\\) jest poprawne (gdyby pytanie dotyczyło \\(\\cos\\alpha\\), wzięlibyśmy \\(+\\sqrt{\\frac{2}{3}}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^2\\alpha\\) jest jednym z najczęściej przydatnych na maturze - warto go pamiętać, bo pozwala ominąć obliczanie cosinusa, gdy dane jest sinus.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\(\\sin^{2}\\alpha = \\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^{2} = \\dfrac{3}{9} = \\dfrac{1}{3}.\\)\n\\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{2}{3}.\\)\n\\[2\\cos^{2}\\alpha - 1 = 2\\cdot \\dfrac{2}{3} - 1 = \\dfrac{4}{3} - 1 = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na \\(\\cos 2\\alpha\\)\n\\(2\\cos^{2}\\alpha - 1 = \\cos 2\\alpha\\). Używamy też \\(\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^{2}\\alpha\\):\n\\[\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\cdot \\dfrac{1}{3} = 1 - \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\):** błędny rachunek.\n- **C. \\(\\tfrac{5}{9}\\):** błąd przy obliczaniu \\(\\cos^{2}\\alpha\\).\n- **D. \\(1\\):** \\(2\\cos^{2}\\alpha = 2\\), błąd.\n\n**Pamiętaj:** \\(2\\cos^{2}\\alpha-1 = \\cos 2\\alpha = 1-2\\sin^{2}\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 24. (1 pkt)<br>Kąt  jest ostry i<br>3<br>sin<br>3<br><br>. Wtedy wartość wyrażenia<br>2<br>2cos<br>1<br> jest równa<br>A. 0<br>B.<br>1<br>3<br>C.<br>5<br>9<br>D. 1<br>Kąt alfa jest ostry i sin alfa = = pierwiastek z 3 / 3. Wtedy wartość wyrażenia 2cos^2 alfa - 1 jest równa A. 0, B. 1/3, C. 5/9, D. 1</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + podstawienie</h4>\n<p><strong>Szukamy \\(\\cos^2\\alpha\\)</strong> z jedynki trygonometrycznej:</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>Obliczamy \\(\\sin^2\\alpha\\):</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha = \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p>Podstawiamy do wyrażenia:</p>\n<p>\\[2\\cos^2\\alpha - 1 = 2 \\cdot \\frac{2}{3} - 1 = \\frac{4}{3} - \\frac{3}{3} = \\boxed{\\frac{1}{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Rozpoznanie wzoru na cosinus podwojonego kąta</h4>\n<p>Zauważamy, że wyrażenie \\(2\\cos^2\\alpha - 1\\) to dokładnie wzór na <strong>cosinus podwojonego kąta</strong>:</p>\n<p>\\[\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1 = 1 - 2\\sin^2\\alpha\\]</p>\n<p>Korzystamy z postaci z sinusem (łatwiej, bo mamy dane \\(\\sin\\alpha\\)):</p>\n<p>\\[\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^2\\alpha = 1 - 2 \\cdot \\frac{1}{3} = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p><strong>Wynik ten sam: \\(\\dfrac{1}{3}\\)</strong> - i szybciej, bo ominęliśmy wyznaczanie \\(\\cos^2\\alpha\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):</strong></p>\n<ul><li>Jedynka trygonometryczna:</li></ul>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos^2\\alpha\\).</p>\n<ul><li>Cosinus podwojonego kąta:</li></ul>\n<p>\\[\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1 = 1 - 2\\sin^2\\alpha\\]<br>Użyty w Sposobie 2 - pozwala od razu rozpoznać postać wyrażenia i podstawić \\(\\sin^2\\alpha\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> - \\(0\\) | Uczeń myli \\(\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) z \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a potem liczy \\(2\\cos^2 60° - 1 = 2 \\cdot \\frac{1}{4} - 1 = -\\frac{1}{2}\\) (i znów przelicza, gubiąc się w obliczeniach). Albo błędnie stosuje wzór \\(\\cos 2\\alpha = 0\\) na podstawie pomylenia \\(\\alpha\\) z \\(45°\\). |<br>| <strong>C</strong> - \\(\\frac{5}{9}\\) | Uczeń błędnie podnosi do kwadratu: pisze \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{9}\\) lub \\(\\frac{2}{9}\\) zamiast \\(\\frac{1}{3}\\), co prowadzi do \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{7}{9}\\) i \\(2 \\cdot \\frac{7}{9} - 1 = \\frac{5}{9}\\). |<br>| <strong>D</strong> - \\(1\\) | Uczeń &quot;aplikuje&quot; jedynkę trygonometryczną nie myśląc: skoro \\(\\sin^2+\\cos^2=1\\), to może \\(2\\cos^2\\alpha - 1 = 1\\)? Błąd polega na wstawieniu \\(\\cos^2\\alpha = 1\\) (jakby \\(\\alpha = 0°\\)) albo pominięciu kroku obliczenia \\(\\cos^2\\alpha\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\dfrac{(\\sqrt{3})^2}{3^2} = \\dfrac{3}{9} = \\dfrac{1}{3}\\), <strong>nie</strong> \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) ani \\(\\dfrac{3}{3}\\). Kwadratujemy osobno licznik i mianownik!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, czy kąt jest ostry - przy ostrym \\(\\alpha\\) mamy \\(\\cos\\alpha &gt; 0\\), więc \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{2}{3}\\) jest poprawne (gdyby pytanie dotyczyło \\(\\cos\\alpha\\), wzięlibyśmy \\(+\\sqrt{\\frac{2}{3}}\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^2\\alpha\\) jest jednym z najczęściej przydatnych na maturze - warto go pamiętać, bo pozwala ominąć obliczanie cosinusa, gdy dane jest sinus.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna</h5>\n<p>\\(\\sin^{2}\\alpha = \\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^{2} = \\dfrac{3}{9} = \\dfrac{1}{3}.\\)<br>\\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{2}{3}.\\)<br>\\[2\\cos^{2}\\alpha - 1 = 2\\cdot \\dfrac{2}{3} - 1 = \\dfrac{4}{3} - 1 = \\dfrac{1}{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór na \\(\\cos 2\\alpha\\)</h5>\n<p>\\(2\\cos^{2}\\alpha - 1 = \\cos 2\\alpha\\). Używamy też \\(\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^{2}\\alpha\\):<br>\\[\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\cdot \\dfrac{1}{3} = 1 - \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{3}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(0\\):</strong> błędny rachunek.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{5}{9}\\):</strong> błąd przy obliczaniu \\(\\cos^{2}\\alpha\\).</li><li><strong>D. \\(1\\):</strong> \\(2\\cos^{2}\\alpha = 2\\), błąd.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(2\\cos^{2}\\alpha-1 = \\cos 2\\alpha = 1-2\\sin^{2}\\alpha\\).</p>"}]}