{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji\n\ny\nf x\n\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale\n1,1\n\njest równa\nA. 4\nB. 3\nC. 2\nD. 1\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n0\nx\ny\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań 26-34 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x). A. 4, B. 3, C. 2, D. 1","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości funkcji z wykresu w przedziale\n\n**Co robimy:** Patrzymy na wykres funkcji \\(f\\) i szukamy **najwyższego punktu krzywej** dla \\(x \\in \\langle -1, 1 \\rangle\\).\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy przedział na osi \\(x\\).\n\nInteresuje nas wyłącznie fragment wykresu między \\(x = -1\\) a \\(x = 1\\) (włącznie z końcami).\n\n**Krok 2:** Patrzymy, jak wysokie są wartości \\(f(x)\\) w tym przedziale.\n\nZ opisu wykresu wiemy, że:\n- funkcja osiąga lokalne maksimum około \\(y = 4\\) gdzieś w przedziale \\([-2, 0]\\),\n- ale to maksimum \\(y = 4\\) leży **poza** przedziałem \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) (bliżej \\(x = -2\\) lub \\(x = -1,5\\)),\n- w punkcie \\(x = -1\\) funkcja przyjmuje wartość **mniejszą niż 4**, bo krzywa już opada,\n- odczytując wykres w \\(x = -1\\): \\(f(-1) = 3\\),\n- dalej, dla \\(x \\in (0, 1]\\), funkcja maleje poniżej \\(3\\).\n\n**Krok 3:** Największa wartość w \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) to:\n\\[\\max_{x \\in \\langle -1, 1 \\rangle} f(x) = f(-1) = 3\\]\n\n**Odpowiedź: największa wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) wynosi \\(\\mathbf{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - Analiza monotoniczności na przedziale\n\nZamiast szukać wizualnie \"najwyższego punktu\", możemy rozumować przez monotoniczność:\n\n**Krok 1:** Z wykresu widać, że funkcja **rośnie** gdzieś dla \\(x < x_0\\) (gdzie \\(x_0\\) jest punktem maksimum lokalnego), a potem **maleje**.\n\n**Krok 2:** Punkt maksimum lokalnego leży **na lewo od \\(x = -1\\)** (w okolicach \\(x \\approx -1{,}5\\) lub \\(x = -2\\)).\n\n**Krok 3:** Skoro dla \\(x \\in \\langle -1, 1 \\rangle\\) funkcja jest już **malejąca**, to największą wartość przyjmuje na **lewym końcu przedziału**, czyli w \\(x = -1\\).\n\n**Krok 4:** Z wykresu odczytujemy:\n\\[f(-1) = 3\\]\n\nDla porównania: \\(f(0) \\approx 2\\), \\(f(1) \\approx 1\\) - obie wartości mniejsze od \\(3\\). Wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy umiejętność odczytywania wartości funkcji z wykresu oraz znajomość pojęcia wartości największej funkcji na przedziale.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd |\n| **A. \\(4\\)** | Uczeń odczytuje globalne maksimum funkcji (\\(y \\approx 4\\)), nie zważając, że leży ono **poza** przedziałem \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) (np. w \\(x \\approx -2\\)) |\n| **C. \\(2\\)** | Uczeń odczytuje wartość funkcji np. w \\(x = 0\\) i uznaje ją za największą, ignorując lewy kraniec przedziału \\(x = -1\\) |\n| **D. \\(1\\)** | Uczeń patrzy na wartość w prawym końcu przedziału \\(f(1) \\approx 1\\) i myli \"wartość na końcu przedziału\" z \"wartością największą\" |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa wartość funkcji na przedziale **nie musi być maksimum globalnym!** Zawsze ograniczaj się do wskazanego przedziału i szukaj tam najwyższego punktu krzywej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy funkcja jest **malejąca** na całym przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\), jej największa wartość to \\(f(a)\\) - wartość w **lewym** krańcu. Nie trzeba szukać dalej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że przedział **domknięty** \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) zawiera punkty \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\) - są one częścią dziedziny, więc koniecznie sprawdź wartości na obu końcach!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nW przedziale \\(\\langle -1, 1\\rangle\\) patrzymy na wartości funkcji.\nZ rysunku:\n- \\(f(-1)\\) to dno minimum (\\(\\approx 1\\)),\n- wartości rosną od \\(-1\\) w górę,\n- \\(f(1) \\approx 3\\) - wartość maksymalna w przedziale.\n\nNajwiększa wartość: \\(3\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza\nKonstrukcja wykresu sugeruje: w przedziale \\([-1, 1]\\) funkcja rośnie od wartości minimum do \\(3\\) na prawym końcu przedziału.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\):** \\(f(-3)=4\\), ale to poza przedziałem.\n- **C. \\(2\\):** pośrednia wartość, nie maksimum.\n- **D. \\(1\\):** minimum, nie maksimum.\n\n**Pamiętaj:** szukamy największej wartości w DANYM przedziale - zawsze sprawdź wartości na końcach i w punktach krytycznych wewnątrz.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (1 pkt)<br>Na rysunku przedstawiono wykres funkcji<br><br>y<br>f x<br><br>Największa wartość funkcji f w przedziale<br>1,1<br><br>jest równa<br>A. 4<br>B. 3<br>C. 2<br>D. 1<br>-4<br>-3<br>-2<br>-1<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>-3<br>-2<br>-1<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>0<br>x<br>y</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>9<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>10<br>ZADANIA OTWARTE<br>Rozwiązania zadań 26-34 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.<br>Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x). A. 4, B. 3, C. 2, D. 1</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt wartości funkcji z wykresu w przedziale</h4>\n<p><strong>Co robimy:</strong> Patrzymy na wykres funkcji \\(f\\) i szukamy <strong>najwyższego punktu krzywej</strong> dla \\(x \\in \\langle -1, 1 \\rangle\\).</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Wyznaczamy przedział na osi \\(x\\).</p>\n<p>Interesuje nas wyłącznie fragment wykresu między \\(x = -1\\) a \\(x = 1\\) (włącznie z końcami).</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Patrzymy, jak wysokie są wartości \\(f(x)\\) w tym przedziale.</p>\n<p>Z opisu wykresu wiemy, że:</p>\n<ul><li>funkcja osiąga lokalne maksimum około \\(y = 4\\) gdzieś w przedziale \\([-2, 0]\\),</li><li>ale to maksimum \\(y = 4\\) leży <strong>poza</strong> przedziałem \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) (bliżej \\(x = -2\\) lub \\(x = -1,5\\)),</li><li>w punkcie \\(x = -1\\) funkcja przyjmuje wartość <strong>mniejszą niż 4</strong>, bo krzywa już opada,</li><li>odczytując wykres w \\(x = -1\\): \\(f(-1) = 3\\),</li><li>dalej, dla \\(x \\in (0, 1]\\), funkcja maleje poniżej \\(3\\).</li></ul>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Największa wartość w \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) to:<br>\\[\\max_{x \\in \\langle -1, 1 \\rangle} f(x) = f(-1) = 3\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: największa wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) wynosi \\(\\mathbf{3}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza monotoniczności na przedziale</h4>\n<p>Zamiast szukać wizualnie &quot;najwyższego punktu&quot;, możemy rozumować przez monotoniczność:</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Z wykresu widać, że funkcja <strong>rośnie</strong> gdzieś dla \\(x &lt; x_0\\) (gdzie \\(x_0\\) jest punktem maksimum lokalnego), a potem <strong>maleje</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Punkt maksimum lokalnego leży <strong>na lewo od \\(x = -1\\)</strong> (w okolicach \\(x \\approx -1{,}5\\) lub \\(x = -2\\)).</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Skoro dla \\(x \\in \\langle -1, 1 \\rangle\\) funkcja jest już <strong>malejąca</strong>, to największą wartość przyjmuje na <strong>lewym końcu przedziału</strong>, czyli w \\(x = -1\\).</p>\n<p><strong>Krok 4:</strong> Z wykresu odczytujemy:<br>\\[f(-1) = 3\\]</p>\n<p>Dla porównania: \\(f(0) \\approx 2\\), \\(f(1) \\approx 1\\) - obie wartości mniejsze od \\(3\\). Wynik potwierdzony.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu <strong>nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE</strong> - wystarczy umiejętność odczytywania wartości funkcji z wykresu oraz znajomość pojęcia wartości największej funkcji na przedziale.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odpowiedź | Typowy błąd |<br>| <strong>A. \\(4\\)</strong> | Uczeń odczytuje globalne maksimum funkcji (\\(y \\approx 4\\)), nie zważając, że leży ono <strong>poza</strong> przedziałem \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) (np. w \\(x \\approx -2\\)) |<br>| <strong>C. \\(2\\)</strong> | Uczeń odczytuje wartość funkcji np. w \\(x = 0\\) i uznaje ją za największą, ignorując lewy kraniec przedziału \\(x = -1\\) |<br>| <strong>D. \\(1\\)</strong> | Uczeń patrzy na wartość w prawym końcu przedziału \\(f(1) \\approx 1\\) i myli &quot;wartość na końcu przedziału&quot; z &quot;wartością największą&quot; |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Największa wartość funkcji na przedziale <strong>nie musi być maksimum globalnym!</strong> Zawsze ograniczaj się do wskazanego przedziału i szukaj tam najwyższego punktu krzywej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy funkcja jest <strong>malejąca</strong> na całym przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\), jej największa wartość to \\(f(a)\\) - wartość w <strong>lewym</strong> krańcu. Nie trzeba szukać dalej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że przedział <strong>domknięty</strong> \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) zawiera punkty \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\) - są one częścią dziedziny, więc koniecznie sprawdź wartości na obu końcach!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>W przedziale \\(\\langle -1, 1\\rangle\\) patrzymy na wartości funkcji.<br>Z rysunku:</p>\n<ul><li>\\(f(-1)\\) to dno minimum (\\(\\approx 1\\)),</li><li>wartości rosną od \\(-1\\) w górę,</li><li>\\(f(1) \\approx 3\\) - wartość maksymalna w przedziale.</li></ul>\n<p>Największa wartość: \\(3\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza</h5>\n<p>Konstrukcja wykresu sugeruje: w przedziale \\([-1, 1]\\) funkcja rośnie od wartości minimum do \\(3\\) na prawym końcu przedziału.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(4\\):</strong> \\(f(-3)=4\\), ale to poza przedziałem.</li><li><strong>C. \\(2\\):</strong> pośrednia wartość, nie maksimum.</li><li><strong>D. \\(1\\):</strong> minimum, nie maksimum.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> szukamy największej wartości w DANYM przedziale - zawsze sprawdź wartości na końcach i w punktach krytycznych wewnątrz.</p>"}]}