{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n0\n3\n2 \nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nRozwiąż nierówność 3x-x^2 >= 0.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n0\nx\nx\n\n\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania:\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\nx\nx\n3\n2 \n\n:\n podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu lub zaznaczając na wykresie\n3\n1 \nx\n,\n0\n2 \nx\nlub\n\n\n3\n\n\nx\nx\nalbo\n obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n\n\n9\n0\n1\n4\n9\n\n\n\n\n\n\n\n. Stąd\n3\n2\n3\n3\n1\n\n\n\n\n\nx\noraz\n0\n2\n3\n3\n2\n\n\n\n\n\nx\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n3\n0\n\nx\nlub\n3\n,0\nlub\n3\n,0\n\nx\n. np. odczytując\ngo ze szkicu wykresu funkcji \nx\nx\nx\nf\n3\n2 \n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n\n\n3\n\n\nx\nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n3\n1 \nx\n,\n0\n2 \nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n\nx\nx\nx\nf\n3\n2 \n\n\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\nOdpowiedź\nD A B D C B B C C\nB\nA\nC\nD\nD\nC\nB\nC\nA\nD\nD\nC\nB\nD\nB\nB\n3\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nalbo\n realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rachunkowy przy\nobliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do\npopełnionego błędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n poda zbiór rozwiązań nierówności :\n3\n,0\nlub\n3\n,0\n\nx\nlub\n0 i\n3\nx\nx\n\n\nalbo\n sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n3\n,0\n\n\nx\nx\nalbo\n poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nKryteria\noceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n0\nx \n,\n2\n3\nx \ni zapisze, np.\n0, 3\nx\n\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n3,0\nx\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x \\in \\langle 0, 3 \\rangle\\)\n\nRozwiązaniem nierówności jest przedział \\(\\langle 0, 3 \\rangle\\), czyli \\(0 \\leq x \\leq 3\\).\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie przed nawias + analiza znaku iloczynu\n\n**Krok 1: Wyłącz \\(x\\) przed nawias**\n\n\\[3x - x^2 \\geq 0\\]\n\\[x(3 - x) \\geq 0\\]\n\n**Krok 2: Znajdź miejsca zerowe**\n\nIloczyn \\(x(3-x) = 0\\) gdy:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 3\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź znak iloczynu na każdym przedziale**\n\n| Przedział | Znak \\(x\\) | Znak \\((3-x)\\) | Iloczyn \\(x(3-x)\\) |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 0\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(0 < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n\n**Krok 4: Wynik**\n\nIloczyn jest **nieujemny** (czyli \\(\\geq 0\\)) dla \\(x \\in \\langle 0, 3 \\rangle\\).\n\n## Sposób 2 - Parabola i ramiona w dół\n\nPrzepiszmy nierówność jako funkcję kwadratową:\n\\[f(x) = -x^2 + 3x\\]\n\nJest to trójmian kwadratowy z \\(a = -1 < 0\\) - **parabola otwarta w dół** (ramiona skierowane ku dołowi).\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** (\\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)):\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot (-1) \\cdot 0 = 9\\]\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{-3 - 3}{-2} = \\frac{-6}{-2} = 3\\]\n\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{-3 + 3}{-2} = 0\\]\n\nParabola z ujemnym \\(a\\) leży **powyżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\geq 0\\)) **między** miejscami zerowymi.\n\nStąd: \\(f(x) \\geq 0\\) dla \\(\\mathbf{x \\in \\langle 0, 3 \\rangle}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia granic przedziału.\n\n**Dział 7 (s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nTutaj: \\(f(x) = -(x-0)(x-3) = x(3-x)\\) - co bezpośrednio widać w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń rozwiązuje nierówność \\(3x - x^2 \\leq 0\\) zamiast \\(\\geq 0\\) - bierze odwrotną część osi |\n| C | Pomylenie ostrego i nieostrego znaku - wyklucza punkty \\(x=0\\) i \\(x=3\\), czyli bierze \\((0,3)\\) zamiast \\(\\langle 0,3 \\rangle\\) |\n| D | Łączy błąd z A i C naraz - odwraca kierunek nierówności **i** pomija końce przedziału |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta **w dół** (\\(a < 0\\)) jest nieujemna **między** miejscami zerowymi - odwrotnie niż parabola w górę! Wielu uczniów odruchowo zaznacza \"zewnątrz\" przedziału.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność **niestroga** (\\(\\geq 0\\)) - punkty \\(x = 0\\) i \\(x = 3\\) należą do rozwiązania (nawiasy kwadratowe \\(\\langle\\;\\rangle\\)). Przy \\(> 0\\) byłoby \\((0, 3)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wyłączamy \\(x\\) przed nawias, nie wolno dzielić obu stron przez \\(x\\) - bo nie wiemy, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\). Zawsze wyłącz i analizuj znak iloczynu!\n\n**Rozwiązanie: \\(x\\in \\langle 0, 3\\rangle\\)**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na czynniki\n\\(3x-x^{2} = x(3-x)\\). Nierówność: \\(x(3-x)\\ge 0\\).\nMiejsca zerowe: \\(x=0\\), \\(x=3\\).\nTrójmian \\(-x^{2}+3x\\) ma współczynnik przy \\(x^{2}\\) ujemny, więc parabola skierowana ramionami w dół. Wartości nieujemne (\\(\\ge 0\\)) znajdują się **między** miejscami zerowymi:\n\\[x\\in \\langle 0, 3\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyróżnik\n\\(-x^{2}+3x\\ge 0\\). Rozwiązujemy \\(-x^{2}+3x=0\\):\n\\[\\Delta = 9 - 4\\cdot(-1)\\cdot 0 = 9.\\]\n\\[x_{1} = \\dfrac{-3-3}{-2}=3,\\quad x_{2}=\\dfrac{-3+3}{-2}=0.\\]\nParabola w dół - nieujemna na \\([0, 3]\\).\n\n### Sposób 3 - Szkic paraboli\nWykres \\(f(x)=-x^{2}+3x\\): parabola skierowana w dół, przecina oś \\(Ox\\) w \\(0\\) i \\(3\\). \\(f(x)\\ge 0\\) dla \\(x\\in [0, 3]\\).\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za poprawny rozkład lub wyznaczenie miejsc zerowych \\((x_{1}=0, x_{2}=3)\\),\n- **2 pkt** za podanie zbioru rozwiązań: \\(\\langle 0, 3\\rangle\\) lub \\(0\\le x\\le 3\\).\n\n**Pamiętaj:** dla paraboli w dół (\\(a<0\\)) wartości \\(\\ge 0\\) są MIĘDZY miejscami zerowymi.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
0
3
2 
x
x
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
11
Rozwiąż nierówność 3x-x^2 >= 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
3
0
x
x


Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap rozwiązania:
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
x
x
3
2 

:
 podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu lub zaznaczając na wykresie
3
1 
x
,
0
2 
x
lub


3


x
x
albo
 obliczamy wyróżnik tego trójmianu:


9
0
1
4
9







. Stąd
3
2
3
3
1





x
oraz
0
2
3
3
2





x
Drugi etap rozwiązania:
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:
3
0

x
lub
3
,0
lub
3
,0

x
. np. odczytując
go ze szkicu wykresu funkcji 
x
x
x
f
3
2 


Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.


3


x
x
i na tym
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
3
1 
x
,
0
2 
x
i na tym
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji

x
x
x
f
3
2 


i na tym
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
Nr zadania
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Odpowiedź
D A B D C B B C C
B
A
C
D
D
C
B
C
A
D
D
C
B
D
B
B
3
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
albo
 realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)
i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rachunkowy przy
obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do
popełnionego błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:
 poda zbiór rozwiązań nierówności :
3
,0
lub
3
,0

x
lub
0 i
3
x
x


albo
 sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
3
,0


x
x
albo
 poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów.
Kryteria
oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki

\n
  1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

1
0
x 
,
2
3
x 
i zapisze, np.
0, 3
x

, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań
\n

nierówności w postaci
3,0
x
, to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(x \\in \\langle 0, 3 \\rangle\\)

\n

Rozwiązaniem nierówności jest przedział \\(\\langle 0, 3 \\rangle\\), czyli \\(0 \\leq x \\leq 3\\).

\n

Sposób 1 - Wyłączenie przed nawias + analiza znaku iloczynu

\n

Krok 1: Wyłącz \\(x\\) przed nawias

\n

\\[3x - x^2 \\geq 0\\]
\\[x(3 - x) \\geq 0\\]

\n

Krok 2: Znajdź miejsca zerowe

\n

Iloczyn \\(x(3-x) = 0\\) gdy:
\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 3\\]

\n

Krok 3: Sprawdź znak iloczynu na każdym przedziale

\n

| Przedział | Znak \\(x\\) | Znak \\((3-x)\\) | Iloczyn \\(x(3-x)\\) |
| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x = 0\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(0 < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |

\n

Krok 4: Wynik

\n

Iloczyn jest nieujemny (czyli \\(\\geq 0\\)) dla \\(x \\in \\langle 0, 3 \\rangle\\).

\n

Sposób 2 - Parabola i ramiona w dół

\n

Przepiszmy nierówność jako funkcję kwadratową:
\\[f(x) = -x^2 + 3x\\]

\n

Jest to trójmian kwadratowy z \\(a = -1 < 0\\) - parabola otwarta w dół (ramiona skierowane ku dołowi).

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe (\\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)):
\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot (-1) \\cdot 0 = 9\\]
\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{-3 - 3}{-2} = \\frac{-6}{-2} = 3\\]
\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{-3 + 3}{-2} = 0\\]

\n

Parabola z ujemnym \\(a\\) leży powyżej osi \\(OX\\) (czyli \\(f(x) \\geq 0\\)) między miejscami zerowymi.

\n

Stąd: \\(f(x) \\geq 0\\) dla \\(\\mathbf{x \\in \\langle 0, 3 \\rangle}\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - miejsca zerowe trójmianu:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia granic przedziału.

\n

Dział 7 (s. 7-9) - postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Tutaj: \\(f(x) = -(x-0)(x-3) = x(3-x)\\) - co bezpośrednio widać w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń rozwiązuje nierówność \\(3x - x^2 \\leq 0\\) zamiast \\(\\geq 0\\) - bierze odwrotną część osi |
| C | Pomylenie ostrego i nieostrego znaku - wyklucza punkty \\(x=0\\) i \\(x=3\\), czyli bierze \\((0,3)\\) zamiast \\(\\langle 0,3 \\rangle\\) |
| D | Łączy błąd z A i C naraz - odwraca kierunek nierówności i pomija końce przedziału |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Parabola otwarta w dół (\\(a < 0\\)) jest nieujemna między miejscami zerowymi - odwrotnie niż parabola w górę! Wielu uczniów odruchowo zaznacza "zewnątrz" przedziału.
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność niestroga (\\(\\geq 0\\)) - punkty \\(x = 0\\) i \\(x = 3\\) należą do rozwiązania (nawiasy kwadratowe \\(\\langle\\;\\rangle\\)). Przy \\(> 0\\) byłoby \\((0, 3)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Gdy wyłączamy \\(x\\) przed nawias, nie wolno dzielić obu stron przez \\(x\\) - bo nie wiemy, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\). Zawsze wyłącz i analizuj znak iloczynu!
\n

Rozwiązanie: \\(x\\in \\langle 0, 3\\rangle\\)

\n
Sposób 1 - Rozkład na czynniki
\n

\\(3x-x^{2} = x(3-x)\\). Nierówność: \\(x(3-x)\\ge 0\\).
Miejsca zerowe: \\(x=0\\), \\(x=3\\).
Trójmian \\(-x^{2}+3x\\) ma współczynnik przy \\(x^{2}\\) ujemny, więc parabola skierowana ramionami w dół. Wartości nieujemne (\\(\\ge 0\\)) znajdują się między miejscami zerowymi:
\\[x\\in \\langle 0, 3\\rangle.\\]

\n
Sposób 2 - Wyróżnik
\n

\\(-x^{2}+3x\\ge 0\\). Rozwiązujemy \\(-x^{2}+3x=0\\):
\\[\\Delta = 9 - 4\\cdot(-1)\\cdot 0 = 9.\\]
\\[x_{1} = \\dfrac{-3-3}{-2}=3,\\quad x_{2}=\\dfrac{-3+3}{-2}=0.\\]
Parabola w dół - nieujemna na \\([0, 3]\\).

\n
Sposób 3 - Szkic paraboli
\n

Wykres \\(f(x)=-x^{2}+3x\\): parabola skierowana w dół, przecina oś \\(Ox\\) w \\(0\\) i \\(3\\). \\(f(x)\\ge 0\\) dla \\(x\\in [0, 3]\\).

\n
CKE - przyznawanie punktów
\n\n

Pamiętaj: dla paraboli w dół (\\(a<0\\)) wartości \\(\\ge 0\\) są MIĘDZY miejscami zerowymi.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\langle 0, 3 \\rangle$

"}]}