{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n12\n72\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n12\nRozwiąż równanie x^3-6x^2-12x+72 = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n12\n72\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nI sposób rozwiązania (metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania\nwyrazów:\n\n\n\n\n2\n2\n12\n6\n12\n0\nx x\nx\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n\n2\n6\n12\n6\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n2\n6\n12\n0\nx\nx\n\n\n\nStąd\n6\nx \nlub\n2 3\nx \nlub\n2 3\nx \nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze lewa stronę równania w postaci iloczynu, np. \n\n\n2\n6\n12\nx\nx\n\n\n,\n\n\n\n\n6\n12\n12\nx\nx\nx\n\n\n\n, przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\n3\nx\n0\n4\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n6\nx \nlub\n2 3\nx \nlub\n2 3\nx \nII sposób rozwiązania (metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 6 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n6\n12\n72\nx\nx\nx\n\n\n\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n6\n12\n72\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n6\nx \n. Otrzymujemy iloraz \n\n2\n12\nx \nZapisujemy równanie w postaci \n\n\n2\n6\n12\n0\nx\nx\n\n\n\n. Stąd \n\n\n\n6\n2 3\n2 3\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nzatem\n6\nx \nlub\n12\nx \nlub\n12\nx \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy podzieli wielomian\n3\n2\n6\n12\n72\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n6\nx \n, otrzyma iloraz \n\n2\n12\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n6\nx \nlub\n12\nx \nlub\n12\nx ","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 6\\), \\(x = 2\\sqrt{3}\\), \\(x = -2\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\n**Zauważamy**, że wielomian można zgrupować tak, by wyciągnąć wspólny czynnik:\n\n\\[x^3 - 6x^2 - 12x + 72 = 0\\]\n\nGrupujemy parami:\n\\[(x^3 - 6x^2) + (-12x + 72) = 0\\]\n\nZ każdej grupy wyciągamy wspólny czynnik:\n\\[x^2(x - 6) - 12(x - 6) = 0\\]\n\nTeraz wyciągamy wspólny czynnik \\((x - 6)\\):\n\\[(x - 6)(x^2 - 12) = 0\\]\n\nIloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem - rozpatrujemy dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:**\n\\[x - 6 = 0 \\implies \\boxed{x = 6}\\]\n\n**Przypadek 2:**\n\\[x^2 - 12 = 0 \\implies x^2 = 12 \\implies x = \\pm\\sqrt{12} = \\pm 2\\sqrt{3}\\]\n\n\\[\\boxed{x = 2\\sqrt{3} \\approx 3{,}46} \\quad \\text{lub} \\quad \\boxed{x = -2\\sqrt{3} \\approx -3{,}46}\\]\n\n**Odpowiedź:** równanie ma trzy rozwiązania: \\(x_1 = -2\\sqrt{3}\\), \\(x_2 = 2\\sqrt{3}\\), \\(x_3 = 6\\).\n\n## Sposób 2 - Schemat Hornera (szukanie pierwiastka wymiernego)\n\nJeśli nie widzimy grupowania, szukamy pierwiastka wymiernego. Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych: ewentualne całkowite pierwiastki to dzielniki wyrazu wolnego \\(72\\), czyli: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 4, \\pm 6, \\pm 8, \\pm 9, \\pm 12, \\ldots\\)\n\nSprawdzamy \\(x = 6\\) schematem Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-6\\) | \\(-12\\) | \\(72\\) |\n| \\(x=6\\) | \\(1\\) | \\(1\\cdot6-6=0\\) | \\(0\\cdot6-12=-12\\) | \\(-12\\cdot6+72=0\\) ✓ |\n\nWynik: \\(x^3 - 6x^2 - 12x + 72 = (x-6)(x^2 + 0x - 12) = (x-6)(x^2 - 12)\\)\n\nDalej - tak samo jak w Sposobie 1:\n\\[x^2 - 12 = 0 \\implies x = \\pm 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Weryfikacja** - podstawiamy \\(x = 6\\):\n\\[6^3 - 6 \\cdot 6^2 - 12 \\cdot 6 + 72 = 216 - 216 - 72 + 72 = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą techniki algebraiczne (grupowanie, schemat Hornera) i własności pierwiastków kwadratowych z działu **2. Potęgi i pierwiastki (s. 4-5)**:\n\n\\[\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nczyli upraszczamy \\(\\sqrt{12}\\) korzystając z własności \\(\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Grupowanie wyrazów wymaga uważnego doboru par - tu kluczowe jest spostrzeżenie, że \\(-12 \\cdot (-6) = +72\\), co pozwala wyciągnąć \\(-12\\) przed \\((x-6)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{12}\\) - typowy błąd to zostawienie wyniku jako \\(\\sqrt{12}\\) zamiast uprościć do \\(2\\sqrt{3}\\). Na maturze zawsze upraszczaj pierwiastki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie sześcienne ma zawsze **co najmniej jedno** rozwiązanie rzeczywiste (może mieć 1 lub 3). Nie przerywaj po znalezieniu \\(x = 6\\) - drugi czynnik \\(x^2 - 12\\) daje jeszcze dwa rozwiązania!\n\n**Rozwiązania: \\(x=6\\), \\(x=-2\\sqrt{3}\\), \\(x=2\\sqrt{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\nGrupujemy wyrazy:\n\\[x^{3}-6x^{2}-12x+72 = x^{2}(x-6) - 12(x-6) = (x-6)(x^{2}-12).\\]\nRównanie: \\((x-6)(x^{2}-12)=0\\), więc:\n- \\(x-6=0 \\Rightarrow x=6\\),\n- \\(x^{2}-12=0 \\Rightarrow x^{2}=12 \\Rightarrow x=\\pm \\sqrt{12}=\\pm 2\\sqrt{3}\\).\n\nRozwiązania: \\(x\\in\\{6, -2\\sqrt{3}, 2\\sqrt{3}\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Pierwiastek wymierny i dzielenie wielomianu\nPróbujemy dzielniki wyrazu wolnego \\(72\\). \\(x=6\\): \\(216-216-72+72=0\\) ✓.\nDzielimy \\(x^{3}-6x^{2}-12x+72\\) przez \\((x-6)\\): iloraz \\(x^{2}-12\\).\nDalej \\(x^{2}-12=0 \\Rightarrow x=\\pm 2\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 3 - Pełny rozkład\n\\(x^{2}-12 = (x-2\\sqrt{3})(x+2\\sqrt{3})\\) (różnica kwadratów).\nZatem: \\((x-6)(x-2\\sqrt{3})(x+2\\sqrt{3})=0\\).\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za poprawny rozkład na iloczyn \\((x-6)(x^{2}-12)\\),\n- **2 pkt** za wszystkie trzy rozwiązania: \\(x=6, x=-2\\sqrt{3}, x=2\\sqrt{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** przy grupowaniu szukamy wspólnego czynnika w dwóch parach wyrazów - tu \\((x-6)\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
6
12
72
0
x
x
x




Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
12
Rozwiąż równanie x^3-6x^2-12x+72 = 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
6
12
72
0
x
x
x




I sposób rozwiązania (metoda grupowania)
Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania
wyrazów:




2
2
12
6
12
0
x x
x




lub




2
6
12
6
0
x
x
x







2
6
12
0
x
x



Stąd
6
x 
lub
2 3
x 
lub
2 3
x 
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze lewa stronę równania w postaci iloczynu, np. 


2
6
12
x
x


,




6
12
12
x
x
x



, przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny,
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
3
x
0
4
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
6
x 
lub
2 3
x 
lub
2 3
x 
II sposób rozwiązania (metoda dzielenia)
Stwierdzamy, że liczba 6 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
6
12
72
x
x
x



. Dzielimy
wielomian
3
2
6
12
72
x
x
x



przez dwumian 

6
x 
. Otrzymujemy iloraz 

2
12
x 
Zapisujemy równanie w postaci 


2
6
12
0
x
x



. Stąd 



6
2 3
2 3
0
x
x
x




zatem
6
x 
lub
12
x 
lub
12
x 
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy podzieli wielomian
3
2
6
12
72
x
x
x



przez dwumian 

6
x 
, otrzyma iloraz 

2
12
x 
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
6
x 
lub
12
x 
lub
12
x 

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 6\\), \\(x = 2\\sqrt{3}\\), \\(x = -2\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)

\n

Zauważamy, że wielomian można zgrupować tak, by wyciągnąć wspólny czynnik:

\n

\\[x^3 - 6x^2 - 12x + 72 = 0\\]

\n

Grupujemy parami:
\\[(x^3 - 6x^2) + (-12x + 72) = 0\\]

\n

Z każdej grupy wyciągamy wspólny czynnik:
\\[x^2(x - 6) - 12(x - 6) = 0\\]

\n

Teraz wyciągamy wspólny czynnik \\((x - 6)\\):
\\[(x - 6)(x^2 - 12) = 0\\]

\n

Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem - rozpatrujemy dwa przypadki:

\n

Przypadek 1:
\\[x - 6 = 0 \\implies \\boxed{x = 6}\\]

\n

Przypadek 2:
\\[x^2 - 12 = 0 \\implies x^2 = 12 \\implies x = \\pm\\sqrt{12} = \\pm 2\\sqrt{3}\\]

\n

\\[\\boxed{x = 2\\sqrt{3} \\approx 3{,}46} \\quad \\text{lub} \\quad \\boxed{x = -2\\sqrt{3} \\approx -3{,}46}\\]

\n

Odpowiedź: równanie ma trzy rozwiązania: \\(x_1 = -2\\sqrt{3}\\), \\(x_2 = 2\\sqrt{3}\\), \\(x_3 = 6\\).

\n

Sposób 2 - Schemat Hornera (szukanie pierwiastka wymiernego)

\n

Jeśli nie widzimy grupowania, szukamy pierwiastka wymiernego. Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych: ewentualne całkowite pierwiastki to dzielniki wyrazu wolnego \\(72\\), czyli: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 4, \\pm 6, \\pm 8, \\pm 9, \\pm 12, \\ldots\\)

\n

Sprawdzamy \\(x = 6\\) schematem Hornera:

\n

| | \\(1\\) | \\(-6\\) | \\(-12\\) | \\(72\\) |
| \\(x=6\\) | \\(1\\) | \\(1\\cdot6-6=0\\) | \\(0\\cdot6-12=-12\\) | \\(-12\\cdot6+72=0\\) ✓ |

\n

Wynik: \\(x^3 - 6x^2 - 12x + 72 = (x-6)(x^2 + 0x - 12) = (x-6)(x^2 - 12)\\)

\n

Dalej - tak samo jak w Sposobie 1:
\\[x^2 - 12 = 0 \\implies x = \\pm 2\\sqrt{3}\\]

\n

Weryfikacja - podstawiamy \\(x = 6\\):
\\[6^3 - 6 \\cdot 6^2 - 12 \\cdot 6 + 72 = 216 - 216 - 72 + 72 = 0 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą techniki algebraiczne (grupowanie, schemat Hornera) i własności pierwiastków kwadratowych z działu 2. Potęgi i pierwiastki (s. 4-5):

\n

\\[\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\]

\n

czyli upraszczamy \\(\\sqrt{12}\\) korzystając z własności \\(\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Grupowanie wyrazów wymaga uważnego doboru par - tu kluczowe jest spostrzeżenie, że \\(-12 \\cdot (-6) = +72\\), co pozwala wyciągnąć \\(-12\\) przed \\((x-6)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{12}\\) - typowy błąd to zostawienie wyniku jako \\(\\sqrt{12}\\) zamiast uprościć do \\(2\\sqrt{3}\\). Na maturze zawsze upraszczaj pierwiastki!
\n
⚠️ Uwaga: Równanie sześcienne ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste (może mieć 1 lub 3). Nie przerywaj po znalezieniu \\(x = 6\\) - drugi czynnik \\(x^2 - 12\\) daje jeszcze dwa rozwiązania!
\n

Rozwiązania: \\(x=6\\), \\(x=-2\\sqrt{3}\\), \\(x=2\\sqrt{3}\\)

\n
Sposób 1 - Metoda grupowania
\n

Grupujemy wyrazy:
\\[x^{3}-6x^{2}-12x+72 = x^{2}(x-6) - 12(x-6) = (x-6)(x^{2}-12).\\]
Równanie: \\((x-6)(x^{2}-12)=0\\), więc:

\n\n

Rozwiązania: \\(x\\in\\{6, -2\\sqrt{3}, 2\\sqrt{3}\\}\\).

\n
Sposób 2 - Pierwiastek wymierny i dzielenie wielomianu
\n

Próbujemy dzielniki wyrazu wolnego \\(72\\). \\(x=6\\): \\(216-216-72+72=0\\) ✓.
Dzielimy \\(x^{3}-6x^{2}-12x+72\\) przez \\((x-6)\\): iloraz \\(x^{2}-12\\).
Dalej \\(x^{2}-12=0 \\Rightarrow x=\\pm 2\\sqrt{3}\\).

\n
Sposób 3 - Pełny rozkład
\n

\\(x^{2}-12 = (x-2\\sqrt{3})(x+2\\sqrt{3})\\) (różnica kwadratów).
Zatem: \\((x-6)(x-2\\sqrt{3})(x+2\\sqrt{3})=0\\).

\n
CKE - przyznawanie punktów
\n\n

Pamiętaj: przy grupowaniu szukamy wspólnego czynnika w dwóch parach wyrazów - tu \\((x-6)\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 6$ lub $x = -2\\sqrt{3}$ lub $x = 2\\sqrt{3}$

"}]}