{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt  jest ostry i tg\n2\n\n. Oblicz sin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\nPoziom podstawowy\n13\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n14\nKąt alfa jest ostry i tg alfa = 2. Oblicz sin alfa - cos alfa / sin alfa + cos alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt  jest ostry i tg\n2\n\n. Oblicz\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\nI sposób rozwiązania\nDzieląc licznik i mianownik ułamka\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\nprzez cos i wykorzystując zależność\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\notrzymujemy\nsin\ncos\nsin\ncos\ntg\n1\n2 1\n1\ncos\ncos\nsin\ncos\nsin\ncos\ntg\n1\n2 1\n3\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nII sposób rozwiązania\nWykorzystując zależność\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\nzapisujemy sin\n2\ncos\n\n\nPrzekształcamy sin\n2cos\n\n\n\n, podstawiamy do wyrażenia\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\ni wyznaczamy jego\nwartość:\nsin\ncos\n2cos\ncos\ncos\n1\nsin\ncos\n2cos\ncos\n3cos\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n5\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nIII sposób rozwiązania\nWykorzystując zależność\nsin\ntgα\ncos\n\n\n\nzapisujemy sin\n2\ncos\n\n\nPrzekształcamy\nsin\ncos\n2\n\n\n, podstawiamy do wyrażenia\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\ni wyznaczamy jego\nwartość:\nsin\n2sin\nsin\nsin\nsin\ncos\n2sin\nsin\n2\nsin\n1\n2\n2\nsin\n2sin\nsin\nsin\ncos\n2\n2sin\nsin\n3sin\n3\nsin\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nIV sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny, zaznaczamy kąt  i wprowadzamy oznaczenia.\nKorzystając z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym,\nzapisujemy\n2\nsin\nc\n\n,\nc\n1\ncos\n\n\nPodstawiając\n\nsin\ni\n\ncos\n, wyznaczamy wartość wyrażenia\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\n:\n2\n1\n2 1\nsin\ncos\n1\n2\n1\n2 1\nsin\ncos\n3\nc\nc\nc\nc\nc\nc\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n\npodzieli licznik i mianownik ułamka\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\nprzez cos, zapisze ten ułamek\nw postaci tg\n1\ntg\n1\n\n\n\n i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n\nzapisze zależność sin\n2cos\n\n\n\n, doprowadzi ułamek do postaci 2cos\ncos\n2cos\ncos\n\n\n\n\n\n\ni na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n\nzapisze zależność\nsin\ncos\n2\n\n\n, doprowadzi ułamek do postaci\nsin\nsin\n2\nsin\nsin\n2\n\n\n\n\n\n\ni na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy\n\n1\n2\nc\n6\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nalbo\n obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych\ndługości 1 i 2 (nawet z błędem rachunkowym) oraz zapisze\n2\nsin\nc\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych\ndługości 1 i 2 (nawet z błędem rachunkowym) oraz zapisze\n1\ncos\nc\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy\nalbo\n narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1 i 2, obliczy długość\nprzeciwprostokątnej, zaznaczy w tym trójkącie poprawnie kąt  i obliczy sinus lub\ncosinus tego kąta, i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie wyznaczy wartość wyrażenia\n\n\n\n\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\n: 1\n3 .\nUwagi\n1. Jeśli zdający przyjmie, że sin\n2\n\ni\n1\ncos\n\n\n, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Wszystkie rozwiązania, w których zdający błędnie zaznaczy kąt \nna przedstawionym przez siebie rysunku i z tego korzysta oceniamy na 0 punktów.\n3. Jeśli zdający odczyta z tablic wartość kąta, dla którego tg\n2\n\n:\n63\n\noraz zapisze\nsin63\n0,8910\n\nlub cos63\n0,4540\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to\notrzymuje 1 punkt.\n4. Jeśli zdający odczyta z tablic wartość kąta, dla którego tg\n2\n\n:\n63\n\noraz\nzapisze sin63\n0,8910\n\nlub cos63\n0,4540\n\ni obliczy wartość wyrażenia\nsin\ncos\n0,3249\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeśli zdający odczyta z tablic wartość kąta, dla którego tg\n2\n\n:\n64\n\noraz\nzapisze sin64\n0,8988\n\nlub cos64\n0,4384\n\ni obliczy wartość wyrażenia\nsin\ncos\n0,3443\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Podzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\)\n\n**Kluczowa obserwacja:** W ułamku mamy \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) - jeśli podzielimy wszystko przez \\(\\cos\\alpha\\), pojawi się tangent, który znamy.\n\nDla \\(\\alpha\\) ostrego zachodzi \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\), więc możemy podzielić licznik i mianownik przez \\(\\cos\\alpha\\):\n\n\\[\n\\frac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha}\n= \\frac{\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} - \\dfrac{\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha}}{\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\dfrac{\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha}}\n= \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha - 1}{\\operatorname{tg}\\alpha + 1}\n\\]\n\nWstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\):\n\n\\[\n\\frac{2 - 1}{2 + 1} = \\frac{1}{3}\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) wprost\n\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\) wynika \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\n\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\n\\]\n\\[\n(2\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\n\\]\n\\[\n4\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\n\\]\n\\[\n5\\cos^2\\alpha = 1 \\implies \\cos\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\n\\]\n\n(dodatnie, bo \\(\\alpha\\) ostry), zatem:\n\n\\[\n\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{5}}\n\\]\n\nWstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[\n\\frac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha}\n= \\frac{\\dfrac{2}{\\sqrt{5}} - \\dfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\dfrac{2}{\\sqrt{5}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{5}}}\n= \\frac{\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\dfrac{3}{\\sqrt{5}}}\n= \\frac{1}{3}\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) ze znajomości tangensu.\n\nDefinicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 1 - po podzieleniu licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\) od razu pojawiło się \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wyliczaj od razu \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) z głowy - tg α = 2 nie jest kątem z tablicy wartości. Sposób 1 (dzielenie przez \\(\\cos\\alpha\\)) jest tu **znacznie szybszy**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez \\(\\cos\\alpha\\) musisz sprawdzić, że \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\). Dla kąta ostrego to zawsze prawda, ale warto o tym pamiętać w ogólnym przypadku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 łatwo o błąd znaku przy wyciąganiu pierwiastka z \\(\\cos^2\\alpha\\). Skoro \\(\\alpha\\) jest ostry (I ćwiartka), **oba** \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) są dodatnie - bierzemy \\(+\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\), nie \\(-\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\).\n\n**Wartość wyrażenia: \\(\\dfrac{1}{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Dzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\)\nDzielimy licznik i mianownik przez \\(\\cos\\alpha\\):\n\\[\\dfrac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha} = \\dfrac{\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} - 1}{\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 1} = \\dfrac{\\operatorname{tg}\\alpha - 1}{\\operatorname{tg}\\alpha + 1} = \\dfrac{2-1}{2+1} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{2}{1}\\): przyprostokątna naprzeciw = \\(2\\), przyprostokątna przyległa = \\(1\\).\nPrzeciwprostokątna: \\(c = \\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\\sqrt{5}\\).\n\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{5}}\\), \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{\\sqrt{5}}\\).\n\\[\\dfrac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha} = \\dfrac{\\tfrac{2}{\\sqrt{5}} - \\tfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\tfrac{2}{\\sqrt{5}} + \\tfrac{1}{\\sqrt{5}}} = \\dfrac{\\tfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\tfrac{3}{\\sqrt{5}}} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 3 - Zależność \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\)\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha=2\\): \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\). Podstawiamy:\n\\[\\dfrac{2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha}{2\\cos\\alpha + \\cos\\alpha} = \\dfrac{\\cos\\alpha}{3\\cos\\alpha} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za podzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\) lub użycie \\(\\sin\\alpha=2\\cos\\alpha\\),\n- **2 pkt** za wynik \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** dzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\) pozwala wyrazić wszystko przez \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 28. (2 pkt)<br>Kąt  jest ostry i tg<br>2<br><br>. Oblicz sin<br>cos<br>sin<br>cos<br><br><br><br><br><br></p>\n<p>Poziom podstawowy<br>13<br>Odpowiedź:</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>14<br>Kąt alfa jest ostry i tg alfa = 2. Oblicz sin alfa - cos alfa / sin alfa + cos alfa.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 28. (2 pkt)<br>Kąt  jest ostry i tg<br>2<br><br>. Oblicz<br><br><br><br><br>cos<br>sin<br>cos<br>sin<br><br><br>I sposób rozwiązania<br>Dzieląc licznik i mianownik ułamka<br><br><br><br><br>cos<br>sin<br>cos<br>sin<br><br><br>przez cos i wykorzystując zależność<br>sin<br>tg<br>cos<br><br><br><br><br>otrzymujemy<br>sin<br>cos<br>sin<br>cos<br>tg<br>1<br>2 1<br>1<br>cos<br>cos<br>sin<br>cos<br>sin<br>cos<br>tg<br>1<br>2 1<br>3<br>cos<br>cos<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>II sposób rozwiązania<br>Wykorzystując zależność<br>sin<br>tg<br>cos<br><br><br><br><br>zapisujemy sin<br>2<br>cos<br><br><br>Przekształcamy sin<br>2cos<br><br><br><br>, podstawiamy do wyrażenia<br><br><br><br><br>cos<br>sin<br>cos<br>sin<br><br><br>i wyznaczamy jego<br>wartość:<br>sin<br>cos<br>2cos<br>cos<br>cos<br>1<br>sin<br>cos<br>2cos<br>cos<br>3cos<br>3<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>5<br>Schemat oceniania sierpień<br>Poziom podstawowy<br>III sposób rozwiązania<br>Wykorzystując zależność<br>sin<br>tgα<br>cos<br><br><br><br>zapisujemy sin<br>2<br>cos<br><br><br>Przekształcamy<br>sin<br>cos<br>2<br><br><br>, podstawiamy do wyrażenia<br><br><br><br><br>cos<br>sin<br>cos<br>sin<br><br><br>i wyznaczamy jego<br>wartość:<br>sin<br>2sin<br>sin<br>sin<br>sin<br>cos<br>2sin<br>sin<br>2<br>sin<br>1<br>2<br>2<br>sin<br>2sin<br>sin<br>sin<br>cos<br>2<br>2sin<br>sin<br>3sin<br>3<br>sin<br>2<br>2<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>IV sposób rozwiązania<br>Rysujemy trójkąt prostokątny, zaznaczamy kąt  i wprowadzamy oznaczenia.<br>Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym,<br>zapisujemy<br>2<br>sin<br>c<br><br>,<br>c<br>1<br>cos<br><br><br>Podstawiając<br><br>sin<br>i<br><br>cos<br>, wyznaczamy wartość wyrażenia<br><br><br><br><br>cos<br>sin<br>cos<br>sin<br><br><br>:<br>2<br>1<br>2 1<br>sin<br>cos<br>1<br>2<br>1<br>2 1<br>sin<br>cos<br>3<br>c<br>c<br>c<br>c<br>c<br>c<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>Schemat oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania<br>Zdający otrzymuje 1 pkt<br>gdy<br><br>podzieli licznik i mianownik ułamka<br><br><br><br><br>cos<br>sin<br>cos<br>sin<br><br><br>przez cos, zapisze ten ułamek<br>w postaci tg<br>1<br>tg<br>1<br><br><br><br> i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy<br>albo<br><br>zapisze zależność sin<br>2cos<br><br><br><br>, doprowadzi ułamek do postaci 2cos<br>cos<br>2cos<br>cos<br><br><br><br><br><br><br>i na<br>tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy<br>albo<br><br>zapisze zależność<br>sin<br>cos<br>2<br><br><br>, doprowadzi ułamek do postaci<br>sin<br>sin<br>2<br>sin<br>sin<br>2<br><br><br><br><br><br><br>i na<br>tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy<br><br>1<br>2<br>c<br>6<br>Schemat oceniania sierpień<br>Poziom podstawowy<br>albo<br> obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych<br>długości 1 i 2 (nawet z błędem rachunkowym) oraz zapisze<br>2<br>sin<br>c<br><br>i na tym<br>poprzestanie lub dalej popełnia błędy<br>albo<br> obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych<br>długości 1 i 2 (nawet z błędem rachunkowym) oraz zapisze<br>1<br>cos<br>c<br><br>i na tym<br>poprzestanie lub dalej popełnia błędy<br>albo<br> narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1 i 2, obliczy długość<br>przeciwprostokątnej, zaznaczy w tym trójkącie poprawnie kąt  i obliczy sinus lub<br>cosinus tego kąta, i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt<br>gdy poprawnie wyznaczy wartość wyrażenia<br><br><br><br><br>cos<br>sin<br>cos<br>sin<br><br><br>: 1<br>3 .<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przyjmie, że sin</li></ol>\n<p>2<br><br>i<br>1<br>cos<br><br><br>, to otrzymuje 0 punktów.</p>\n<ol><li>Wszystkie rozwiązania, w których zdający błędnie zaznaczy kąt </li></ol>\n<p>na przedstawionym przez siebie rysunku i z tego korzysta oceniamy na 0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający odczyta z tablic wartość kąta, dla którego tg</li></ol>\n<p>2<br><br>:<br>63<br><br>oraz zapisze<br>sin63<br>0,8910<br><br>lub cos63<br>0,4540<br><br>i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to<br>otrzymuje 1 punkt.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający odczyta z tablic wartość kąta, dla którego tg</li></ol>\n<p>2<br><br>:<br>63<br><br>oraz<br>zapisze sin63<br>0,8910<br><br>lub cos63<br>0,4540<br><br>i obliczy wartość wyrażenia<br>sin<br>cos<br>0,3249<br>sin<br>cos<br><br><br><br><br><br><br><br>, to otrzymuje 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający odczyta z tablic wartość kąta, dla którego tg</li></ol>\n<p>2<br><br>:<br>64<br><br>oraz<br>zapisze sin64<br>0,8988<br><br>lub cos64<br>0,4384<br><br>i obliczy wartość wyrażenia<br>sin<br>cos<br>0,3443<br>sin<br>cos<br><br><br><br><br><br><br><br>, to otrzymuje 2 punkty.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\)</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> W ułamku mamy \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) - jeśli podzielimy wszystko przez \\(\\cos\\alpha\\), pojawi się tangent, który znamy.</p>\n<p>Dla \\(\\alpha\\) ostrego zachodzi \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\), więc możemy podzielić licznik i mianownik przez \\(\\cos\\alpha\\):</p>\n<p>\\[<br>\\frac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha}<br>= \\frac{\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} - \\dfrac{\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha}}{\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\dfrac{\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha}}<br>= \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha - 1}{\\operatorname{tg}\\alpha + 1}<br>\\]</p>\n<p>Wstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\):</p>\n<p>\\[<br>\\frac{2 - 1}{2 + 1} = \\frac{1}{3}<br>\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) wprost</h4>\n<p>Z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\) wynika \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:</p>\n<p>\\[<br>\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1<br>\\]<br>\\[<br>(2\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1<br>\\]<br>\\[<br>4\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1<br>\\]<br>\\[<br>5\\cos^2\\alpha = 1 \\implies \\cos\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{5}}<br>\\]</p>\n<p>(dodatnie, bo \\(\\alpha\\) ostry), zatem:</p>\n<p>\\[<br>\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{5}}<br>\\]</p>\n<p>Wstawiamy do wyrażenia:</p>\n<p>\\[<br>\\frac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha}<br>= \\frac{\\dfrac{2}{\\sqrt{5}} - \\dfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\dfrac{2}{\\sqrt{5}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{5}}}<br>= \\frac{\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\dfrac{3}{\\sqrt{5}}}<br>= \\frac{1}{3}<br>\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)</strong> - zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong></p>\n<p>Jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) ze znajomości tangensu.</p>\n<p>Definicja tangensa:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]<br>Kluczowy wzór w Sposobie 1 - po podzieleniu licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\) od razu pojawiło się \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wyliczaj od razu \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) z głowy - tg α = 2 nie jest kątem z tablicy wartości. Sposób 1 (dzielenie przez \\(\\cos\\alpha\\)) jest tu <strong>znacznie szybszy</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dzieleniu przez \\(\\cos\\alpha\\) musisz sprawdzić, że \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\). Dla kąta ostrego to zawsze prawda, ale warto o tym pamiętać w ogólnym przypadku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 łatwo o błąd znaku przy wyciąganiu pierwiastka z \\(\\cos^2\\alpha\\). Skoro \\(\\alpha\\) jest ostry (I ćwiartka), <strong>oba</strong> \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) są dodatnie - bierzemy \\(+\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\), nie \\(-\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\).</blockquote>\n<p><strong>Wartość wyrażenia: \\(\\dfrac{1}{3}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Dzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\)</h5>\n<p>Dzielimy licznik i mianownik przez \\(\\cos\\alpha\\):<br>\\[\\dfrac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha} = \\dfrac{\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} - 1}{\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 1} = \\dfrac{\\operatorname{tg}\\alpha - 1}{\\operatorname{tg}\\alpha + 1} = \\dfrac{2-1}{2+1} = \\dfrac{1}{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt prostokątny</h5>\n<p>Z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{2}{1}\\): przyprostokątna naprzeciw = \\(2\\), przyprostokątna przyległa = \\(1\\).<br>Przeciwprostokątna: \\(c = \\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\\sqrt{5}\\).<br>\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{5}}\\), \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{\\sqrt{5}}\\).<br>\\[\\dfrac{\\sin\\alpha - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha + \\cos\\alpha} = \\dfrac{\\tfrac{2}{\\sqrt{5}} - \\tfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\tfrac{2}{\\sqrt{5}} + \\tfrac{1}{\\sqrt{5}}} = \\dfrac{\\tfrac{1}{\\sqrt{5}}}{\\tfrac{3}{\\sqrt{5}}} = \\dfrac{1}{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 3 - Zależność \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\)</h5>\n<p>Z \\(\\operatorname{tg}\\alpha=2\\): \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\). Podstawiamy:<br>\\[\\dfrac{2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha}{2\\cos\\alpha + \\cos\\alpha} = \\dfrac{\\cos\\alpha}{3\\cos\\alpha} = \\dfrac{1}{3}.\\]</p>\n<h5>CKE - przyznawanie punktów</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> za podzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\) lub użycie \\(\\sin\\alpha=2\\cos\\alpha\\),</li><li><strong>2 pkt</strong> za wynik \\(\\tfrac{1}{3}\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> dzielenie licznika i mianownika przez \\(\\cos\\alpha\\) pozwala wyrazić wszystko przez \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\dfrac{1}{3}$</p>"}]}