{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nW tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru.\nOcena\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nLiczba ocen\n0\n4\n9\n13\nx\n1\nŚrednia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5)\nz matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.\n\nPoziom podstawowy\n15\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n16\nW tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru. Ocena: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Liczba uczniów: 0, 4, 9, 13, x, 1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nW tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru.\nOcena\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nLiczba ocen\n0\n4\n9\n13\nx\n1\nŚrednia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5) z\nmatematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.\n7\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nRozwiązanie:\nObliczamy średnią arytmetyczną ocen zestawionych w tabeli\n0 1\n4 2\n9 3 13 4\n5 1 6\n0\n4\n9 13\n1\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\nPonieważ ta średnia arytmetyczna jest równa 3,6. Zatem otrzymujemy równanie\n0 1\n4 2\n9 3 13 4\n5 1 6\n3,6\n0\n4\n9 13\n1\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\nStąd otrzymujemy 5\n93\n18\n27\n5\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n5 5\n93\n18\n27\nx\nx\n\n\n\n,\n25\n465\n18\n486\nx\nx\n\n\n\n,\n7\n21\nx \n,\n3\nx .\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zapisze równanie pozwalające obliczyć liczbę ocen bardzo dobrych i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błąd, np.:\n0 1 4 2\n9 3 13 4\n5 1 6\n3,6\n0\n4\n9 13\n1\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\nlub 4 2\n9 3 13 4\n5 1 6\n3,6\n0\n4\n9 13\n1\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nalbo\n zapisze równanie pozwalające obliczyć liczbę ocen bardzo dobrych, ale popełni błąd\nprzy\nprzy przepisywaniu danych.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy liczbę ocen bardzo dobrych: 3.\nUwaga\nJeśli zdający odgadnie, że liczba ocen bardzo dobrych jest równa 3, i sprawdzi to, wykonując\nodpowiednie obliczenia, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 3\\)\n\nLiczba ocen bardzo dobrych (5) wystawionych w klasie 3A wynosi **3**.\n\n## Sposób 1 - Równanie ze średniej arytmetycznej\n\n**Zestawiamy dane z tabeli:**\n\n| Ocena | Liczba uczniów |\n| 1 | 0 |\n| 2 | 4 |\n| 3 | 9 |\n| 4 | 13 |\n| 5 | \\(x\\) |\n| 6 | 1 |\n\n**Krok 1: Wyznaczamy łączną liczbę uczniów.**\n\n\\[n = 0 + 4 + 9 + 13 + x + 1 = 27 + x\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy sumę wszystkich ocen.**\n\nKażdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali:\n\n\\[S = 1 \\cdot 0 + 2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 9 + 4 \\cdot 13 + 5 \\cdot x + 6 \\cdot 1\\]\n\\[S = 0 + 8 + 27 + 52 + 5x + 6 = 93 + 5x\\]\n\n**Krok 3: Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną.**\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{S}{n} = 3{,}6\\]\n\n\\[\\frac{93 + 5x}{27 + x} = 3{,}6\\]\n\n**Krok 4: Rozwiązujemy równanie.**\n\n\\[93 + 5x = 3{,}6 \\cdot (27 + x)\\]\n\\[93 + 5x = 97{,}2 + 3{,}6x\\]\n\\[5x - 3{,}6x = 97{,}2 - 93\\]\n\\[1{,}4x = 4{,}2\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{4{,}2}{1{,}4} = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 3\\) rzeczywiście daje średnią \\(3{,}6\\).\n\nŁączna liczba uczniów:\n\\[n = 27 + 3 = 30\\]\n\nSuma ocen:\n\\[S = 93 + 5 \\cdot 3 = 93 + 15 = 108\\]\n\nŚrednia:\n\\[\\bar{a} = \\frac{108}{30} = 3{,}6 \\checkmark\\]\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nW tym zadaniu mamy dane grupowe (każda ocena powtarza się wielokrotnie), więc stosujemy wzór na **średnią ważoną** (też s. 31):\n\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\n\ngdzie \\(a_i\\) to oceny (1-6), a \\(w_i\\) to liczby uczniów z daną oceną.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl sumy ocen z liczbą uczniów! Suma \\(S = 93 + 5x\\) to iloczyny (ocena × liczba uczniów), a mianownik to łączna liczba uczniów \\(n = 27 + x\\) - obie wartości zależą od \\(x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(3{,}6 \\cdot (27 + x)\\) pamiętaj rozwinąć nawias: \\(3{,}6 \\cdot 27 = 97{,}2\\) i \\(3{,}6 \\cdot x = 3{,}6x\\). Błąd tu daje zupełnie inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ocena 1 ma **0 uczniów** - nie pomijaj jej przy liczeniu, ale też nie dodawaj do sumy (wynik: \\(1 \\cdot 0 = 0\\), nie wpływa na wynik). Jednak nieuwzględnienie jej wcale przy liczeniu \\(n\\) to błąd - tu akurat \\(+0\\) nic nie zmienia, ale warto liczyć systematycznie.\n\n**Liczba ocen bardzo dobrych: \\(x=3\\)**\n\n### Sposób 1 - Równanie ze średnią arytmetyczną\nŚrednia: \\(\\dfrac{\\sum (\\text{ocena}\\cdot \\text{liczba ocen})}{\\sum \\text{liczba ocen}} = 3{,}6.\\)\n\\[\\dfrac{0\\cdot 1 + 4\\cdot 2 + 9\\cdot 3 + 13\\cdot 4 + x\\cdot 5 + 1\\cdot 6}{0+4+9+13+x+1} = 3{,}6.\\]\n\\[\\dfrac{0 + 8 + 27 + 52 + 5x + 6}{27+x} = 3{,}6\\]\n\\[\\dfrac{5x + 93}{x + 27} = 3{,}6 = \\dfrac{18}{5}.\\]\nMnożymy na krzyż:\n\\[5(5x+93) = 18(x+27)\\]\n\\[25x + 465 = 18x + 486\\]\n\\[7x = 21 \\Rightarrow x = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Szacowanie\nBez \\(x\\) suma ocen = \\(93\\), liczba ocen = \\(27\\), średnia \\(\\approx 3{,}44\\). By podnieść do \\(3{,}6\\) potrzeba dodatkowych ocen \\(5\\). Prosty rachunek daje \\(x=3\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie\nDla \\(x=3\\): suma = \\(93+15=108\\), liczba ocen = \\(30\\), średnia = \\(\\tfrac{108}{30}=3{,}6\\) ✓.\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za poprawne równanie ze średnią arytmetyczną,\n- **2 pkt** za obliczenie \\(x=3\\).\n\n**Pamiętaj:** średnia ważona = \\(\\dfrac{\\sum (\\text{wartość}\\cdot \\text{waga})}{\\sum \\text{waga}}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru.
Ocena
1
2
3
4
5
6
Liczba ocen
0
4
9
13
x
1
Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5)
z matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.

\n

Poziom podstawowy
15
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
16
W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru. Ocena: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Liczba uczniów: 0, 4, 9, 13, x, 1.

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru.
Ocena
1
2
3
4
5
6
Liczba ocen
0
4
9
13
x
1
Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5) z
matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.
7
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
Rozwiązanie:
Obliczamy średnią arytmetyczną ocen zestawionych w tabeli
0 1
4 2
9 3 13 4
5 1 6
0
4
9 13
1
x
x








Ponieważ ta średnia arytmetyczna jest równa 3,6. Zatem otrzymujemy równanie
0 1
4 2
9 3 13 4
5 1 6
3,6
0
4
9 13
1
x
x







Stąd otrzymujemy 5
93
18
27
5
x
x







5 5
93
18
27
x
x



,
25
465
18
486
x
x



,
7
21
x 
,
3
x .
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 zapisze równanie pozwalające obliczyć liczbę ocen bardzo dobrych i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błąd, np.:
0 1 4 2
9 3 13 4
5 1 6
3,6
0
4
9 13
1
x
x







lub 4 2
9 3 13 4
5 1 6
3,6
0
4
9 13
1







x
x
albo
 zapisze równanie pozwalające obliczyć liczbę ocen bardzo dobrych, ale popełni błąd
przy
przy przepisywaniu danych.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy liczbę ocen bardzo dobrych: 3.
Uwaga
Jeśli zdający odgadnie, że liczba ocen bardzo dobrych jest równa 3, i sprawdzi to, wykonując
odpowiednie obliczenia, to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 3\\)

\n

Liczba ocen bardzo dobrych (5) wystawionych w klasie 3A wynosi 3.

\n

Sposób 1 - Równanie ze średniej arytmetycznej

\n

Zestawiamy dane z tabeli:

\n

| Ocena | Liczba uczniów |
| 1 | 0 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 13 |
| 5 | \\(x\\) |
| 6 | 1 |

\n

Krok 1: Wyznaczamy łączną liczbę uczniów.

\n

\\[n = 0 + 4 + 9 + 13 + x + 1 = 27 + x\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy sumę wszystkich ocen.

\n

Każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali:

\n

\\[S = 1 \\cdot 0 + 2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 9 + 4 \\cdot 13 + 5 \\cdot x + 6 \\cdot 1\\]
\\[S = 0 + 8 + 27 + 52 + 5x + 6 = 93 + 5x\\]

\n

Krok 3: Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną.

\n

\\[\\bar{a} = \\frac{S}{n} = 3{,}6\\]

\n

\\[\\frac{93 + 5x}{27 + x} = 3{,}6\\]

\n

Krok 4: Rozwiązujemy równanie.

\n

\\[93 + 5x = 3{,}6 \\cdot (27 + x)\\]
\\[93 + 5x = 97{,}2 + 3{,}6x\\]
\\[5x - 3{,}6x = 97{,}2 - 93\\]
\\[1{,}4x = 4{,}2\\]
\\[\\boxed{x = \\frac{4{,}2}{1{,}4} = 3}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy \\(x = 3\\) rzeczywiście daje średnią \\(3{,}6\\).

\n

Łączna liczba uczniów:
\\[n = 27 + 3 = 30\\]

\n

Suma ocen:
\\[S = 93 + 5 \\cdot 3 = 93 + 15 = 108\\]

\n

Średnia:
\\[\\bar{a} = \\frac{108}{30} = 3{,}6 \\checkmark\\]

\n

Wynik jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:

\n

\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]

\n

W tym zadaniu mamy dane grupowe (każda ocena powtarza się wielokrotnie), więc stosujemy wzór na średnią ważoną (też s. 31):

\n

\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]

\n

gdzie \\(a_i\\) to oceny (1-6), a \\(w_i\\) to liczby uczniów z daną oceną.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie pomyl sumy ocen z liczbą uczniów! Suma \\(S = 93 + 5x\\) to iloczyny (ocena × liczba uczniów), a mianownik to łączna liczba uczniów \\(n = 27 + x\\) - obie wartości zależą od \\(x\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu \\(3{,}6 \\cdot (27 + x)\\) pamiętaj rozwinąć nawias: \\(3{,}6 \\cdot 27 = 97{,}2\\) i \\(3{,}6 \\cdot x = 3{,}6x\\). Błąd tu daje zupełnie inny wynik.
\n
⚠️ Uwaga: Ocena 1 ma 0 uczniów - nie pomijaj jej przy liczeniu, ale też nie dodawaj do sumy (wynik: \\(1 \\cdot 0 = 0\\), nie wpływa na wynik). Jednak nieuwzględnienie jej wcale przy liczeniu \\(n\\) to błąd - tu akurat \\(+0\\) nic nie zmienia, ale warto liczyć systematycznie.
\n

Liczba ocen bardzo dobrych: \\(x=3\\)

\n
Sposób 1 - Równanie ze średnią arytmetyczną
\n

Średnia: \\(\\dfrac{\\sum (\\text{ocena}\\cdot \\text{liczba ocen})}{\\sum \\text{liczba ocen}} = 3{,}6.\\)
\\[\\dfrac{0\\cdot 1 + 4\\cdot 2 + 9\\cdot 3 + 13\\cdot 4 + x\\cdot 5 + 1\\cdot 6}{0+4+9+13+x+1} = 3{,}6.\\]
\\[\\dfrac{0 + 8 + 27 + 52 + 5x + 6}{27+x} = 3{,}6\\]
\\[\\dfrac{5x + 93}{x + 27} = 3{,}6 = \\dfrac{18}{5}.\\]
Mnożymy na krzyż:
\\[5(5x+93) = 18(x+27)\\]
\\[25x + 465 = 18x + 486\\]
\\[7x = 21 \\Rightarrow x = 3.\\]

\n
Sposób 2 - Szacowanie
\n

Bez \\(x\\) suma ocen = \\(93\\), liczba ocen = \\(27\\), średnia \\(\\approx 3{,}44\\). By podnieść do \\(3{,}6\\) potrzeba dodatkowych ocen \\(5\\). Prosty rachunek daje \\(x=3\\).

\n
Sposób 3 - Sprawdzenie
\n

Dla \\(x=3\\): suma = \\(93+15=108\\), liczba ocen = \\(30\\), średnia = \\(\\tfrac{108}{30}=3{,}6\\) ✓.

\n
CKE - przyznawanie punktów
\n\n

Pamiętaj: średnia ważona = \\(\\dfrac{\\sum (\\text{wartość}\\cdot \\text{waga})}{\\sum \\text{waga}}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 3$

"}]}