{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nUzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i\n1\n3,\n\n\na\na\nto\n2\n2\n1\n7.\na\na\n\n\n\nPoziom podstawowy\n17\n\nPoziom podstawowy\n18\nUzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a + 1/a = 3, to a^2 + 1/a^2 = 7.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nUzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różna od zera i\n1\n3\n\n\na\na\nto\n2\n2\n1\n7.\na\na\n\n\nI sposób rozwiązania\nRówność\n1\n3\n\n\na\na\npodnosimy obustronnie do kwadratu i przekształcamy równoważnie\n2\n2\n1\n1\n2\n9\n\n\n\na\na a\na\n,\n2\n2\n1\n9\n2\n\n\n\na\na\nStąd\n2\n2\n1\n7\n\n\na\na\n8\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy podniesie równość obustronnie do kwadratu:\n1\n3\n\n\na\na\ni na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n2\n2\n1\n\na\na : 7 .\nII sposób rozwiązania\nWyrażenie\n2\n2\n1\n\na\na zapisujemy w postaci\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\na\na\na\na\na .\nZatem\n2\n2\n1\n9\n2\n7\n\n\n\n\na\na\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze zależność między sumą\n2\n2\n1\n\na\na , a kwadratem sumy\n2\n1\n\n\n\n\n\n\n\na\na\ni na tym zakończy\nlub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n2\n2\n1\n\na\na : 7 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a^2 + \\dfrac{1}{a^2} = 7\\)\n\n(Zadanie otwarte - należy to uzasadnić, czyli udowodnić.)\n\n## Sposób 1 - Podniesienie do kwadratu\n\n**Kluczowa obserwacja:** Mamy dany warunek \\(a + \\dfrac{1}{a} = 3\\). Podnosimy obie strony do kwadratu - wtedy naturalnie pojawi się wyrażenie \\(a^2 + \\dfrac{1}{a^2}\\).\n\n**Krok 1.** Podnosimy obie strony równości do kwadratu:\n\n\\[\\left(a + \\frac{1}{a}\\right)^2 = 3^2\\]\n\n**Krok 2.** Rozwijamy lewą stronę wzorem \\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\):\n\n\\[a^2 + 2 \\cdot a \\cdot \\frac{1}{a} + \\frac{1}{a^2} = 9\\]\n\n**Krok 3.** Upraszczamy środkowy składnik (skraca się \\(a\\)):\n\n\\[a^2 + 2 + \\frac{1}{a^2} = 9\\]\n\n**Krok 4.** Odejmujemy \\(2\\) od obu stron:\n\n\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7\\]\n\n**Co należało pokazać. Uzasadnienie jest pełne.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Przez wyznaczenie \\(a^2\\) (metoda algebraiczna wprost)\n\nAlternatywnie można skorzystać z tożsamości wyrażającej \\(a^2 + \\dfrac{1}{a^2}\\) przez różnicę kwadratów i sumę.\n\n**Krok 1.** Zauważamy tożsamość:\n\n\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = \\left(a + \\frac{1}{a}\\right)^2 - 2 \\cdot a \\cdot \\frac{1}{a}\\]\n\nponieważ \\(\\left(a + \\dfrac{1}{a}\\right)^2 = a^2 + 2 + \\dfrac{1}{a^2}\\), skąd:\n\n\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = \\left(a + \\frac{1}{a}\\right)^2 - 2\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(a + \\dfrac{1}{a} = 3\\):\n\n\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7\\]\n\nTo daje gotowy wzór-schemat, który warto zapamiętać. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w obu sposobach, podnosząc \\(\\left(a + \\dfrac{1}{a}\\right)^2\\) do kwadratu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to rozwinięcie \\(\\left(a + \\dfrac{1}{a}\\right)^2 = a^2 + \\dfrac{1}{a^2}\\) - uczniowie zapominają o członie \\(2ab = 2 \\cdot a \\cdot \\dfrac{1}{a} = 2\\). To kluczowy składnik całego dowodu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi \"uzasadnij\" - nie wystarczy napisać wyniku. Trzeba pokazać każdy krok przekształcenia. Egzaminator sprawdza tok rozumowania, nie tylko odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Założenie \\(a \\neq 0\\) jest potrzebne, żeby \\(\\dfrac{1}{a}\\) w ogóle istniało - warto o nim wspomnieć w uzasadnieniu (choć jest podane w treści zadania).\n\n**Dowód:**\n\n### Sposób 1 - Podnoszenie do kwadratu\nRówność \\(a+\\dfrac{1}{a}=3\\) podnosimy obustronnie do kwadratu:\n\\[\\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} = 9.\\]\nKorzystając ze wzoru \\((x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\):\n\\[a^{2} + 2\\cdot a\\cdot \\dfrac{1}{a} + \\dfrac{1}{a^{2}} = 9\\]\n\\[a^{2} + 2 + \\dfrac{1}{a^{2}} = 9\\]\n\\[a^{2} + \\dfrac{1}{a^{2}} = 9 - 2 = 7. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Poprzez rozkład\nZapisujemy:\n\\[a^{2}+\\dfrac{1}{a^{2}} = \\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} - 2\\cdot a\\cdot \\dfrac{1}{a} = \\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} - 2.\\]\nPodstawiamy \\(a+\\dfrac{1}{a}=3\\):\n\\[a^{2}+\\dfrac{1}{a^{2}} = 3^{2} - 2 = 9 - 2 = 7. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja numeryczna\nRówność \\(a+\\dfrac{1}{a}=3\\) daje \\(a^{2}-3a+1=0\\), stąd \\(a = \\dfrac{3\\pm\\sqrt{5}}{2}\\).\nDla \\(a = \\tfrac{3+\\sqrt{5}}{2}\\): \\(a^{2} = \\tfrac{9+6\\sqrt{5}+5}{4}=\\tfrac{14+6\\sqrt{5}}{4}=\\tfrac{7+3\\sqrt{5}}{2}\\), \\(\\tfrac{1}{a^{2}}=\\tfrac{7-3\\sqrt{5}}{2}\\). Suma: \\(\\tfrac{14}{2}=7\\) ✓.\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za podniesienie równania do kwadratu lub zapisanie zależności między \\(a^{2}+\\tfrac{1}{a^{2}}\\) a \\((a+\\tfrac{1}{a})^{2}\\),\n- **2 pkt** za obliczenie \\(a^{2}+\\tfrac{1}{a^{2}}=7\\).\n\n**Trik:** \\(a^{2}+\\dfrac{1}{a^{2}} = \\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} - 2\\) - użyteczna tożsamość.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"algebra","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Uzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i
1
3,


a
a
to
2
2
1
7.
a
a

\n

Poziom podstawowy
17

\n

Poziom podstawowy
18
Uzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a + 1/a = 3, to a^2 + 1/a^2 = 7.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Uzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różna od zera i
1
3


a
a
to
2
2
1
7.
a
a


I sposób rozwiązania
Równość
1
3


a
a
podnosimy obustronnie do kwadratu i przekształcamy równoważnie
2
2
1
1
2
9



a
a a
a
,
2
2
1
9
2



a
a
Stąd
2
2
1
7


a
a
8
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy podniesie równość obustronnie do kwadratu:
1
3


a
a
i na tym zakończy lub dalej
popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy wartość wyrażenia
2
2
1

a
a : 7 .
II sposób rozwiązania
Wyrażenie
2
2
1

a
a zapisujemy w postaci
2
2
2
1
1
1
2










a
a
a
a
a
a .
Zatem
2
2
1
9
2
7




a
a
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze zależność między sumą
2
2
1

a
a , a kwadratem sumy
2
1







a
a
i na tym zakończy
lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy wartość wyrażenia
2
2
1

a
a : 7 .

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a^2 + \\dfrac{1}{a^2} = 7\\)

\n

(Zadanie otwarte - należy to uzasadnić, czyli udowodnić.)

\n

Sposób 1 - Podniesienie do kwadratu

\n

Kluczowa obserwacja: Mamy dany warunek \\(a + \\dfrac{1}{a} = 3\\). Podnosimy obie strony do kwadratu - wtedy naturalnie pojawi się wyrażenie \\(a^2 + \\dfrac{1}{a^2}\\).

\n

Krok 1. Podnosimy obie strony równości do kwadratu:

\n

\\[\\left(a + \\frac{1}{a}\\right)^2 = 3^2\\]

\n

Krok 2. Rozwijamy lewą stronę wzorem \\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\):

\n

\\[a^2 + 2 \\cdot a \\cdot \\frac{1}{a} + \\frac{1}{a^2} = 9\\]

\n

Krok 3. Upraszczamy środkowy składnik (skraca się \\(a\\)):

\n

\\[a^2 + 2 + \\frac{1}{a^2} = 9\\]

\n

Krok 4. Odejmujemy \\(2\\) od obu stron:

\n

\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7\\]

\n

Co należało pokazać. Uzasadnienie jest pełne. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Przez wyznaczenie \\(a^2\\) (metoda algebraiczna wprost)

\n

Alternatywnie można skorzystać z tożsamości wyrażającej \\(a^2 + \\dfrac{1}{a^2}\\) przez różnicę kwadratów i sumę.

\n

Krok 1. Zauważamy tożsamość:

\n

\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = \\left(a + \\frac{1}{a}\\right)^2 - 2 \\cdot a \\cdot \\frac{1}{a}\\]

\n

ponieważ \\(\\left(a + \\dfrac{1}{a}\\right)^2 = a^2 + 2 + \\dfrac{1}{a^2}\\), skąd:

\n

\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = \\left(a + \\frac{1}{a}\\right)^2 - 2\\]

\n

Krok 2. Podstawiamy \\(a + \\dfrac{1}{a} = 3\\):

\n

\\[a^2 + \\frac{1}{a^2} = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7\\]

\n

To daje gotowy wzór-schemat, który warto zapamiętać. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na kwadrat sumy:
\\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyliśmy go w obu sposobach, podnosząc \\(\\left(a + \\dfrac{1}{a}\\right)^2\\) do kwadratu.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to rozwinięcie \\(\\left(a + \\dfrac{1}{a}\\right)^2 = a^2 + \\dfrac{1}{a^2}\\) - uczniowie zapominają o członie \\(2ab = 2 \\cdot a \\cdot \\dfrac{1}{a} = 2\\). To kluczowy składnik całego dowodu!
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi "uzasadnij" - nie wystarczy napisać wyniku. Trzeba pokazać każdy krok przekształcenia. Egzaminator sprawdza tok rozumowania, nie tylko odpowiedź.
\n
⚠️ Uwaga: Założenie \\(a \\neq 0\\) jest potrzebne, żeby \\(\\dfrac{1}{a}\\) w ogóle istniało - warto o nim wspomnieć w uzasadnieniu (choć jest podane w treści zadania).
\n

Dowód:

\n
Sposób 1 - Podnoszenie do kwadratu
\n

Równość \\(a+\\dfrac{1}{a}=3\\) podnosimy obustronnie do kwadratu:
\\[\\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} = 9.\\]
Korzystając ze wzoru \\((x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\):
\\[a^{2} + 2\\cdot a\\cdot \\dfrac{1}{a} + \\dfrac{1}{a^{2}} = 9\\]
\\[a^{2} + 2 + \\dfrac{1}{a^{2}} = 9\\]
\\[a^{2} + \\dfrac{1}{a^{2}} = 9 - 2 = 7. \\quad \\blacksquare\\]

\n
Sposób 2 - Poprzez rozkład
\n

Zapisujemy:
\\[a^{2}+\\dfrac{1}{a^{2}} = \\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} - 2\\cdot a\\cdot \\dfrac{1}{a} = \\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} - 2.\\]
Podstawiamy \\(a+\\dfrac{1}{a}=3\\):
\\[a^{2}+\\dfrac{1}{a^{2}} = 3^{2} - 2 = 9 - 2 = 7. \\quad \\blacksquare\\]

\n
Sposób 3 - Weryfikacja numeryczna
\n

Równość \\(a+\\dfrac{1}{a}=3\\) daje \\(a^{2}-3a+1=0\\), stąd \\(a = \\dfrac{3\\pm\\sqrt{5}}{2}\\).
Dla \\(a = \\tfrac{3+\\sqrt{5}}{2}\\): \\(a^{2} = \\tfrac{9+6\\sqrt{5}+5}{4}=\\tfrac{14+6\\sqrt{5}}{4}=\\tfrac{7+3\\sqrt{5}}{2}\\), \\(\\tfrac{1}{a^{2}}=\\tfrac{7-3\\sqrt{5}}{2}\\). Suma: \\(\\tfrac{14}{2}=7\\) ✓.

\n
CKE - przyznawanie punktów
\n\n

Trik: \\(a^{2}+\\dfrac{1}{a^{2}} = \\left(a+\\dfrac{1}{a}\\right)^{2} - 2\\) - użyteczna tożsamość.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Uzasadnienie.

"}]}