{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDługość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość\nprzekątnej tego sześcianu.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n20\nDługość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDługość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość\nprzekątnej tego sześcianu.\nI sposób rozwiązania\nSporządzamy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia:\na - długość krawędzi sześcianu,\n1d - długość przekątnej podstawy sześcianu,\nd - długość przekątnej sześcianu.\na\nd\nd1\n9\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nStosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy:\n2\n1\n2\n2\nd\na\na\n\n\noraz\n2\n2\n1\n2\nd\nd\na\n\n\nStąd\n3\na\nd \nlub\nd\na\n3\n3\n\nPonieważ\n2\n\na\nd\nrozwiązujemy równanie:\n\n2\n3\n3\n\n\nd\nd\ni otrzymujemy\n3\n3\n6\n\n\nd\nlub\n3\n3\n\nd\nalbo\n\n2\n3\n\na\na\ni otrzymujemy\n1\n3\n2\n\n\na\nlub\n3\n1\n\na\nWyznaczamy długość przekątnej sześcianu:\n3\n3\n\nd\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie pozwalające obliczyć długość przekątnej\n2\n3\n3\n\n\nd\nd\nlub\n2\n3\n\na\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy długość przekątnej:\n3\n3\n6\n\n\nd\nlub\n3\n3\n\nd\nII sposób rozwiązania\nSporządzamy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia:\na - długość krawędzi sześcianu,\nd - długość przekątnej sześcianu.\nKorzystamy z zależności\n3\na\nd \nPonieważ\n2\na\nd\n\n\nrozwiązujemy równanie:\n\n\n\n2\n3\nd\nd\n\n\ni otrzymujemy\n3\n2 3\nd\nd\n\n\nlub \n\n3 1\n2 3\nd\n\n\nWyznaczamy długość przekątnej sześcianu:\n\n\n\n\n2 3\n3\n1\n2 3\n3\n3\n1\n3 1\n3\n1\nd\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n3\n3\n\nd\na\nd\nd1\n10\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie pozwalające obliczyć długość przekątnej\n\n\n2\n3\nd\nd\n\n\nlub\n3\n2 3\nd\nd\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy prawidłowo obliczy długość przekątnej:\n3\n3\n6\n\n\nd\nlub\n3\n3\n\nd\nlub\n\n\n3\n3\n1\nd \n\nlub\n12\n48\n4\nd\n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: przekątna sześcianu ma długość \\(3 + \\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą\n\n**Oznaczamy:** niech \\(a\\) = długość krawędzi sześcianu.\n\nPrzekątna sześcianu (przestrzenna) to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki. Ze stereometrii:\n\\[d = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Warunek zadania:** krawędź jest o 2 krótsza od przekątnej, czyli:\n\\[d - a = 2\\]\n\n**Podstawiamy** \\(d = a\\sqrt{3}\\):\n\\[a\\sqrt{3} - a = 2\\]\n\\[a(\\sqrt{3} - 1) = 2\\]\n\\[a = \\frac{2}{\\sqrt{3} - 1}\\]\n\n**Racjonalizujemy mianownik** (mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}+1}{\\sqrt{3}+1}\\)):\n\\[a = \\frac{2(\\sqrt{3}+1)}{(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1)} = \\frac{2(\\sqrt{3}+1)}{3 - 1} = \\frac{2(\\sqrt{3}+1)}{2} = \\sqrt{3}+1\\]\n\n**Obliczamy długość przekątnej:**\n\\[d = a\\sqrt{3} = (\\sqrt{3}+1)\\cdot\\sqrt{3} = 3 + \\sqrt{3}\\]\n\n**Wynik: przekątna sześcianu ma długość \\(\\boldsymbol{3 + \\sqrt{3}}\\).**\n\n## Sposób 2 - podstawienie przez przekątną\n\nZamiast szukać \\(a\\), od razu podstawmy przekątną jako zmienną.\n\nNiech \\(d\\) = długość przekątnej. Wtedy krawędź \\(a = d - 2\\).\n\nKorzystamy ze wzoru na przekątną sześcianu \\(d = a\\sqrt{3}\\), czyli \\(a = \\frac{d}{\\sqrt{3}}\\):\n\\[\\frac{d}{\\sqrt{3}} = d - 2\\]\n\\[d = \\sqrt{3}\\,(d-2)\\]\n\\[d = \\sqrt{3}\\,d - 2\\sqrt{3}\\]\n\\[d - \\sqrt{3}\\,d = -2\\sqrt{3}\\]\n\\[d(1 - \\sqrt{3}) = -2\\sqrt{3}\\]\n\\[d = \\frac{-2\\sqrt{3}}{1 - \\sqrt{3}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3} - 1}\\]\n\nRacjonalizujemy:\n\\[d = \\frac{2\\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1)}{(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1)} = \\frac{2\\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1)}{2} = \\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1) = 3 + \\sqrt{3}\\]\n\n**Ten sam wynik - zgodność potwierdza poprawność.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - z rozdziału o graniastosłupach (sześcian to graniastosłup prostokątny o równych krawędziach):\n\nPrzekątna prostopadłościanu o krawędziach \\(a, b, c\\):\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]\n\nDla sześcianu \\(a = b = c\\):\n\\[d = \\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\n> To właśnie wzór \\(d = a\\sqrt{3}\\) jest kluczowy w tym zadaniu - warto go wyprowadzić sobie samodzielnie raz, żeby zapamiętać na egzaminie.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1) = 3 - 1 = 2\\]\nUżyliśmy wzoru \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) przy racjonalizacji mianownika.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to mylenie **przekątnej sześcianu** (przestrzennej, \\(a\\sqrt{3}\\)) z **przekątną ściany** (płaskiej, \\(a\\sqrt{2}\\)). Przekątna sześcianu łączy dwa wierzchołki, które NIE leżą na tej samej ścianie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy racjonalizacji mianownika \\(\\frac{2}{\\sqrt{3}-1}\\) uczniowie często zapominają pomnożyć LICZNIK przez sprzężenie. Trzeba pomnożyć cały ułamek przez \\(\\frac{\\sqrt{3}+1}{\\sqrt{3}+1}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sformułowanie \"krawędź jest o 2 krótsza od przekątnej\" oznacza \\(d - a = 2\\), NIE \\(a - d = 2\\). Warto sprawdzić: jeśli \\(a = \\sqrt{3}+1 \\approx 2{,}73\\) i \\(d = 3+\\sqrt{3} \\approx 4{,}73\\), to różnica \\(4{,}73 - 2{,}73 = 2\\) ✓\n\n**Długość przekątnej: \\(d = 3+\\sqrt{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Związek krawędzi i przekątnej sześcianu\nDla sześcianu o krawędzi \\(a\\): przekątna \\(d = a\\sqrt{3}\\), czyli \\(a = \\dfrac{d}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{d\\sqrt{3}}{3}\\).\nZ warunku zadania \\(a = d-2\\):\n\\[\\dfrac{d\\sqrt{3}}{3} = d - 2\\]\n\\[d\\sqrt{3} = 3d - 6\\]\n\\[3d - d\\sqrt{3} = 6\\]\n\\[d(3-\\sqrt{3}) = 6\\]\n\\[d = \\dfrac{6}{3-\\sqrt{3}}.\\]\nUsuwamy niewymierność z mianownika:\n\\[d = \\dfrac{6}{3-\\sqrt{3}} \\cdot \\dfrac{3+\\sqrt{3}}{3+\\sqrt{3}} = \\dfrac{6(3+\\sqrt{3})}{9-3} = \\dfrac{6(3+\\sqrt{3})}{6} = 3+\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Od krawędzi\nZ \\(d=a\\sqrt{3}\\) i \\(a=d-2\\): \\(d=(d-2)\\sqrt{3}\\), czyli \\(d=d\\sqrt{3}-2\\sqrt{3}\\).\n\\[d-d\\sqrt{3}=-2\\sqrt{3}\\]\n\\[d(1-\\sqrt{3})=-2\\sqrt{3}\\]\n\\[d=\\dfrac{-2\\sqrt{3}}{1-\\sqrt{3}} = \\dfrac{-2\\sqrt{3}}{1-\\sqrt{3}}\\cdot\\dfrac{1+\\sqrt{3}}{1+\\sqrt{3}} = \\dfrac{-2\\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{-2} = \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3}) = \\sqrt{3}+3.\\]\n\n### Sposób 3 - Przez Pitagorasa\nPrzekątna podstawy: \\(d_{1} = a\\sqrt{2}\\). Przekątna sześcianu: \\(d = \\sqrt{a^{2}+d_{1}^{2}} = \\sqrt{a^{2}+2a^{2}} = a\\sqrt{3}\\).\nDalej jak w sposób 1.\n\n### Weryfikacja\nDla \\(d=3+\\sqrt{3}\\): \\(a=d-2=1+\\sqrt{3}\\). Sprawdzenie \\(a\\sqrt{3}=(1+\\sqrt{3})\\sqrt{3}=\\sqrt{3}+3=d\\) ✓.\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za zapisanie równania \\(d=\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}d+2\\) lub \\(a\\sqrt{3}=a+2\\),\n- **2 pkt** za obliczenie \\(d=3+\\sqrt{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** przekątna sześcianu = \\(a\\sqrt{3}\\); przekątna podstawy = \\(a\\sqrt{2}\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość
przekątnej tego sześcianu.

\n

Poziom podstawowy
19
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
20
Długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość
przekątnej tego sześcianu.
I sposób rozwiązania
Sporządzamy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia:
a - długość krawędzi sześcianu,
1d - długość przekątnej podstawy sześcianu,
d - długość przekątnej sześcianu.
a
d
d1
9
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy:
2
1
2
2
d
a
a


oraz
2
2
1
2
d
d
a


Stąd
3
a
d 
lub
d
a
3
3

Ponieważ
2

a
d
rozwiązujemy równanie:

2
3
3


d
d
i otrzymujemy
3
3
6


d
lub
3
3

d
albo

2
3

a
a
i otrzymujemy
1
3
2


a
lub
3
1

a
Wyznaczamy długość przekątnej sześcianu:
3
3

d
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze równanie pozwalające obliczyć długość przekątnej
2
3
3


d
d
lub
2
3

a
a
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy długość przekątnej:
3
3
6


d
lub
3
3

d
II sposób rozwiązania
Sporządzamy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia:
a - długość krawędzi sześcianu,
d - długość przekątnej sześcianu.
Korzystamy z zależności
3
a
d 
Ponieważ
2
a
d


rozwiązujemy równanie:



2
3
d
d


i otrzymujemy
3
2 3
d
d


lub 

3 1
2 3
d


Wyznaczamy długość przekątnej sześcianu:




2 3
3
1
2 3
3
3
1
3 1
3
1
d







lub
3
3

d
a
d
d1
10
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze równanie pozwalające obliczyć długość przekątnej


2
3
d
d


lub
3
2 3
d
d


i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy prawidłowo obliczy długość przekątnej:
3
3
6


d
lub
3
3

d
lub


3
3
1
d 

lub
12
48
4
d

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: przekątna sześcianu ma długość \\(3 + \\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą

\n

Oznaczamy: niech \\(a\\) = długość krawędzi sześcianu.

\n

Przekątna sześcianu (przestrzenna) to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki. Ze stereometrii:
\\[d = a\\sqrt{3}\\]

\n

Warunek zadania: krawędź jest o 2 krótsza od przekątnej, czyli:
\\[d - a = 2\\]

\n

Podstawiamy \\(d = a\\sqrt{3}\\):
\\[a\\sqrt{3} - a = 2\\]
\\[a(\\sqrt{3} - 1) = 2\\]
\\[a = \\frac{2}{\\sqrt{3} - 1}\\]

\n

Racjonalizujemy mianownik (mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}+1}{\\sqrt{3}+1}\\)):
\\[a = \\frac{2(\\sqrt{3}+1)}{(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1)} = \\frac{2(\\sqrt{3}+1)}{3 - 1} = \\frac{2(\\sqrt{3}+1)}{2} = \\sqrt{3}+1\\]

\n

Obliczamy długość przekątnej:
\\[d = a\\sqrt{3} = (\\sqrt{3}+1)\\cdot\\sqrt{3} = 3 + \\sqrt{3}\\]

\n

Wynik: przekątna sześcianu ma długość \\(\\boldsymbol{3 + \\sqrt{3}}\\).

\n

Sposób 2 - podstawienie przez przekątną

\n

Zamiast szukać \\(a\\), od razu podstawmy przekątną jako zmienną.

\n

Niech \\(d\\) = długość przekątnej. Wtedy krawędź \\(a = d - 2\\).

\n

Korzystamy ze wzoru na przekątną sześcianu \\(d = a\\sqrt{3}\\), czyli \\(a = \\frac{d}{\\sqrt{3}}\\):
\\[\\frac{d}{\\sqrt{3}} = d - 2\\]
\\[d = \\sqrt{3}\\,(d-2)\\]
\\[d = \\sqrt{3}\\,d - 2\\sqrt{3}\\]
\\[d - \\sqrt{3}\\,d = -2\\sqrt{3}\\]
\\[d(1 - \\sqrt{3}) = -2\\sqrt{3}\\]
\\[d = \\frac{-2\\sqrt{3}}{1 - \\sqrt{3}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3} - 1}\\]

\n

Racjonalizujemy:
\\[d = \\frac{2\\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1)}{(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1)} = \\frac{2\\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1)}{2} = \\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1) = 3 + \\sqrt{3}\\]

\n

Ten sam wynik - zgodność potwierdza poprawność.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - z rozdziału o graniastosłupach (sześcian to graniastosłup prostokątny o równych krawędziach):

\n

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach \\(a, b, c\\):
\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]

\n

Dla sześcianu \\(a = b = c\\):
\\[d = \\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]

\n
To właśnie wzór \\(d = a\\sqrt{3}\\) jest kluczowy w tym zadaniu - warto go wyprowadzić sobie samodzielnie raz, żeby zapamiętać na egzaminie.
\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1) = 3 - 1 = 2\\]
Użyliśmy wzoru \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) przy racjonalizacji mianownika.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to mylenie przekątnej sześcianu (przestrzennej, \\(a\\sqrt{3}\\)) z przekątną ściany (płaskiej, \\(a\\sqrt{2}\\)). Przekątna sześcianu łączy dwa wierzchołki, które NIE leżą na tej samej ścianie.
\n
⚠️ Uwaga: Przy racjonalizacji mianownika \\(\\frac{2}{\\sqrt{3}-1}\\) uczniowie często zapominają pomnożyć LICZNIK przez sprzężenie. Trzeba pomnożyć cały ułamek przez \\(\\frac{\\sqrt{3}+1}{\\sqrt{3}+1}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sformułowanie "krawędź jest o 2 krótsza od przekątnej" oznacza \\(d - a = 2\\), NIE \\(a - d = 2\\). Warto sprawdzić: jeśli \\(a = \\sqrt{3}+1 \\approx 2{,}73\\) i \\(d = 3+\\sqrt{3} \\approx 4{,}73\\), to różnica \\(4{,}73 - 2{,}73 = 2\\) ✓
\n

Długość przekątnej: \\(d = 3+\\sqrt{3}\\)

\n
Sposób 1 - Związek krawędzi i przekątnej sześcianu
\n

Dla sześcianu o krawędzi \\(a\\): przekątna \\(d = a\\sqrt{3}\\), czyli \\(a = \\dfrac{d}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{d\\sqrt{3}}{3}\\).
Z warunku zadania \\(a = d-2\\):
\\[\\dfrac{d\\sqrt{3}}{3} = d - 2\\]
\\[d\\sqrt{3} = 3d - 6\\]
\\[3d - d\\sqrt{3} = 6\\]
\\[d(3-\\sqrt{3}) = 6\\]
\\[d = \\dfrac{6}{3-\\sqrt{3}}.\\]
Usuwamy niewymierność z mianownika:
\\[d = \\dfrac{6}{3-\\sqrt{3}} \\cdot \\dfrac{3+\\sqrt{3}}{3+\\sqrt{3}} = \\dfrac{6(3+\\sqrt{3})}{9-3} = \\dfrac{6(3+\\sqrt{3})}{6} = 3+\\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Od krawędzi
\n

Z \\(d=a\\sqrt{3}\\) i \\(a=d-2\\): \\(d=(d-2)\\sqrt{3}\\), czyli \\(d=d\\sqrt{3}-2\\sqrt{3}\\).
\\[d-d\\sqrt{3}=-2\\sqrt{3}\\]
\\[d(1-\\sqrt{3})=-2\\sqrt{3}\\]
\\[d=\\dfrac{-2\\sqrt{3}}{1-\\sqrt{3}} = \\dfrac{-2\\sqrt{3}}{1-\\sqrt{3}}\\cdot\\dfrac{1+\\sqrt{3}}{1+\\sqrt{3}} = \\dfrac{-2\\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{-2} = \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3}) = \\sqrt{3}+3.\\]

\n
Sposób 3 - Przez Pitagorasa
\n

Przekątna podstawy: \\(d_{1} = a\\sqrt{2}\\). Przekątna sześcianu: \\(d = \\sqrt{a^{2}+d_{1}^{2}} = \\sqrt{a^{2}+2a^{2}} = a\\sqrt{3}\\).
Dalej jak w sposób 1.

\n
Weryfikacja
\n

Dla \\(d=3+\\sqrt{3}\\): \\(a=d-2=1+\\sqrt{3}\\). Sprawdzenie \\(a\\sqrt{3}=(1+\\sqrt{3})\\sqrt{3}=\\sqrt{3}+3=d\\) ✓.

\n
CKE - przyznawanie punktów
\n\n

Pamiętaj: przekątna sześcianu = \\(a\\sqrt{3}\\); przekątna podstawy = \\(a\\sqrt{2}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$d = 3 + \\sqrt{3}$

"}]}