{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nDane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą\n2\n6000 m .\nDziałka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz\npowierzchnię większą o\n2\n2250 m . Oblicz wymiary pierwszej działki.\n\nPoziom podstawowy\n21\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n22\nDane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą 6000 m^2. Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz powierzchnię większą o 2250 m^2 . Oblicz wymiary pierwszej działki.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nDane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą\n2\n6000 m .\nDziałka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz\npowierzchnię większą o\n2\n2250 m . Oblicz wymiary pierwszej działki.\nI sposób rozwiązania\nNiech x oznacza długość jednego z boków pierwszej działki, a y - długość drugiego boku\ndziałki pierwszej, wtedy pole powierzchnia działki pierwszej jest równe x y\n\n. Stąd mamy\nrównanie\n6000\nx y\n\n\nWtedy\n10\nx \noznacza długość jednego z boków działki drugiej, a\n15\ny \ndługość drugiego\nboku działki drugiej, zaś pole powierzchni tej działki jest równe 6000\n2250\n8250\n\n\nOtrzymujemy zatem równanie \n\n\n10\n15\n8250\nx\ny\n\n\n\n\nZapisujemy układ równań \n\n\n6000\n10\n15\n8250\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n6000\ny\nx\n\n6000\nx\ny\n\npodstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy\n\n6000\n10\n15\n8250\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n140\n4000\n0\nx\nx\n\n\n\n2\n19600 16000\n3600\n60\n\n\n\n\n1\n140\n60\n40\n2\nx\n\n\n\nlub\n2\n140\n60\n100\n2\nx\n\n\n\nObliczamy y:\n\n\n6000\n10\n15\n8250\ny\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n210\n9000\n0\ny\ny\n\n\n\n2\n44100\n36000\n8100\n90\n\n\n\n\n1\n210\n90\n60\n2\ny\n\n\n\nlub\n2\n210\n90\n150\n2\ny\n\n\n\nObliczamy x:\n11\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\n1\n6000\n150\n40\ny \n\nlub\n2\n6000\n60\n100\ny \n\n1\n6000\n100\n60\nx \n\nlub\n2\n6000\n40\n150\nx \n\nOdp. Pierwsza działka miała wymiary 40 m na 150 m lub 100 m na 60 m.\nII sposób rozwiązania\nNiech x oznacza długość jednego z boków pierwszej działki, a y - długość drugiego boku\ndziałki pierwszej, wtedy pole powierzchni działki pierwszej jest równe x y\n\n. Stąd mamy\nrównanie\n6000\nx y\n\n\nWtedy\n10\nx \noznacza długość jednego z boków działki drugiej, a\n15\ny \ndługość drugiego\nboku działki drugiej, zaś pole powierzchni tej działki jest równe 6000\n2250\n8250\n\n\nOtrzymujemy zatem równanie \n\n\n10\n15\n8250\nx\ny\n\n\n\n\nZapisujemy układ równań \n\n\n6000\n10\n15\n8250\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd otrzymujemy kolejno\n6000\n15\n10\n150\n8250\nx y\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n6000\n6000 15\n10\n150\n8250\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n6000\n15\n10\n2100\n0\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nRównanie 15\n10\n2100\n0\nx\ny\n\n\n\ndzielimy obustronnie przez 5.\nOtrzymujemy 3\n2\n420\n0\nx\ny\n\n\n\n, stąd wyznaczamy\n3\n210\n2\ny\nx\n\n\n2\n140\n3\nx\ny\n\n\npodstawiamy do pierwszego równania i rozwiązujemy\n3\n210\n6000\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n210\n6000\n0\n2 x\nx\n\n\n\n\n2\n140\n4000\n0\nx\nx\n\n\n\n2\n19600 16000\n3600\n60\n\n\n\n\n1\n140\n60\n40\n2\nx\n\n\n\nlub\n2\n140\n60\n100\n2\nx\n\n\n\nObliczamy y:\n1\n6000\n150\n40\ny \n\nlub\n2\n6000\n60\n100\ny \n\n2\n140\n6000\n3 y\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n140\n6000\n0\n3 y\ny\n\n\n\n\n2\n210\n9000\n0\ny\ny\n\n\n\n2\n44100\n36000\n8100\n90\n\n\n\n\n1\n210\n90\n60\n2\ny\n\n\n\nlub\n2\n210\n90\n150\n2\ny\n\n\n\nObliczamy x:\n1\n6000\n100\n60\nx \n\nlub\n2\n6000\n40\n150\nx \n\nOdp. Pierwsza działka miała wymiary 40 m na 150 m lub 100 m na 60 m.\n12\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie jednego z równań:\n6000\nx y\n\n\nalbo \n\n\n10\n15\n8250\nx\ny\n\n\n\n\n, gdzie x, y oznaczają\ndługości boków pierwszej działki.\nUwaga\nNie wymagamy opisania wprowadzonych oznaczeń, jeżeli z rozwiązania można\nwywnioskować, że zdający poprawnie je stosuje.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi x i y \n\n\n6000\n10\n15\n8250\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:\n\n6000\n10\n15\n8250\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n6000\n10\n15\n8250\ny\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n3\n210\n6000\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n140\n6000\n3 y\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n140\n4000\n0\n\n\n\nx\nx\nlub\n2\n210\n9000\n0\n\n\n\ny\ny\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą i wówczas jego rozwiązanie zostanie zakwalifikowane co najmniej do kategorii\nPokonanie zasadniczych trudności.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n rozwiązanie równania z niewiadomą x i nieobliczenie drugiego boku działki,\nalbo\n rozwiązanie równania z niewiadomą y i nieobliczenie pierwszego boku działki,\nalbo\n popełnienie błędu rachunkowego w rozwiązaniu równania z jedną niewidomą (ale\notrzymanie dwóch rozwiązań) i konsekwentne do popełnionego błędu obliczenie\nwymiarów działek,\nalbo\n obliczenie wymiarów działki tylko w jednym przypadku.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie wymiarów działki pierwszej: działka pierwsza ma wymiary 40 m na 150 m lub\n100 m na 60 m.\n13\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nUwaga\nJeżeli zdający odgadnie wymiary działki w co najmniej jednym przypadku, to otrzymuje\n1 punkt, nawet w sytuacji, gdy dokonuje systematycznego „przeszukiwania” rozwiązań\ncałkowitych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: wymiary pierwszej działki to **40 m × 150 m**\n\n## Sposób 1 - Układ równań → równanie kwadratowe\n\n**Oznaczenia.** Niech \\(a\\) i \\(b\\) będą wymiarami (długością i szerokością) pierwszej działki.\n\n**Warunek 1** - pole pierwszej działki:\n\\[ab = 6000\\]\n\n**Warunek 2** - pole drugiej działki:\n\\[(a + 10)(b + 15) = 6000 + 2250 = 8250\\]\n\nRozwijamy lewy nawias:\n\\[ab + 15a + 10b + 150 = 8250\\]\n\nPodstawiamy \\(ab = 6000\\):\n\\[6000 + 15a + 10b + 150 = 8250\\]\n\\[15a + 10b = 2100\\]\n\\[3a + 2b = 420\\]\n\nZ tego wyrażamy \\(b\\):\n\\[b = \\frac{420 - 3a}{2}\\]\n\nPodstawiamy do \\(ab = 6000\\):\n\\[a \\cdot \\frac{420 - 3a}{2} = 6000\\]\n\\[a(420 - 3a) = 12000\\]\n\\[420a - 3a^2 = 12000\\]\n\\[3a^2 - 420a + 12000 = 0\\]\n\\[a^2 - 140a + 4000 = 0\\]\n\nLiczymy deltę:\n\\[\\Delta = 140^2 - 4 \\cdot 4000 = 19600 - 16000 = 3600\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 60\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[a_1 = \\frac{140 - 60}{2} = \\frac{80}{2} = 40, \\qquad a_2 = \\frac{140 + 60}{2} = \\frac{200}{2} = 100\\]\n\nOdpowiadające wartości \\(b\\):\n- dla \\(a = 40\\): \\(b = \\frac{6000}{40} = 150\\)\n- dla \\(a = 100\\): \\(b = \\frac{6000}{100} = 60\\)\n\nOba przypadki opisują **ten sam prostokąt 40 m × 150 m** (tylko różna kolejność boków).\n\n**Wymiary pierwszej działki: \\(40\\,\\text{m} \\times 150\\,\\text{m}\\).**\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a (szukanie pierwiastków przez rozkład)\n\nDochodzimy do tego samego równania kwadratowego:\n\\[a^2 - 140a + 4000 = 0\\]\n\nZamiast liczyć deltę, stosujemy wzory Viète'a. Szukamy dwóch liczb \\(a_1, a_2\\) takich, że:\n\\[a_1 + a_2 = 140, \\qquad a_1 \\cdot a_2 = 4000\\]\n\nPróbujemy rozkład: \\(4000 = 40 \\cdot 100\\), sprawdzamy sumę: \\(40 + 100 = 140\\). ✓\n\nZatem \\(a_1 = 40\\), \\(a_2 = 100\\) - oba są poprawnymi wartościami jednego z wymiarów.\n\n**Weryfikacja:**\n\\[40 \\cdot 150 = 6000 \\checkmark\\]\n\\[(40 + 10)(150 + 15) = 50 \\cdot 165 = 8250 = 6000 + 2250 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(a^2 - 140a + 4000 = 0\\).\n\n**Dział 7 (s. 9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do znalezienia pierwiastków bez liczenia delty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „wymiary większe o 10 m i 15 m\" z „wymiary razy 10 i 15\" - chodzi o dodanie, więc nowe boki to \\((a+10)\\) i \\((b+15)\\), nie \\(10a\\) i \\(15b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwinięciu \\((a+10)(b+15)\\) pamiętaj o członie \\(+150\\) (iloczyn \\(10 \\cdot 15\\)). Jego pominięcie to jeden z najczęstszych błędów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie ma dwa rozwiązania algebraiczne (\\(a = 40\\) lub \\(a = 100\\)), ale oba opisują **ten sam prostokąt** - wynik to jednoznacznie \\(40\\,\\text{m} \\times 150\\,\\text{m}\\). Napisz oba i zauważ, że to ta sama figura.\n\n**Wymiary pierwszej działki: \\(40\\,\\text{m}\\times 150\\,\\text{m}\\) lub \\(100\\,\\text{m}\\times 60\\,\\text{m}\\)**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nNiech \\(x, y\\) - wymiary pierwszej działki. Pole: \\(xy=6000\\).\nDruga działka: \\((x+10)(y+15)=6000+2250=8250\\).\n\nUkład:\n\\[\\begin{cases} xy = 6000 \\\\ (x+10)(y+15) = 8250 \\end{cases}\\]\nRozwijamy drugie: \\(xy + 15x + 10y + 150 = 8250\\), czyli \\(6000 + 15x + 10y + 150 = 8250\\), stąd \\(15x+10y=2100\\), czyli \\(3x+2y=420\\).\n\nZ \\(xy=6000\\): \\(y=\\dfrac{6000}{x}\\). Podstawiamy:\n\\[3x + 2\\cdot \\dfrac{6000}{x} = 420\\]\n\\[3x^{2} + 12000 = 420x\\]\n\\[3x^{2} - 420x + 12000 = 0\\]\n\\[x^{2} - 140x + 4000 = 0.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta = 19600 - 16000 = 3600 = 60^{2}\\).\n\\[x_{1} = \\dfrac{140-60}{2} = 40, \\quad x_{2} = \\dfrac{140+60}{2} = 100.\\]\nObliczamy \\(y\\):\n- dla \\(x=40\\): \\(y=\\dfrac{6000}{40}=150\\),\n- dla \\(x=100\\): \\(y=\\dfrac{6000}{100}=60\\).\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(y\\) z drugiego równania\nZ \\(3x+2y=420\\): \\(y=\\dfrac{420-3x}{2}\\). Podstawiając do \\(xy=6000\\): \\(x\\cdot \\tfrac{420-3x}{2}=6000\\), więc \\(420x-3x^{2}=12000\\), \\(x^{2}-140x+4000=0\\) - jak wyżej.\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja dla \\((40, 150)\\)\nPole pierwszej: \\(40\\cdot 150=6000\\) ✓. Druga: \\(50\\cdot 165 = 8250\\) ✓.\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za jedno z równań \\(xy=6000\\) lub \\((x+10)(y+15)=8250\\),\n- **2 pkt** za układ równań,\n- **3 pkt** za zapisanie równania z jedną niewiadomą (\\(x^{2}-140x+4000=0\\)),\n- **4 pkt** za rozwiązanie z ew. drobnym błędem,\n- **5 pkt** za pełne wymiary pierwszej działki: \\(40\\,\\text{m}\\times 150\\,\\text{m}\\) lub \\(100\\,\\text{m}\\times 60\\,\\text{m}\\).\n\n**Pamiętaj:** układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi rozwiązujemy przez podstawienie.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 32. (5 pkt)
Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą
2
6000 m .
Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz
powierzchnię większą o
2
2250 m . Oblicz wymiary pierwszej działki.

\n

Poziom podstawowy
21
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
22
Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą 6000 m^2. Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz powierzchnię większą o 2250 m^2 . Oblicz wymiary pierwszej działki.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (5 pkt)
Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą
2
6000 m .
Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz
powierzchnię większą o
2
2250 m . Oblicz wymiary pierwszej działki.
I sposób rozwiązania
Niech x oznacza długość jednego z boków pierwszej działki, a y - długość drugiego boku
działki pierwszej, wtedy pole powierzchnia działki pierwszej jest równe x y

. Stąd mamy
równanie
6000
x y


Wtedy
10
x 
oznacza długość jednego z boków działki drugiej, a
15
y 
długość drugiego
boku działki drugiej, zaś pole powierzchni tej działki jest równe 6000
2250
8250


Otrzymujemy zatem równanie 


10
15
8250
x
y




Zapisujemy układ równań 


6000
10
15
8250
x y
x
y








Z pierwszego równania wyznaczamy
6000
y
x

6000
x
y

podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy

6000
10
15
8250
x
x









Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.
2
140
4000
0
x
x



2
19600 16000
3600
60




1
140
60
40
2
x



lub
2
140
60
100
2
x



Obliczamy y:


6000
10
15
8250
y
y









Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.
2
210
9000
0
y
y



2
44100
36000
8100
90




1
210
90
60
2
y



lub
2
210
90
150
2
y



Obliczamy x:
11
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
1
6000
150
40
y 

lub
2
6000
60
100
y 

1
6000
100
60
x 

lub
2
6000
40
150
x 

Odp. Pierwsza działka miała wymiary 40 m na 150 m lub 100 m na 60 m.
II sposób rozwiązania
Niech x oznacza długość jednego z boków pierwszej działki, a y - długość drugiego boku
działki pierwszej, wtedy pole powierzchni działki pierwszej jest równe x y

. Stąd mamy
równanie
6000
x y


Wtedy
10
x 
oznacza długość jednego z boków działki drugiej, a
15
y 
długość drugiego
boku działki drugiej, zaś pole powierzchni tej działki jest równe 6000
2250
8250


Otrzymujemy zatem równanie 


10
15
8250
x
y




Zapisujemy układ równań 


6000
10
15
8250
x y
x
y








Stąd otrzymujemy kolejno
6000
15
10
150
8250
x y
x y
x
y









6000
6000 15
10
150
8250
x y
x
y









6000
15
10
2100
0
x y
x
y








Równanie 15
10
2100
0
x
y



dzielimy obustronnie przez 5.
Otrzymujemy 3
2
420
0
x
y



, stąd wyznaczamy
3
210
2
y
x


2
140
3
x
y


podstawiamy do pierwszego równania i rozwiązujemy
3
210
6000
2
x
x









2
3
210
6000
0
2 x
x




2
140
4000
0
x
x



2
19600 16000
3600
60




1
140
60
40
2
x



lub
2
140
60
100
2
x



Obliczamy y:
1
6000
150
40
y 

lub
2
6000
60
100
y 

2
140
6000
3 y
y










2
2
140
6000
0
3 y
y




2
210
9000
0
y
y



2
44100
36000
8100
90




1
210
90
60
2
y



lub
2
210
90
150
2
y



Obliczamy x:
1
6000
100
60
x 

lub
2
6000
40
150
x 

Odp. Pierwsza działka miała wymiary 40 m na 150 m lub 100 m na 60 m.
12
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie jednego z równań:
6000
x y


albo 


10
15
8250
x
y




, gdzie x, y oznaczają
długości boków pierwszej działki.
Uwaga
Nie wymagamy opisania wprowadzonych oznaczeń, jeżeli z rozwiązania można
wywnioskować, że zdający poprawnie je stosuje.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y 


6000
10
15
8250
x y
x
y








Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:

6000
10
15
8250
x
x









lub


6000
10
15
8250
y
y









lub
3
210
6000
2
x
x









lub
2
140
6000
3 y
y










lub
2
140
4000
0



x
x
lub
2
210
9000
0



y
y
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą i wówczas jego rozwiązanie zostanie zakwalifikowane co najmniej do kategorii
Pokonanie zasadniczych trudności.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
 rozwiązanie równania z niewiadomą x i nieobliczenie drugiego boku działki,
albo
 rozwiązanie równania z niewiadomą y i nieobliczenie pierwszego boku działki,
albo
 popełnienie błędu rachunkowego w rozwiązaniu równania z jedną niewidomą (ale
otrzymanie dwóch rozwiązań) i konsekwentne do popełnionego błędu obliczenie
wymiarów działek,
albo
 obliczenie wymiarów działki tylko w jednym przypadku.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie wymiarów działki pierwszej: działka pierwsza ma wymiary 40 m na 150 m lub
100 m na 60 m.
13
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
Uwaga
Jeżeli zdający odgadnie wymiary działki w co najmniej jednym przypadku, to otrzymuje
1 punkt, nawet w sytuacji, gdy dokonuje systematycznego „przeszukiwania” rozwiązań
całkowitych.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: wymiary pierwszej działki to 40 m × 150 m

\n

Sposób 1 - Układ równań → równanie kwadratowe

\n

Oznaczenia. Niech \\(a\\) i \\(b\\) będą wymiarami (długością i szerokością) pierwszej działki.

\n

Warunek 1 - pole pierwszej działki:
\\[ab = 6000\\]

\n

Warunek 2 - pole drugiej działki:
\\[(a + 10)(b + 15) = 6000 + 2250 = 8250\\]

\n

Rozwijamy lewy nawias:
\\[ab + 15a + 10b + 150 = 8250\\]

\n

Podstawiamy \\(ab = 6000\\):
\\[6000 + 15a + 10b + 150 = 8250\\]
\\[15a + 10b = 2100\\]
\\[3a + 2b = 420\\]

\n

Z tego wyrażamy \\(b\\):
\\[b = \\frac{420 - 3a}{2}\\]

\n

Podstawiamy do \\(ab = 6000\\):
\\[a \\cdot \\frac{420 - 3a}{2} = 6000\\]
\\[a(420 - 3a) = 12000\\]
\\[420a - 3a^2 = 12000\\]
\\[3a^2 - 420a + 12000 = 0\\]
\\[a^2 - 140a + 4000 = 0\\]

\n

Liczymy deltę:
\\[\\Delta = 140^2 - 4 \\cdot 4000 = 19600 - 16000 = 3600\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 60\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[a_1 = \\frac{140 - 60}{2} = \\frac{80}{2} = 40, \\qquad a_2 = \\frac{140 + 60}{2} = \\frac{200}{2} = 100\\]

\n

Odpowiadające wartości \\(b\\):

\n\n

Oba przypadki opisują ten sam prostokąt 40 m × 150 m (tylko różna kolejność boków).

\n

Wymiary pierwszej działki: \\(40\\,\\text{m} \\times 150\\,\\text{m}\\).

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a (szukanie pierwiastków przez rozkład)

\n

Dochodzimy do tego samego równania kwadratowego:
\\[a^2 - 140a + 4000 = 0\\]

\n

Zamiast liczyć deltę, stosujemy wzory Viète'a. Szukamy dwóch liczb \\(a_1, a_2\\) takich, że:
\\[a_1 + a_2 = 140, \\qquad a_1 \\cdot a_2 = 4000\\]

\n

Próbujemy rozkład: \\(4000 = 40 \\cdot 100\\), sprawdzamy sumę: \\(40 + 100 = 140\\). ✓

\n

Zatem \\(a_1 = 40\\), \\(a_2 = 100\\) - oba są poprawnymi wartościami jednego z wymiarów.

\n

Weryfikacja:
\\[40 \\cdot 150 = 6000 \\checkmark\\]
\\[(40 + 10)(150 + 15) = 50 \\cdot 165 = 8250 = 6000 + 2250 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(a^2 - 140a + 4000 = 0\\).

\n

Dział 7 (s. 9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w Sposobie 2 do znalezienia pierwiastków bez liczenia delty.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić „wymiary większe o 10 m i 15 m" z „wymiary razy 10 i 15" - chodzi o dodanie, więc nowe boki to \\((a+10)\\) i \\((b+15)\\), nie \\(10a\\) i \\(15b\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po rozwinięciu \\((a+10)(b+15)\\) pamiętaj o członie \\(+150\\) (iloczyn \\(10 \\cdot 15\\)). Jego pominięcie to jeden z najczęstszych błędów.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie ma dwa rozwiązania algebraiczne (\\(a = 40\\) lub \\(a = 100\\)), ale oba opisują ten sam prostokąt - wynik to jednoznacznie \\(40\\,\\text{m} \\times 150\\,\\text{m}\\). Napisz oba i zauważ, że to ta sama figura.
\n

Wymiary pierwszej działki: \\(40\\,\\text{m}\\times 150\\,\\text{m}\\) lub \\(100\\,\\text{m}\\times 60\\,\\text{m}\\)

\n
Sposób 1 - Układ równań
\n

Niech \\(x, y\\) - wymiary pierwszej działki. Pole: \\(xy=6000\\).
Druga działka: \\((x+10)(y+15)=6000+2250=8250\\).

\n

Układ:
\\[\\begin{cases} xy = 6000 \\\\ (x+10)(y+15) = 8250 \\end{cases}\\]
Rozwijamy drugie: \\(xy + 15x + 10y + 150 = 8250\\), czyli \\(6000 + 15x + 10y + 150 = 8250\\), stąd \\(15x+10y=2100\\), czyli \\(3x+2y=420\\).

\n

Z \\(xy=6000\\): \\(y=\\dfrac{6000}{x}\\). Podstawiamy:
\\[3x + 2\\cdot \\dfrac{6000}{x} = 420\\]
\\[3x^{2} + 12000 = 420x\\]
\\[3x^{2} - 420x + 12000 = 0\\]
\\[x^{2} - 140x + 4000 = 0.\\]
Wyróżnik: \\(\\Delta = 19600 - 16000 = 3600 = 60^{2}\\).
\\[x_{1} = \\dfrac{140-60}{2} = 40, \\quad x_{2} = \\dfrac{140+60}{2} = 100.\\]
Obliczamy \\(y\\):

\n\n
Sposób 2 - Wyznaczenie \\(y\\) z drugiego równania
\n

Z \\(3x+2y=420\\): \\(y=\\dfrac{420-3x}{2}\\). Podstawiając do \\(xy=6000\\): \\(x\\cdot \\tfrac{420-3x}{2}=6000\\), więc \\(420x-3x^{2}=12000\\), \\(x^{2}-140x+4000=0\\) - jak wyżej.

\n
Sposób 3 - Weryfikacja dla \\((40, 150)\\)
\n

Pole pierwszej: \\(40\\cdot 150=6000\\) ✓. Druga: \\(50\\cdot 165 = 8250\\) ✓.

\n
CKE - przyznawanie punktów
\n\n

Pamiętaj: układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi rozwiązujemy przez podstawienie.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$40 \\text{ m na } 150 \\text{ m}$ lub $100 \\text{ m na } 60 \\text{ m}$

"}]}