{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPunkty\n\n\n1,\n5\nA \n\n,\n\n\n3,\n1\nB \n\ni\n\n\n2, 4\nC \nsą kolejnymi wierzchołkami równoległoboku\nABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.\n\nPoziom podstawowy\n23\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n24\nA\nB\nC\nS\nPunkty A=(-1,-5), B=(3,-1), C=(2,4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPunkty\n\n\n1,\n5\nA \n\n,\n\n\n3, 1\nB \n\ni\n\n\n2, 4\nC \nsą kolejnymi wierzchołkami równoległoboku\nABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.\nI sposób rozwiązania\nWyznaczamy równanie prostej AB:\n4\ny\nx\n\n\nWyznaczamy równanie prostej CE prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C:\n6\ny\nx\n\nObliczamy współrzędne punktu E (przecięcia prostych AB i CE) rozwiązując układ równań:\n4\n6\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nRozwiązaniem układu jest:\n5\nx ,\n1\ny . Stąd\n\n\n5,1\nE \nObliczamy długość odcinka AB:\n2\n2\n4\n4\n4 2\nAB \n\n\nObliczamy długość odcinka CE:\n\n\n\n\n2\n2\n5\n2\n1 4\n18\n3 2\nCE \n\n\n\n\n\nZatem pole równoległoboku jest równe:\n4 2 3 2\n24\nABCD\nP\nAB CE\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie długości odcinka:\n4 2\nAB \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu E:\n\n\n5,1\n\nE\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości równoległoboku:\n3 2\nCE \nUwaga\nZdający może obliczyć wysokość równoległoboku wykorzystując wzór na odległość\nwierzchołka C od prostej AB.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie pola równoległoboku:\n24\nABCD\nP\n\n14\nSchemat oceniania sierpień\nPoziom podstawowy\nII sposób rozwiązania\nZauważamy, że pole równoległoboku ABCD jest równe podwojonemu polu trójkąta ABC.\nPole trójkąta ABC obliczamy ze wzoru:\n\n\n\n\n\n1\n2\nABC\nB\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nP\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nObliczamy pole równoległoboku:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\n2\n2 2\n1\n2\n3\n1\n4\n5\n1\n5\n2\n1\n4 9\n4 3\n24\n24\n2\nABCD\nABC\nB\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nP\nP\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZauważenie, że\n2\n\n\nABCD\nABC\nP\nP\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZastosowanie wzoru na pole trójkąta:\n\n\n\n\n\n1\n2\nABC\nB\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nP\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie pola trójkąta: 12\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie pola równoległoboku:\n24\nABCD\nP\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (pole = 24)\n\n## Sposób 1 - Iloczyn wektorowy (wyznacznik)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wektory tworzące boki równoległoboku.**\n\nMamy wierzchołki \\(A = (-1, -5)\\), \\(B = (3, -1)\\), \\(C = (2, 4)\\). Boki \\(AB\\) i \\(BC\\) są bokami przylegającymi:\n\n\\[\\vec{AB} = [3-(-1),\\ -1-(-5)] = [4,\\ 4]\\]\n\n\\[\\vec{BC} = [2-3,\\ 4-(-1)] = [-1,\\ 5]\\]\n\n**Krok 2: Pole równoległoboku = wartość bezwzględna wyznacznika macierzy tych wektorów.**\n\n\\[P = \\left|\\det\\begin{pmatrix} 4 & 4 \\\\ -1 & 5 \\end{pmatrix}\\right| = |4 \\cdot 5 - 4 \\cdot (-1)| = |20 + 4| = |24|\\]\n\n\\[\\boxed{P = 24}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez pole trójkąta ABC\n\nPrzekątna \\(AC\\) dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty. Zatem:\n\n\\[P_{\\text{równoległoboku}} = 2 \\cdot P_{\\triangle ABC}\\]\n\n**Pole trójkąta ze współrzędnych** (wzór z geometrii analitycznej):\n\n\\[P_{\\triangle ABC} = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (-1, -5)\\), \\(B = (3, -1)\\), \\(C = (2, 4)\\):\n\n\\[P_{\\triangle ABC} = \\frac{1}{2}\\left|(3-(-1))(4-(-5)) - (-1-(-5))(2-(-1))\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|4 \\cdot 9 - 4 \\cdot 3\\right| = \\frac{1}{2}\\left|36 - 12\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot 24 = 12\\]\n\nZatem:\n\\[P_{\\text{równoległoboku}} = 2 \\cdot 12 = \\boxed{24}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 2 do obliczenia pola trójkąta ABC.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = ah\\]\nWzór wyjściowy (tutaj zrealizowany przez wyznacznik wektorów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte (obliczeniowe), ale typowe błędy prowadzące do złego wyniku:\n\n| Błąd | Skąd się bierze |\n| Wynik \\(12\\) | Obliczono pole trójkąta ABC, ale zapomniano pomnożyć przez \\(2\\) |\n| Wynik \\(20\\) | Błąd w wyznaczaniu różnic współrzędnych (np. pominięcie znaku minus przy \\(y_A = -5\\)) |\n| Wynik \\(48\\) | Pomnożono pole przez \\(4\\) zamiast \\(2\\) (pomieszano z czworokątem bez symetrii) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(y_C - y_A = 4 - (-5)\\) łatwo zapomnieć o podwójnym minusie - wynik to \\(9\\), nie \\(-1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór wyznacznikowy daje pole trójkąta, nie równoległoboku - pamiętaj o pomnożeniu przez \\(2\\) (lub pomiń czynnik \\(\\frac{1}{2}\\) w wyznaczeniu pola przez wektory boków).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wektory muszą wychodzić ze wspólnego wierzchołka (np. oba z \\(B\\): \\(\\vec{BA}\\) i \\(\\vec{BC}\\)) lub być bokami przylegającymi - nie wybieraj przypadkowych dwóch wektorów łączących wierzchołki!\n\n**Pole równoległoboku: \\(P_{ABCD} = 24\\)**\n\n### Sposób 1 - Długość boku i wysokość\nRównanie prostej \\(AB\\) przez punkty \\(A=(-1,-5)\\) i \\(B=(3,-1)\\): współczynnik kierunkowy \\(a=\\dfrac{-1-(-5)}{3-(-1)}=\\dfrac{4}{4}=1\\).\nRównanie: \\(y-(-5)=1\\cdot(x-(-1))\\), czyli \\(y=x-4\\).\n\nProsta \\(CE\\) prostopadła do \\(AB\\) przez \\(C=(2, 4)\\): współczynnik \\(=-1\\), równanie: \\(y-4=-(x-2)\\), czyli \\(y=-x+6\\).\n\nPunkt \\(E\\) - przecięcie \\(AB\\) i \\(CE\\): układ \\(\\begin{cases} y=x-4 \\\\ y=-x+6 \\end{cases}\\) daje \\(x=5, y=1\\). \\(E=(5, 1)\\).\n\nDługość \\(|AB|\\): \\(\\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}\\).\nWysokość \\(|CE|\\): \\(\\sqrt{(5-2)^{2}+(1-4)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}\\).\n\\[P = |AB|\\cdot|CE| = 4\\sqrt{2}\\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\cdot 2 = 24.\\]\n\n### Sposób 2 - Iloczyn wektorowy (przez trójkąt \\(ABC\\))\nPole trójkąta: \\(P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A}) - (y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})|\\).\n\\(x_{B}-x_{A}=4\\), \\(y_{C}-y_{A}=9\\), \\(y_{B}-y_{A}=4\\), \\(x_{C}-x_{A}=3\\).\n\\[P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}|4\\cdot 9 - 4\\cdot 3| = \\tfrac{1}{2}|36-12| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 24 = 12.\\]\nPole równoległoboku = \\(2\\cdot P_{ABC} = 24\\).\n\n### Sposób 3 - Przez wektory\n\\(\\vec{AB}=(4, 4)\\), \\(\\vec{AC}=(3, 9)\\). Pole = \\(|\\vec{AB}\\times \\vec{AC}| = |4\\cdot 9 - 4\\cdot 3| = 24\\).\n\n### CKE - przyznawanie punktów\n- **1 pkt** za obliczenie \\(|AB|=4\\sqrt{2}\\) lub wzór \\(P=2P_{ABC}\\),\n- **2 pkt** za obliczenie współrzędnych punktu \\(E\\) lub zastosowanie wzoru na pole trójkąta,\n- **3 pkt** za obliczenie wysokości \\(|CE|=3\\sqrt{2}\\) lub pola trójkąta \\(=12\\),\n- **4 pkt** za obliczenie pola równoległoboku \\(=24\\).\n\n**Pamiętaj:** pole równoległoboku \\(ABCD\\) = \\(2\\cdot P_{ABC}\\) (bo przekątna dzieli go na dwa przystające trójkąty).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Punkty


1,
5
A 

,


3,
1
B 

i


2, 4
C 
są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku
ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.

\n

Poziom podstawowy
23
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
24
A
B
C
S
Punkty A=(-1,-5), B=(3,-1), C=(2,4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Punkty


1,
5
A 

,


3, 1
B 

i


2, 4
C 
są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku
ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.
I sposób rozwiązania
Wyznaczamy równanie prostej AB:
4
y
x


Wyznaczamy równanie prostej CE prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C:
6
y
x

Obliczamy współrzędne punktu E (przecięcia prostych AB i CE) rozwiązując układ równań:
4
6
y
x
y
x






Rozwiązaniem układu jest:
5
x ,
1
y . Stąd


5,1
E 
Obliczamy długość odcinka AB:
2
2
4
4
4 2
AB 


Obliczamy długość odcinka CE:




2
2
5
2
1 4
18
3 2
CE 





Zatem pole równoległoboku jest równe:
4 2 3 2
24
ABCD
P
AB CE





Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Obliczenie długości odcinka:
4 2
AB 
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie współrzędnych punktu E:


5,1

E
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie wysokości równoległoboku:
3 2
CE 
Uwaga
Zdający może obliczyć wysokość równoległoboku wykorzystując wzór na odległość
wierzchołka C od prostej AB.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie pola równoległoboku:
24
ABCD
P

14
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
II sposób rozwiązania
Zauważamy, że pole równoległoboku ABCD jest równe podwojonemu polu trójkąta ABC.
Pole trójkąta ABC obliczamy ze wzoru:





1
2
ABC
B
A
C
A
B
A
C
A
P
x
x
y
y
y
y
x
x






Obliczamy pole równoległoboku:





















1
2
2 2
1
2
3
1
4
5
1
5
2
1
4 9
4 3
24
24
2
ABCD
ABC
B
A
C
A
B
A
C
A
P
P
x
x
y
y
y
y
x
x




















Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zauważenie, że
2


ABCD
ABC
P
P
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zastosowanie wzoru na pole trójkąta:





1
2
ABC
B
A
C
A
B
A
C
A
P
x
x
y
y
y
y
x
x






Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie pola trójkąta: 12
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie pola równoległoboku:
24
ABCD
P

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B (pole = 24)

\n

Sposób 1 - Iloczyn wektorowy (wyznacznik)

\n

Krok 1: Wyznaczamy wektory tworzące boki równoległoboku.

\n

Mamy wierzchołki \\(A = (-1, -5)\\), \\(B = (3, -1)\\), \\(C = (2, 4)\\). Boki \\(AB\\) i \\(BC\\) są bokami przylegającymi:

\n

\\[\\vec{AB} = [3-(-1),\\ -1-(-5)] = [4,\\ 4]\\]

\n

\\[\\vec{BC} = [2-3,\\ 4-(-1)] = [-1,\\ 5]\\]

\n

Krok 2: Pole równoległoboku = wartość bezwzględna wyznacznika macierzy tych wektorów.

\n

\\[P = \\left|\\det\\begin{pmatrix} 4 & 4 \\\\ -1 & 5 \\end{pmatrix}\\right| = |4 \\cdot 5 - 4 \\cdot (-1)| = |20 + 4| = |24|\\]

\n

\\[\\boxed{P = 24}\\]

\n

Sposób 2 - Przez pole trójkąta ABC

\n

Przekątna \\(AC\\) dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty. Zatem:

\n

\\[P_{\\text{równoległoboku}} = 2 \\cdot P_{\\triangle ABC}\\]

\n

Pole trójkąta ze współrzędnych (wzór z geometrii analitycznej):

\n

\\[P_{\\triangle ABC} = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]

\n

Podstawiamy \\(A = (-1, -5)\\), \\(B = (3, -1)\\), \\(C = (2, 4)\\):

\n

\\[P_{\\triangle ABC} = \\frac{1}{2}\\left|(3-(-1))(4-(-5)) - (-1-(-5))(2-(-1))\\right|\\]

\n

\\[= \\frac{1}{2}\\left|4 \\cdot 9 - 4 \\cdot 3\\right| = \\frac{1}{2}\\left|36 - 12\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot 24 = 12\\]

\n

Zatem:
\\[P_{\\text{równoległoboku}} = 2 \\cdot 12 = \\boxed{24}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - pole trójkąta ze współrzędnych:
\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 2 do obliczenia pola trójkąta ABC.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole równoległoboku:
\\[P = ah\\]
Wzór wyjściowy (tutaj zrealizowany przez wyznacznik wektorów).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

To zadanie otwarte (obliczeniowe), ale typowe błędy prowadzące do złego wyniku:

\n

| Błąd | Skąd się bierze |
| Wynik \\(12\\) | Obliczono pole trójkąta ABC, ale zapomniano pomnożyć przez \\(2\\) |
| Wynik \\(20\\) | Błąd w wyznaczaniu różnic współrzędnych (np. pominięcie znaku minus przy \\(y_A = -5\\)) |
| Wynik \\(48\\) | Pomnożono pole przez \\(4\\) zamiast \\(2\\) (pomieszano z czworokątem bez symetrii) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(y_C - y_A = 4 - (-5)\\) łatwo zapomnieć o podwójnym minusie - wynik to \\(9\\), nie \\(-1\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Wzór wyznacznikowy daje pole trójkąta, nie równoległoboku - pamiętaj o pomnożeniu przez \\(2\\) (lub pomiń czynnik \\(\\frac{1}{2}\\) w wyznaczeniu pola przez wektory boków).
\n
⚠️ Uwaga: Wektory muszą wychodzić ze wspólnego wierzchołka (np. oba z \\(B\\): \\(\\vec{BA}\\) i \\(\\vec{BC}\\)) lub być bokami przylegającymi - nie wybieraj przypadkowych dwóch wektorów łączących wierzchołki!
\n

Pole równoległoboku: \\(P_{ABCD} = 24\\)

\n
Sposób 1 - Długość boku i wysokość
\n

Równanie prostej \\(AB\\) przez punkty \\(A=(-1,-5)\\) i \\(B=(3,-1)\\): współczynnik kierunkowy \\(a=\\dfrac{-1-(-5)}{3-(-1)}=\\dfrac{4}{4}=1\\).
Równanie: \\(y-(-5)=1\\cdot(x-(-1))\\), czyli \\(y=x-4\\).

\n

Prosta \\(CE\\) prostopadła do \\(AB\\) przez \\(C=(2, 4)\\): współczynnik \\(=-1\\), równanie: \\(y-4=-(x-2)\\), czyli \\(y=-x+6\\).

\n

Punkt \\(E\\) - przecięcie \\(AB\\) i \\(CE\\): układ \\(\\begin{cases} y=x-4 \\\\ y=-x+6 \\end{cases}\\) daje \\(x=5, y=1\\). \\(E=(5, 1)\\).

\n

Długość \\(|AB|\\): \\(\\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}\\).
Wysokość \\(|CE|\\): \\(\\sqrt{(5-2)^{2}+(1-4)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}\\).
\\[P = |AB|\\cdot|CE| = 4\\sqrt{2}\\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\cdot 2 = 24.\\]

\n
Sposób 2 - Iloczyn wektorowy (przez trójkąt \\(ABC\\))
\n

Pole trójkąta: \\(P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A}) - (y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})|\\).
\\(x_{B}-x_{A}=4\\), \\(y_{C}-y_{A}=9\\), \\(y_{B}-y_{A}=4\\), \\(x_{C}-x_{A}=3\\).
\\[P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}|4\\cdot 9 - 4\\cdot 3| = \\tfrac{1}{2}|36-12| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 24 = 12.\\]
Pole równoległoboku = \\(2\\cdot P_{ABC} = 24\\).

\n
Sposób 3 - Przez wektory
\n

\\(\\vec{AB}=(4, 4)\\), \\(\\vec{AC}=(3, 9)\\). Pole = \\(|\\vec{AB}\\times \\vec{AC}| = |4\\cdot 9 - 4\\cdot 3| = 24\\).

\n
CKE - przyznawanie punktów
\n\n

Pamiętaj: pole równoległoboku \\(ABCD\\) = \\(2\\cdot P_{ABC}\\) (bo przekątna dzieli go na dwa przystające trójkąty).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$24$

"}]}