Zadanie 34. (4 pkt)
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72,
a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens
kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Poziom podstawowy
25
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
26
BRUDNOPIS
MMA-P1_1P-134
PESEL
WYPEŁNIA ZDAJĄCY
WYPEŁNIA EGZAMINATOR
Suma za zad. 26-34
0
17
18
19
20
21
22
23
1
9
2
10
11
3
4
12
5
13
6
14
7
15
8
16
24
KOD EGZAMINATORA
Czytelny podpis egzaminatora
KOD ZDAJĄCEGO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Odpowiedzi
Nr
zad.
25
25
Miejsce na naklejkę
z nr. PESEL
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
B
B
C
D
D
C
A
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Zadanie 34. (4 pkt)
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72,
a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens
kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Rozwiązanie
Oznaczmy:
a - długość boku trójkąta równobocznego ABC, w który wpisano okręg o promieniu
2
r
,
H - wysokość tego ostrosłupa,
A
B
C
S
15
Schemat oceniania sierpień
Poziom podstawowy
- miara kąta między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Ponieważ
3
6
a
r
, to
4 3
a
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 72 , zatem
2
4 3
3
1
72
3
4
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa H: 48 3
72
12
H
, stąd
72
6 3
4 3
H
Zauważamy, że tg
r
H
, stąd
2
3
tg
9
6 3
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zaznaczenie kąta między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną lub wybór
właściwego kąta do dalszych obliczeń.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie długości boku trójkąta ABC:
4 3
a
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie wysokości ostrosłupa ABCS:
6 3
H
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie tangensa kąta między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:
3
tg
9
(Uwaga: zadanie jest otwarte - "A" w metadanych to błąd klasyfikacji, nie litera odpowiedzi ABCD.)
\nKrok 1. Oblicz bok podstawy \\(a\\) z promienia okręgu wpisanego.
\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\). Promień okręgu wpisanego:
\\[r = \\frac{a}{2\\sqrt{3}}\\]
Z danych \\(r = 2\\):
\\[2 = \\frac{a}{2\\sqrt{3}} \\implies a = 4\\sqrt{3}\\]
Krok 2. Oblicz pole podstawy.
\\[P_{ABC} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(4\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{48\\sqrt{3}}{4} = 12\\sqrt{3}\\]
Krok 3. Oblicz wysokość ostrosłupa \\(h\\) z objętości.
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_{ABC} \\cdot h \\implies 72 = \\frac{1}{3} \\cdot 12\\sqrt{3} \\cdot h = 4\\sqrt{3} \\cdot h\\]
\\[h = \\frac{72}{4\\sqrt{3}} = \\frac{18}{\\sqrt{3}} = \\frac{18\\sqrt{3}}{3} = 6\\sqrt{3}\\]
Krok 4. Zidentyfikuj szukany kąt.
\nNiech \\(O\\) - środek (centroid) podstawy \\(ABC\\), \\(M\\) - środek krawędzi \\(BC\\), \\(S\\) - wierzchołek.
\nSzukany kąt \\(\\varphi\\) to kąt \\(\\angle OSM\\) w trójkącie prostokątnym \\(SOM\\) (prostokąt przy \\(O\\)).
\nKrok 5. Oblicz \\(\\operatorname{tg}\\varphi\\).
\nW trójkącie \\(SOM\\):
\n\\[\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{OM}{SO} = \\frac{2}{6\\sqrt{3}} = \\frac{1}{3\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{9}\\]
\nWynik:
\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{\\sqrt{3}}{9}}\\]
Obliczamy długość apotemy \\(SM\\) (wysokość ściany bocznej):
\\[SM = \\sqrt{SO^2 + OM^2} = \\sqrt{(6\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{108 + 4} = \\sqrt{112} = 4\\sqrt{7}\\]
Kąt \\(\\varphi\\) między \\(SO\\) a ścianą \\(SBC\\):
\\[\\sin\\varphi = \\frac{OM}{SM} = \\frac{2}{4\\sqrt{7}} = \\frac{1}{2\\sqrt{7}}\\]
\\[\\cos\\varphi = \\frac{SO}{SM} = \\frac{6\\sqrt{3}}{4\\sqrt{7}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2\\sqrt{7}}\\]
\\[\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{\\sin\\varphi}{\\cos\\varphi} = \\frac{1/(2\\sqrt{7})}{3\\sqrt{3}/(2\\sqrt{7})} = \\frac{1}{3\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{9}\\]
Wynik zgodny. ✓
\nDział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]
Użyliśmy do wyznaczenia wysokości \\(h\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 15-17) - dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\qquad r = \\frac{P}{p} = \\frac{a}{2\\sqrt{3}}\\]
(gdzie \\(p = \\tfrac{3a}{2}\\) to półobwód) - użyliśmy do wyznaczenia \\(a\\) i pola podstawy.
Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przyległa}}\\]
Zastosowane w trójkącie \\(SOM\\).
⚠️ Uwaga: Kąt między wysokością a ścianą to NIE jest kąt między krawędzią boczną (\\(SA\\)) a podstawą - to inny kąt! Mylenie apotemy ostrosłupa (\\(SM\\)) z krawędzią boczną (\\(SA\\)) to jeden z najczęstszych błędów.\n
⚠️ Uwaga: Apotema podstawy (odległość od środka do środka boku, równa \\(r = 2\\)) to NIE to samo co promień okręgu opisanego (\\(R = 2r = 4\\)). Pomyłka tych dwóch wartości całkowicie zmienia wynik.\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\operatorname{tg}\\varphi\\) sprawdź, że masz: \\(\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{OM}{SO}\\), a nie odwrotnie - \\(OM\\) to przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\varphi\\) (leżąca w podstawie), a \\(SO\\) to ta przyległa do \\(\\varphi\\) (będąca wysokością ostrosłupa).\n
Tangens kąta: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{9}\\)
\nOznaczenia: \\(a\\) - bok trójkąta równobocznego \\(ABC\\), \\(r=2\\) - promień okręgu wpisanego, \\(H\\) - wysokość ostrosłupa, \\(\\alpha\\) - kąt między \\(H\\) a ścianą boczną.
\nZ wzoru \\(r=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\):
\\[2 = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6} \\Rightarrow a = \\dfrac{12}{\\sqrt{3}} = 4\\sqrt{3}.\\]
Objętość: \\(V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_{\\text{p}}\\cdot H\\). Pole trójkąta równobocznego \\(P_{\\text{p}}=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}=\\dfrac{(4\\sqrt{3})^{2}\\sqrt{3}}{4}=\\dfrac{48\\sqrt{3}}{4}=12\\sqrt{3}\\).
\\[72 = \\dfrac{1}{3}\\cdot 12\\sqrt{3}\\cdot H \\Rightarrow 72 = 4\\sqrt{3}\\cdot H \\Rightarrow H = \\dfrac{72}{4\\sqrt{3}} = \\dfrac{18}{\\sqrt{3}} = 6\\sqrt{3}.\\]
Kąt \\(\\alpha\\) między wysokością ostrosłupa a ścianą boczną - w przekroju przez wierzchołek \\(S\\) i apotemę (spodek wysokości ściany bocznej) - to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(r=2\\) (odległość środka podstawy od boku) i \\(H=6\\sqrt{3}\\).
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{r}{H} = \\dfrac{2}{6\\sqrt{3}} = \\dfrac{1}{3\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{9}.\\]
Dla \\(a=4\\sqrt{3}\\): \\(P_{\\text{p}}=12\\sqrt{3}\\), \\(V=\\tfrac{1}{3}\\cdot 12\\sqrt{3}\\cdot 6\\sqrt{3}=\\tfrac{1}{3}\\cdot 216=72\\) ✓.
\nPamiętaj: w ostrosłupie prawidłowym - kąt między wysokością ostrosłupa a ścianą boczną ma \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{r}{H}\\), gdzie \\(r\\) - promień okręgu wpisanego w podstawę, \\(H\\) - wysokość ostrosłupa.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$\\dfrac{\\sqrt{3}}{9}$
"}]}