{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem\n\n1\n2\n\nx\nx\nx\nf\ndla\n1\nx . Wartość funkcji f dla argumentu\nx\n2\n\njest równa\nA. 2\nB. 4\n\nC. 4\nD. 2\n\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 2x / x-1 dla x różnego od 1. Wartość funkcji f dla argumentu x = 2 jest równa A. 2, B. -4, C. 4, D. -2.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (4)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie do wzoru\n\nMamy daną funkcję:\n\\[f(x) = \\frac{2x}{x-1}\\]\n\nChcemy obliczyć \\(f(2)\\), czyli **podstawiamy \\(x = 2\\)** wszędzie tam, gdzie stoi \\(x\\):\n\n\\[f(2) = \\frac{2 \\cdot 2}{2 - 1} = \\frac{4}{1} = \\mathbf{4}\\]\n\n**Wynik: \\(f(2) = 4\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład wzoru\n\nZapiszmy wzór funkcji w innej postaci, żeby sprawdzić wynik:\n\n\\[f(x) = \\frac{2x}{x-1} = \\frac{2(x-1) + 2}{x-1} = 2 + \\frac{2}{x-1}\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\):\n\n\\[f(2) = 2 + \\frac{2}{2-1} = 2 + \\frac{2}{1} = 2 + 2 = \\mathbf{4}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(f(2) = 4\\)**, odpowiedź C.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości argumentu do wzoru funkcji i wykonanie działań arytmetycznych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(2\\) | Policzono tylko licznik: \\(2 \\cdot 2 = 4\\) i podzielono przez \\(2\\) zamiast przez \\(2-1\\), albo wzięto tylko \\(\\frac{2}{x-1} = 2\\) |\n| B: \\(-4\\) | Policzono mianownik jako \\(x - 1 = 2 - 1 = 1\\), ale zastosowano błędny znak - np. odjęto zamiast dodać, albo pomylono \\(x = -2\\) z \\(x = 2\\) |\n| D: \\(-2\\) | Typowy błąd: podstawiono \\(x = 2\\) do mianownika jako \\(1 - 2 = -1\\) (odwrócono kolejność odjemnych), co daje \\(\\frac{4}{-1} = -4\\), a potem podzielono przez 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to \\(x - 1\\), nie \\(1 - x\\)! Odwrócenie kolejności zmienia znak: \\(2 - 1 = 1\\), ale \\(1 - 2 = -1\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podstawiamy \\(x = 2\\) do **całego** wzoru - zarówno do licznika \\(2x\\), jak i do mianownika \\(x - 1\\). Nie liczymy ich osobno i nie zapominamy o którymś.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina funkcji: \\(x \\neq 1\\) (mianownik nie może być zerem). Argument \\(x = 2\\) należy do dziedziny, więc obliczenia są prawidłowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie\n\\[f(2) = \\dfrac{2\\cdot 2}{2-1} = \\dfrac{4}{1} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza funkcji\nWyrażenie \\(\\dfrac{2x}{x-1}\\) dla \\(x=2\\): licznik \\(=4\\), mianownik \\(=1\\). Wynik: \\(4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\):** pomylenie licznika z mianownikiem.\n- **B. \\(-4\\):** błędny znak.\n- **D. \\(-2\\):** zgadza się z \\(f(2) = -\\tfrac{2\\cdot 2}{2}\\) - zły wzór.\n\n**Pamiętaj:** podstawiamy dokładnie tak, jak określony jest wzór - najpierw licznik, potem mianownik.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 5. (1 pkt)<br>Funkcja f jest określona wzorem<br><br>1<br>2<br><br>x<br>x<br>x<br>f<br>dla<br>1<br>x . Wartość funkcji f dla argumentu<br>x<br>2<br><br>jest równa<br>A. 2<br>B. 4<br><br>C. 4<br>D. 2<br><br>Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 2x / x-1 dla x różnego od 1. Wartość funkcji f dla argumentu x = 2 jest równa A. 2, B. -4, C. 4, D. -2.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (4)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie do wzoru</h4>\n<p>Mamy daną funkcję:<br>\\[f(x) = \\frac{2x}{x-1}\\]</p>\n<p>Chcemy obliczyć \\(f(2)\\), czyli <strong>podstawiamy \\(x = 2\\)</strong> wszędzie tam, gdzie stoi \\(x\\):</p>\n<p>\\[f(2) = \\frac{2 \\cdot 2}{2 - 1} = \\frac{4}{1} = \\mathbf{4}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(f(2) = 4\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład wzoru</h4>\n<p>Zapiszmy wzór funkcji w innej postaci, żeby sprawdzić wynik:</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{2x}{x-1} = \\frac{2(x-1) + 2}{x-1} = 2 + \\frac{2}{x-1}\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = 2\\):</p>\n<p>\\[f(2) = 2 + \\frac{2}{2-1} = 2 + \\frac{2}{1} = 2 + 2 = \\mathbf{4}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>\\(f(2) = 4\\)</strong>, odpowiedź C.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości argumentu do wzoru funkcji i wykonanie działań arytmetycznych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(2\\) | Policzono tylko licznik: \\(2 \\cdot 2 = 4\\) i podzielono przez \\(2\\) zamiast przez \\(2-1\\), albo wzięto tylko \\(\\frac{2}{x-1} = 2\\) |<br>| B: \\(-4\\) | Policzono mianownik jako \\(x - 1 = 2 - 1 = 1\\), ale zastosowano błędny znak - np. odjęto zamiast dodać, albo pomylono \\(x = -2\\) z \\(x = 2\\) |<br>| D: \\(-2\\) | Typowy błąd: podstawiono \\(x = 2\\) do mianownika jako \\(1 - 2 = -1\\) (odwrócono kolejność odjemnych), co daje \\(\\frac{4}{-1} = -4\\), a potem podzielono przez 2 |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mianownik to \\(x - 1\\), nie \\(1 - x\\)! Odwrócenie kolejności zmienia znak: \\(2 - 1 = 1\\), ale \\(1 - 2 = -1\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podstawiamy \\(x = 2\\) do <strong>całego</strong> wzoru - zarówno do licznika \\(2x\\), jak i do mianownika \\(x - 1\\). Nie liczymy ich osobno i nie zapominamy o którymś.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dziedzina funkcji: \\(x \\neq 1\\) (mianownik nie może być zerem). Argument \\(x = 2\\) należy do dziedziny, więc obliczenia są prawidłowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie</h5>\n<p>\\[f(2) = \\dfrac{2\\cdot 2}{2-1} = \\dfrac{4}{1} = 4.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza funkcji</h5>\n<p>Wyrażenie \\(\\dfrac{2x}{x-1}\\) dla \\(x=2\\): licznik \\(=4\\), mianownik \\(=1\\). Wynik: \\(4\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\):</strong> pomylenie licznika z mianownikiem.</li><li><strong>B. \\(-4\\):</strong> błędny znak.</li><li><strong>D. \\(-2\\):</strong> zgadza się z \\(f(2) = -\\tfrac{2\\cdot 2}{2}\\) - zły wzór.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> podstawiamy dokładnie tak, jak określony jest wzór - najpierw licznik, potem mianownik.</p>"}]}