{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nLiczby\nrzeczywiste\n, ,\na b c\nspełniają\nwarunki:\n3\na\nb\n\n\n,\n4\nb\nc\n\n\ni\n5\nc\na\n\n\nWtedy suma a\nb\nc\n\n\njest równa\nA. 20\nB. 6\nC. 4\nD. 1\nx\n2\n4\nx\n2\n4\nx\n4\nx\n2\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nLiczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunki: a+b=3, b+c=4, c+a=5. Wtedy suma a+b+c jest równa A. 20, B. 6, C. 4, D. 15.","answer":"B","answer_text":"2\n\n12\n\n\n0","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(a+b+c = 6\\)\n\n## Sposób 1 - Dodawanie wszystkich równań\n\nMamy trzy równania:\n\\[a + b = 3\\]\n\\[b + c = 4\\]\n\\[c + a = 5\\]\n\n**Dodajemy stronami wszystkie trzy równania:**\n\\[(a+b) + (b+c) + (c+a) = 3 + 4 + 5\\]\n\nLewa strona: każda z trzech liter pojawia się dokładnie **dwa razy**, więc:\n\\[2a + 2b + 2c = 12\\]\n\\[2(a+b+c) = 12\\]\n\nDzielimy obie strony przez 2:\n\\[\\boxed{a+b+c = 6}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczanie poszczególnych zmiennych\n\nZ pierwszego i trzeciego równania wyznaczamy \\(b\\) i \\(a\\):\n\\[a + b = 3 \\implies b = 3 - a\\]\n\nPodstawiamy do drugiego równania:\n\\[b + c = 4 \\implies (3-a) + c = 4 \\implies c = a + 1\\]\n\nPodstawiamy do trzeciego równania:\n\\[c + a = 5 \\implies (a+1) + a = 5 \\implies 2a = 4 \\implies a = 2\\]\n\nWyznaczamy pozostałe:\n\\[b = 3 - 2 = 1, \\quad c = 2 + 1 = 3\\]\n\nSprawdzamy:\n\\[a + b = 2 + 1 = 3 \\checkmark\\]\n\\[b + c = 1 + 3 = 4 \\checkmark\\]\n\\[c + a = 3 + 2 = 5 \\checkmark\\]\n\nSuma:\n\\[a + b + c = 2 + 1 + 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne (dodawanie równań, dzielenie przez stałą).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(20\\) | Brak sensownej interpretacji - być może uczeń pomnożył \\(3 \\cdot 4 \\cdot 5\\) zamiast dodać równania |\n| C. \\(4\\) | Uczeń bierze tylko jedno z równań (np. \\(b+c=4\\)) i traktuje je jako wynik - ignoruje pozostałe warunki |\n| D. \\(1\\) | Możliwy błąd: odjęcie zamiast dodania, lub pomieszanie działań na równaniach |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiadanie jedną z wartości \\(3\\), \\(4\\) lub \\(5\\) - uczeń myli jedno z równań cząstkowych z szukaną sumą \\(a+b+c\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) osobno! Sposób 1 (dodanie wszystkich równań) daje wynik w jednym kroku - to typ zadania, gdzie szukamy sprytnego skrótu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że po dodaniu stronami otrzymujesz \\(2(a+b+c)\\), nie \\(a+b+c\\) - podziel przez 2!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Dodanie stronami\nDodajemy wszystkie trzy równania:\n\\[(a+b)+(b+c)+(c+a) = 3+4+5\\]\n\\[2a+2b+2c = 12\\]\n\\[a+b+c = 6.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(a, b, c\\)\nZ pierwszego \\(a=3-b\\), z drugiego \\(c=4-b\\). Trzecie: \\((4-b)+(3-b)=5\\), stąd \\(7-2b=5\\), \\(b=1\\). Wtedy \\(a=2\\), \\(c=3\\).\nSuma: \\(2+1+3=6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20\\):** bez podziału przez \\(2\\) po dodaniu stronami.\n- **C. \\(4\\):** wynik tylko jednego z równań.\n- **D. \\(1\\):** wartość \\(b\\), nie sumy.\n\n**Trik:** dodając równania typu \\(a+b, b+c, c+a\\) uzyskujemy \\(2(a+b+c)\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 6. (1 pkt)
Liczby
rzeczywiste
, ,
a b c
spełniają
warunki:
3
a
b


,
4
b
c


i
5
c
a


Wtedy suma a
b
c


jest równa
A. 20
B. 6
C. 4
D. 1
x
2
4
x
2
4
x
4
x
2

\n

Poziom podstawowy
3
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
4
Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunki: a+b=3, b+c=4, c+a=5. Wtedy suma a+b+c jest równa A. 20, B. 6, C. 4, D. 15.

","answer_text_html":"

2

12


0

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(a+b+c = 6\\)

\n

Sposób 1 - Dodawanie wszystkich równań

\n

Mamy trzy równania:
\\[a + b = 3\\]
\\[b + c = 4\\]
\\[c + a = 5\\]

\n

Dodajemy stronami wszystkie trzy równania:
\\[(a+b) + (b+c) + (c+a) = 3 + 4 + 5\\]

\n

Lewa strona: każda z trzech liter pojawia się dokładnie dwa razy, więc:
\\[2a + 2b + 2c = 12\\]
\\[2(a+b+c) = 12\\]

\n

Dzielimy obie strony przez 2:
\\[\\boxed{a+b+c = 6}\\]

\n

Sposób 2 - Wyznaczanie poszczególnych zmiennych

\n

Z pierwszego i trzeciego równania wyznaczamy \\(b\\) i \\(a\\):
\\[a + b = 3 \\implies b = 3 - a\\]

\n

Podstawiamy do drugiego równania:
\\[b + c = 4 \\implies (3-a) + c = 4 \\implies c = a + 1\\]

\n

Podstawiamy do trzeciego równania:
\\[c + a = 5 \\implies (a+1) + a = 5 \\implies 2a = 4 \\implies a = 2\\]

\n

Wyznaczamy pozostałe:
\\[b = 3 - 2 = 1, \\quad c = 2 + 1 = 3\\]

\n

Sprawdzamy:
\\[a + b = 2 + 1 = 3 \\checkmark\\]
\\[b + c = 1 + 3 = 4 \\checkmark\\]
\\[c + a = 3 + 2 = 5 \\checkmark\\]

\n

Suma:
\\[a + b + c = 2 + 1 + 3 = \\mathbf{6}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne (dodawanie równań, dzielenie przez stałą).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A. \\(20\\) | Brak sensownej interpretacji - być może uczeń pomnożył \\(3 \\cdot 4 \\cdot 5\\) zamiast dodać równania |
| C. \\(4\\) | Uczeń bierze tylko jedno z równań (np. \\(b+c=4\\)) i traktuje je jako wynik - ignoruje pozostałe warunki |
| D. \\(1\\) | Możliwy błąd: odjęcie zamiast dodania, lub pomieszanie działań na równaniach |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to odpowiadanie jedną z wartości \\(3\\), \\(4\\) lub \\(5\\) - uczeń myli jedno z równań cząstkowych z szukaną sumą \\(a+b+c\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie trzeba wyznaczać \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) osobno! Sposób 1 (dodanie wszystkich równań) daje wynik w jednym kroku - to typ zadania, gdzie szukamy sprytnego skrótu.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że po dodaniu stronami otrzymujesz \\(2(a+b+c)\\), nie \\(a+b+c\\) - podziel przez 2!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Dodanie stronami
\n

Dodajemy wszystkie trzy równania:
\\[(a+b)+(b+c)+(c+a) = 3+4+5\\]
\\[2a+2b+2c = 12\\]
\\[a+b+c = 6.\\]

\n
Sposób 2 - Wyznaczenie \\(a, b, c\\)
\n

Z pierwszego \\(a=3-b\\), z drugiego \\(c=4-b\\). Trzecie: \\((4-b)+(3-b)=5\\), stąd \\(7-2b=5\\), \\(b=1\\). Wtedy \\(a=2\\), \\(c=3\\).
Suma: \\(2+1+3=6\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: dodając równania typu \\(a+b, b+c, c+a\\) uzyskujemy \\(2(a+b+c)\\).

"}]}