{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nProstą równoległą do prostej o równaniu\n2\n4\n3\n3\ny\nx\n\n\njest prosta opisana równaniem\nA.\n2\n4\n3\n3\ny\nx\n\n\nB.\n2\n4\n3\n3\ny\nx\n\n\nC.\n3\n4\n2\n3\ny\nx\n\n\nD.\n3\n4\n2\n3\ny\nx\n\n\nProstą równoległą do prostej o równaniu y = 2/3 x - 4/3 jest prosta opisana równaniem","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(y = \\dfrac{2}{3}x + \\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - porównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste są **równoległe**, gdy mają **jednakowy współczynnik kierunkowy** \\(a\\) (i różne wyrazy wolne \\(b\\), żeby nie były tą samą prostą).\n\nProsta dana ma równanie:\n\\[y = \\frac{2}{3}x - \\frac{4}{3}\\]\n\nJej współczynnik kierunkowy to \\(a = \\dfrac{2}{3}\\).\n\nSzukamy prostej równoległej, czyli takiej, gdzie **też \\(a = \\dfrac{2}{3}\\)**, ale wyraz wolny jest inny.\n\nSprawdzamy odpowiedzi:\n- **A:** \\(a = -\\dfrac{2}{3}\\) - inne \\(a\\), nie równoległa\n- **B:** \\(a = \\dfrac{2}{3}\\) ✓ - **taki sam współczynnik kierunkowy!** Wyraz wolny \\(\\dfrac{4}{3} \\neq -\\dfrac{4}{3}\\), więc to inna prosta.\n- **C:** \\(a = \\dfrac{3}{2}\\) - inne \\(a\\), nie równoległa\n- **D:** \\(a = -\\dfrac{3}{2}\\) - inne \\(a\\), nie równoległa\n\n**Odpowiedź B jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez punkty\n\nSprawdzamy, że proste z odpowiedzi B i dana prosta **nigdy się nie przecinają** (są równoległe, ale różne).\n\nGdyby się przecinały, istniałoby \\(x\\) spełniające:\n\\[\\frac{2}{3}x - \\frac{4}{3} = \\frac{2}{3}x + \\frac{4}{3}\\]\n\\[-\\frac{4}{3} = \\frac{4}{3}\\]\n\nTo **sprzeczność** - równanie bez rozwiązania, więc proste **nigdy się nie przecinają** - są równoległe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n\\[\\text{Proste równoległe} \\iff a_1 = a_2\\]\n\ngdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych w postaci \\(y = ax + b\\).\n\nUżyliśmy tego warunku w Sposobie 1 do bezpośredniego odczytania i porównania współczynników.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Zmieniono **znak** współczynnika kierunkowego na przeciwny: \\(-\\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{2}{3}\\). To prosta **prostopadła** do prostopadłej (symetryczna względem osi \\(y\\)), ale **nie równoległa**. |\n| C | Wzięto **odwrotność** współczynnika: \\(\\dfrac{3}{2}\\) zamiast \\(\\dfrac{2}{3}\\). Typowa zamiana licznika z mianownikiem. |\n| D | Połączono oba błędy: odwrócono i zmieniono znak - \\(-\\dfrac{3}{2}\\). Ta prosta jest **prostopadła** do prostej danej (\\(-\\dfrac{3}{2} \\cdot \\dfrac{2}{3} = -1\\)). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy **odwrotny i przeciwny**, czyli \\(a_\\perp = -\\dfrac{1}{a}\\). Odpowiedź D to właśnie prosta prostopadła do danej - nie mylić z równoległą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie proste o tym samym \\(a\\) **i tym samym** \\(b\\) to ta sama prosta - nie równoległe. Odpowiedź B ma inny wyraz wolny (\\(+\\dfrac{4}{3}\\) zamiast \\(-\\dfrac{4}{3}\\)), więc to poprawna, odrębna prosta równoległa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny (\\(b\\)) nie ma żadnego wpływu na równoległość - liczy się **wyłącznie** współczynnik kierunkowy \\(a\\). Nie szukaj prostej z \"podobnym\" \\(b\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nDwie proste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są równoległe \\(\\iff a_{1}=a_{2}\\) (i \\(b_{1}\\ne b_{2}\\) - inaczej pokrywają się).\nTu \\(a_{1}=\\tfrac{2}{3}\\). Szukamy prostej z tym samym współczynnikiem kierunkowym.\nTylko **B**: \\(y=\\tfrac{2}{3}x+\\tfrac{4}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- **A.** \\(a=-\\tfrac{2}{3}\\): różny znak, nierównoległa.\n- **C.** \\(a=\\tfrac{3}{2}\\): to prosta prostopadła (bo \\(\\tfrac{2}{3}\\cdot\\tfrac{3}{2}=1\\ne -1\\), ale kierunek inny).\n- **D.** \\(a=-\\tfrac{3}{2}\\): to prosta prostopadła.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nWspółczynnik kierunkowy odbiega od \\(\\tfrac{2}{3}\\) → proste nie są równoległe.\n\n**Pamiętaj:** równoległe → ten sam współczynnik kierunkowy \\(a\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 7. (1 pkt)
Prostą równoległą do prostej o równaniu
2
4
3
3
y
x


jest prosta opisana równaniem
A.
2
4
3
3
y
x


B.
2
4
3
3
y
x


C.
3
4
2
3
y
x


D.
3
4
2
3
y
x


Prostą równoległą do prostej o równaniu y = 2/3 x - 4/3 jest prosta opisana równaniem

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\(y = \\dfrac{2}{3}x + \\dfrac{4}{3}\\)

\n

Sposób 1 - porównanie współczynników kierunkowych

\n

Dwie proste są równoległe, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \\(a\\) (i różne wyrazy wolne \\(b\\), żeby nie były tą samą prostą).

\n

Prosta dana ma równanie:
\\[y = \\frac{2}{3}x - \\frac{4}{3}\\]

\n

Jej współczynnik kierunkowy to \\(a = \\dfrac{2}{3}\\).

\n

Szukamy prostej równoległej, czyli takiej, gdzie też \\(a = \\dfrac{2}{3}\\), ale wyraz wolny jest inny.

\n

Sprawdzamy odpowiedzi:

\n\n

Odpowiedź B jest poprawna.

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez punkty

\n

Sprawdzamy, że proste z odpowiedzi B i dana prosta nigdy się nie przecinają (są równoległe, ale różne).

\n

Gdyby się przecinały, istniałoby \\(x\\) spełniające:
\\[\\frac{2}{3}x - \\frac{4}{3} = \\frac{2}{3}x + \\frac{4}{3}\\]
\\[-\\frac{4}{3} = \\frac{4}{3}\\]

\n

To sprzeczność - równanie bez rozwiązania, więc proste nigdy się nie przecinają - są równoległe. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - warunek równoległości prostych:

\n

\\[\\text{Proste równoległe} \\iff a_1 = a_2\\]

\n

gdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych w postaci \\(y = ax + b\\).

\n

Użyliśmy tego warunku w Sposobie 1 do bezpośredniego odczytania i porównania współczynników.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Zmieniono znak współczynnika kierunkowego na przeciwny: \\(-\\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{2}{3}\\). To prosta prostopadła do prostopadłej (symetryczna względem osi \\(y\\)), ale nie równoległa. |
| C | Wzięto odwrotność współczynnika: \\(\\dfrac{3}{2}\\) zamiast \\(\\dfrac{2}{3}\\). Typowa zamiana licznika z mianownikiem. |
| D | Połączono oba błędy: odwrócono i zmieniono znak - \\(-\\dfrac{3}{2}\\). Ta prosta jest prostopadła do prostej danej (\\(-\\dfrac{3}{2} \\cdot \\dfrac{2}{3} = -1\\)). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy odwrotny i przeciwny, czyli \\(a_\\perp = -\\dfrac{1}{a}\\). Odpowiedź D to właśnie prosta prostopadła do danej - nie mylić z równoległą!
\n
⚠️ Uwaga: Dwie proste o tym samym \\(a\\) i tym samym \\(b\\) to ta sama prosta - nie równoległe. Odpowiedź B ma inny wyraz wolny (\\(+\\dfrac{4}{3}\\) zamiast \\(-\\dfrac{4}{3}\\)), więc to poprawna, odrębna prosta równoległa.
\n
⚠️ Uwaga: Wyraz wolny (\\(b\\)) nie ma żadnego wpływu na równoległość - liczy się wyłącznie współczynnik kierunkowy \\(a\\). Nie szukaj prostej z "podobnym" \\(b\\)!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Warunek równoległości
\n

Dwie proste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są równoległe \\(\\iff a_{1}=a_{2}\\) (i \\(b_{1}\\ne b_{2}\\) - inaczej pokrywają się).
Tu \\(a_{1}=\\tfrac{2}{3}\\). Szukamy prostej z tym samym współczynnikiem kierunkowym.
Tylko B: \\(y=\\tfrac{2}{3}x+\\tfrac{4}{3}\\).

\n
Sposób 2 - Eliminacja
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n

Współczynnik kierunkowy odbiega od \\(\\tfrac{2}{3}\\) → proste nie są równoległe.

\n

Pamiętaj: równoległe → ten sam współczynnik kierunkowy \\(a\\).

"}]}