{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nDla każdych liczb rzeczywistych a, b wyrażenie\n1\n\n\n\na\nb\nab\njest równe\nA. \n\n\n1\n1\n\n\na\nb\nB. \n\n\n1\n1\n\n\nb\na\nC. \n\n\n1\n1\n\n\na\nb\nD. \n\n\n1\n\n\na\nb\na\nDla każdych liczb rzeczywistych a, b wyrażenie a-b+ab-1 jest równe A. (a+1)(b-1), B. (1-b)(1+a), C. (a-1)(b+1), D. (a+b)(1+a).","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[(a-1)(b+1)\\]\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\nRozkładamy wyrażenie na czynniki przez **grupowanie**. Szukamy par wyrazów, które mają wspólny czynnik.\n\nZaczynamy od wyrażenia:\n\\[a - b + ab - 1\\]\n\n**Grupujemy wyrazy 1. i 3. oraz 2. i 4.:**\n\\[= (a + ab) + (-b - 1)\\]\n\nWyciągamy czynniki przed nawiasy:\n\\[= a(1 + b) - 1(b + 1)\\]\n\nZauważamy, że \\((1+b) = (b+1)\\) - obydwa nawiasy są identyczne:\n\\[= a(b+1) - 1\\cdot(b+1)\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik \\((b+1)\\):\n\\[\\boxed{= (a - 1)(b + 1)}\\]\n\nTo właśnie odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - Grupowanie inaczej + weryfikacja przez wymnożenie\n\nTym razem grupujemy wyrazy 1. i 4. oraz 2. i 3.:\n\\[a - b + ab - 1 = (a - 1) + (ab - b)\\]\n\nWyciągamy czynniki:\n\\[= (a - 1) + b(a - 1)\\]\n\nObydwa składniki mają wspólny czynnik \\((a-1)\\):\n\\[= (a-1)(1 + b) = (a-1)(b+1)\\]\n\n**Weryfikacja przez wymnożenie:** sprawdzamy, czy \\((a-1)(b+1)\\) daje wyjściowe wyrażenie:\n\\[(a-1)(b+1) = ab + a - b - 1 = a - b + ab - 1 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wyciągania czynnika przed nawias (działanie odwrotne do rozdzielności mnożenia względem dodawania), które jest wiedzą z podstawówki / gimnazjum. Karta wzorów nie jest tu potrzebna.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wymnożenie | Błąd |\n| **A** | \\((a+1)(b-1) = ab - a + b - 1\\) | Zamieniono znaki przy \\(a\\) i \\(b\\): wyszło \\(-a+b\\) zamiast \\(+a-b\\) - typowa pomyłka ze znakami przy grupowaniu |\n| **B** | \\((1-b)(1+a) = 1 + a - b - ab\\) | Znak przed \\(ab\\) jest **ujemny** (\\(-ab\\)), a powinien być dodatni; ponadto pojawia się stała \\(+1\\) zamiast \\(-1\\) |\n| **D** | \\((a+b)(1+a) = a + a^2 + b + ab\\) | Pojawia się \\(a^2\\) - wyraz kwadratowy, którego nie ma w wyjściowym wyrażeniu; odpowiedź zupełnie niezgodna |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu uważaj na znaki - gdy wyciągasz \\(-1\\) przed nawias, wszystkie znaki wewnątrz się odwracają: \\(-b - 1 = -1 \\cdot (b+1)\\), **nie** \\(-1\\cdot(b-1)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B wygląda podobnie do C - \\((1-b)\\) zamiast \\((a-1)\\). Zwróć uwagę na kolejność liter: \\((1-b)(1+a) = -(b-1)(1+a)\\) - to zupełnie inne wyrażenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik przez wymnożenie nawiasów. To zajmuje 10 sekund i eliminuje ryzyko błędu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\nGrupujemy wyrazy:\n\\[a - b + ab - 1 = (a + ab) + (-b - 1) = a(1+b) - (b+1) = (b+1)(a - 1) = (a-1)(b+1).\\]\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie iloczynu (weryfikacja)\n\\((a-1)(b+1) = ab + a - b - 1\\) - dokładnie jak w zadaniu.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\((a+1)(b-1) = ab - a + b - 1\\) - błędne znaki przy \\(a, b\\).\n- **B.** \\((1-b)(1+a) = 1 + a - b - ab\\) - błędny znak przy \\(ab\\).\n- **D.** \\((a+b)(1+a) = a + a^{2} + b + ab\\) - całkowicie inne.\n\n**Trik:** grupuj pary o wspólnym czynniku: \\((a+ab)\\) i \\((-b-1)\\).","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"algebra","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Dla każdych liczb rzeczywistych a, b wyrażenie
1



a
b
ab
jest równe
A. 


1
1


a
b
B. 


1
1


b
a
C. 


1
1


a
b
D. 


1


a
b
a
Dla każdych liczb rzeczywistych a, b wyrażenie a-b+ab-1 jest równe A. (a+1)(b-1), B. (1-b)(1+a), C. (a-1)(b+1), D. (a+b)(1+a).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\[(a-1)(b+1)\\]

\n

Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)

\n

Rozkładamy wyrażenie na czynniki przez grupowanie. Szukamy par wyrazów, które mają wspólny czynnik.

\n

Zaczynamy od wyrażenia:
\\[a - b + ab - 1\\]

\n

Grupujemy wyrazy 1. i 3. oraz 2. i 4.:
\\[= (a + ab) + (-b - 1)\\]

\n

Wyciągamy czynniki przed nawiasy:
\\[= a(1 + b) - 1(b + 1)\\]

\n

Zauważamy, że \\((1+b) = (b+1)\\) - obydwa nawiasy są identyczne:
\\[= a(b+1) - 1\\cdot(b+1)\\]

\n

Wyciągamy wspólny czynnik \\((b+1)\\):
\\[\\boxed{= (a - 1)(b + 1)}\\]

\n

To właśnie odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - Grupowanie inaczej + weryfikacja przez wymnożenie

\n

Tym razem grupujemy wyrazy 1. i 4. oraz 2. i 3.:
\\[a - b + ab - 1 = (a - 1) + (ab - b)\\]

\n

Wyciągamy czynniki:
\\[= (a - 1) + b(a - 1)\\]

\n

Obydwa składniki mają wspólny czynnik \\((a-1)\\):
\\[= (a-1)(1 + b) = (a-1)(b+1)\\]

\n

Weryfikacja przez wymnożenie: sprawdzamy, czy \\((a-1)(b+1)\\) daje wyjściowe wyrażenie:
\\[(a-1)(b+1) = ab + a - b - 1 = a - b + ab - 1 \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wyciągania czynnika przed nawias (działanie odwrotne do rozdzielności mnożenia względem dodawania), które jest wiedzą z podstawówki / gimnazjum. Karta wzorów nie jest tu potrzebna.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wymnożenie | Błąd |
| A | \\((a+1)(b-1) = ab - a + b - 1\\) | Zamieniono znaki przy \\(a\\) i \\(b\\): wyszło \\(-a+b\\) zamiast \\(+a-b\\) - typowa pomyłka ze znakami przy grupowaniu |
| B | \\((1-b)(1+a) = 1 + a - b - ab\\) | Znak przed \\(ab\\) jest ujemny (\\(-ab\\)), a powinien być dodatni; ponadto pojawia się stała \\(+1\\) zamiast \\(-1\\) |
| D | \\((a+b)(1+a) = a + a^2 + b + ab\\) | Pojawia się \\(a^2\\) - wyraz kwadratowy, którego nie ma w wyjściowym wyrażeniu; odpowiedź zupełnie niezgodna |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy grupowaniu uważaj na znaki - gdy wyciągasz \\(-1\\) przed nawias, wszystkie znaki wewnątrz się odwracają: \\(-b - 1 = -1 \\cdot (b+1)\\), nie \\(-1\\cdot(b-1)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B wygląda podobnie do C - \\((1-b)\\) zamiast \\((a-1)\\). Zwróć uwagę na kolejność liter: \\((1-b)(1+a) = -(b-1)(1+a)\\) - to zupełnie inne wyrażenie.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź wynik przez wymnożenie nawiasów. To zajmuje 10 sekund i eliminuje ryzyko błędu.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Metoda grupowania
\n

Grupujemy wyrazy:
\\[a - b + ab - 1 = (a + ab) + (-b - 1) = a(1+b) - (b+1) = (b+1)(a - 1) = (a-1)(b+1).\\]

\n
Sposób 2 - Rozwinięcie iloczynu (weryfikacja)
\n

\\((a-1)(b+1) = ab + a - b - 1\\) - dokładnie jak w zadaniu.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: grupuj pary o wspólnym czynniku: \\((a+ab)\\) i \\((-b-1)\\).

"}]}