{"id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2013,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nWierzchołek paraboli o równaniu\n2\n(\n1)\n2\ny\nx\nc\n\n\n\nleży na prostej o równaniu\n6\n\ny\n. Wtedy\nA.\n6\n\n\nc\nB.\n3\n\n\nc\nC.\n3\n\nc\nD.\n6\n\nc\nWierzchołek paraboli o równaniu y=(x-1)^2+2c leży na prostej o równaniu y=6. Wtedy A. c=-6, B. c=-3, C. c=3, D. c=6","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n## Sposób 1 - odczyt wierzchołka i porównanie z prostą\n\nParabola ma równanie w **postaci kanonicznej**:\n\\[y = (x - 1)^2 + 2c\\]\n\nZ postaci kanonicznej \\(y = a(x-p)^2 + q\\) od razu odczytujemy wierzchołek:\n\\[W = (p, q) = (1, 2c)\\]\n\nWierzchołek leży na prostej \\(y = 6\\), więc współrzędna \\(y\\) wierzchołka musi być równa \\(6\\):\n\\[2c = 6\\]\n\\[c = 3\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy: dla \\(c = 3\\) równanie paraboli to:\n\\[y = (x-1)^2 + 2 \\cdot 3 = (x-1)^2 + 6\\]\n\nWierzchołek tej paraboli to \\(W = (1, 6)\\).\n\nCzy punkt \\((1, 6)\\) leży na prostej \\(y = 6\\)? Podstawiamy:\n\\[6 = 6 \\checkmark\\]\n\nZgadza się - wierzchołek faktycznie leży na prostej \\(y = 6\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna trójmianu kwadratowego:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q)\\).\n\nUżyliśmy tego wprost: z zapisu \\((x-1)^2 + 2c\\) odczytaliśmy \\(p = 1\\) i \\(q = 2c\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń stawia \\(c = 6\\) (bierze całe \\(y = 6\\) jako wartość \\(c\\) bez dzielenia przez 2), a potem dodaje znak minus bez powodu - podwójny błąd |\n| B | Uczeń poprawnie rozwiązuje \\(2c = 6\\), ale zamiast \\(c = 3\\) zapisuje \\(c = -3\\) - pomyłka znaku |\n| D | Uczeń utożsamia \\(c\\) z \\(2c\\), czyli stawia \\(c = 6\\) zamiast \\(2c = 6\\) - zapomina o mnożniku 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędna \\(y\\) wierzchołka to \\(2c\\), a nie \\(c\\)! Mnożnik \\(2\\) łatwo przeoczyć - zawsze uważnie przepisuj wierzchołek z równania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\((x - p)^2\\) znak przy \\(p\\) jest **odjęty**. Tutaj mamy \\((x - 1)^2\\), więc \\(p = +1\\) (nie \\(-1\\)). To nie wpływa na wynik tego zadania, ale jest częstym źródłem błędów przy podobnych zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(y = 6\\) jest pozioma - wierzchołek leży na niej, gdy jego współrzędna \\(y\\) (nie \\(x\\)!) wynosi \\(6\\). Nie mieszaj współrzędnych!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna paraboli\nOgólna postać kanoniczna: \\(y=a(x-p)^{2}+q\\), wierzchołek \\(W=(p, q)\\).\nTu \\(p=1\\), \\(q=2c\\). Wierzchołek leży na prostej \\(y=6\\), więc \\(q=6\\):\n\\[2c = 6 \\Rightarrow c = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(c=3\\): \\(y=(x-1)^{2}+6\\), wierzchołek \\((1, 6)\\) - na prostej \\(y=6\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(c=-6\\):** \\(q=-12\\), nie \\(6\\).\n- **B. \\(c=-3\\):** \\(q=-6\\).\n- **D. \\(c=6\\):** \\(q=12\\), nie \\(6\\).\n\n**Pamiętaj:** druga współrzędna wierzchołka \\(q\\) to wartość funkcji w wierzchołku - równa \\(6\\) w tym zadaniu.","image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Wierzchołek paraboli o równaniu<br>2<br>(<br>1)<br>2<br>y<br>x<br>c<br><br><br><br>leży na prostej o równaniu<br>6<br><br>y<br>. Wtedy<br>A.<br>6<br><br><br>c<br>B.<br>3<br><br><br>c<br>C.<br>3<br><br>c<br>D.<br>6<br><br>c<br>Wierzchołek paraboli o równaniu y=(x-1)^2+2c leży na prostej o równaniu y=6. Wtedy A. c=-6, B. c=-3, C. c=3, D. c=6</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<h4>Sposób 1 - odczyt wierzchołka i porównanie z prostą</h4>\n<p>Parabola ma równanie w <strong>postaci kanonicznej</strong>:<br>\\[y = (x - 1)^2 + 2c\\]</p>\n<p>Z postaci kanonicznej \\(y = a(x-p)^2 + q\\) od razu odczytujemy wierzchołek:<br>\\[W = (p, q) = (1, 2c)\\]</p>\n<p>Wierzchołek leży na prostej \\(y = 6\\), więc współrzędna \\(y\\) wierzchołka musi być równa \\(6\\):<br>\\[2c = 6\\]<br>\\[c = 3\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: C</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy: dla \\(c = 3\\) równanie paraboli to:<br>\\[y = (x-1)^2 + 2 \\cdot 3 = (x-1)^2 + 6\\]</p>\n<p>Wierzchołek tej paraboli to \\(W = (1, 6)\\).</p>\n<p>Czy punkt \\((1, 6)\\) leży na prostej \\(y = 6\\)? Podstawiamy:<br>\\[6 = 6 \\checkmark\\]</p>\n<p>Zgadza się - wierzchołek faktycznie leży na prostej \\(y = 6\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna trójmianu kwadratowego:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>gdzie wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q)\\).</p>\n<p>Użyliśmy tego wprost: z zapisu \\((x-1)^2 + 2c\\) odczytaliśmy \\(p = 1\\) i \\(q = 2c\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń stawia \\(c = 6\\) (bierze całe \\(y = 6\\) jako wartość \\(c\\) bez dzielenia przez 2), a potem dodaje znak minus bez powodu - podwójny błąd |<br>| B | Uczeń poprawnie rozwiązuje \\(2c = 6\\), ale zamiast \\(c = 3\\) zapisuje \\(c = -3\\) - pomyłka znaku |<br>| D | Uczeń utożsamia \\(c\\) z \\(2c\\), czyli stawia \\(c = 6\\) zamiast \\(2c = 6\\) - zapomina o mnożniku 2 |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współrzędna \\(y\\) wierzchołka to \\(2c\\), a nie \\(c\\)! Mnożnik \\(2\\) łatwo przeoczyć - zawsze uważnie przepisuj wierzchołek z równania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W postaci kanonicznej \\((x - p)^2\\) znak przy \\(p\\) jest <strong>odjęty</strong>. Tutaj mamy \\((x - 1)^2\\), więc \\(p = +1\\) (nie \\(-1\\)). To nie wpływa na wynik tego zadania, ale jest częstym źródłem błędów przy podobnych zadaniach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta \\(y = 6\\) jest pozioma - wierzchołek leży na niej, gdy jego współrzędna \\(y\\) (nie \\(x\\)!) wynosi \\(6\\). Nie mieszaj współrzędnych!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Postać kanoniczna paraboli</h5>\n<p>Ogólna postać kanoniczna: \\(y=a(x-p)^{2}+q\\), wierzchołek \\(W=(p, q)\\).<br>Tu \\(p=1\\), \\(q=2c\\). Wierzchołek leży na prostej \\(y=6\\), więc \\(q=6\\):<br>\\[2c = 6 \\Rightarrow c = 3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(c=3\\): \\(y=(x-1)^{2}+6\\), wierzchołek \\((1, 6)\\) - na prostej \\(y=6\\). ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(c=-6\\):</strong> \\(q=-12\\), nie \\(6\\).</li><li><strong>B. \\(c=-3\\):</strong> \\(q=-6\\).</li><li><strong>D. \\(c=6\\):</strong> \\(q=12\\), nie \\(6\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> druga współrzędna wierzchołka \\(q\\) to wartość funkcji w wierzchołku - równa \\(6\\) w tym zadaniu.</p>"}]}