{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność a+b/2}^2 <= a^2+b^2/2","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie\nAby wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej\npostaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności:\n\n\n2\n2\n2\n4\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\nMnożymy obie strony tej nierówności przez 4:\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\nRedukujemy wyrazy podobne:\n2\n2\n2\nab\na\nb\n\n\nStąd otrzymujemy:\n2\n2\n2\n0,\na\nb\nab\n\n\n\nczyli \n\n2\n0.\na\nb\n\n\nNierówność ta jest prawdziwa dla\nkażdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b, zatem prawdziwa jest też\nnierówność równoważna\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n, co należało wykazać.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształci podaną nierówność do postaci\n2\n2\n2\n2\n4\na\nb\nab\n\n\nlub\n2\n2\n2\n0\na\nb\nab\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przedstawi kompletny dowód podanej nierówności.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n5","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"algebra","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest
nierówność
2
2
2
2
2
a
b
a
b








Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
12
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność a+b/2}^2 <= a^2+b^2/2

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest
nierówność
2
2
2
2
2
a
b
a
b








Rozwiązanie
Aby wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej
postaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności:


2
2
2
4
2
a
b
a
b



Mnożymy obie strony tej nierówności przez 4:




2
2
2
2
a
b
a
b



Redukujemy wyrazy podobne:
2
2
2
ab
a
b


Stąd otrzymujemy:
2
2
2
0,
a
b
ab



czyli 

2
0.
a
b


Nierówność ta jest prawdziwa dla
każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b, zatem prawdziwa jest też
nierówność równoważna
2
2
2
2
2
a
b
a
b








, co należało wykazać.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy przekształci podaną nierówność do postaci
2
2
2
2
4
a
b
ab


lub
2
2
2
0
a
b
ab



i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przedstawi kompletny dowód podanej nierówności.
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"}]}