Zadanie 30. (2 pkt)
Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych:
{ 4,
1, 1, 5, 6}
K
i
{ 3,
2, 2, 3, 4}
L
Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego
na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
15
Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: K = {-4,-1,1,5,6} i L = {-3,-2,2,3,4} Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Zadanie 30. (2 pkt)
Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych:
{ 4,
1, 1, 5, 6}
K
i
{ 3,
2, 2, 3, 4}
L
Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego
na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Rozwiązanie (I sposób) (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane
y
x,
dwóch liczb, ze zbiorów
{ 4,
1, 1, 5, 6}
K
i
{ 3,
2, 2, 3, 4}
L
Niech oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a A - zdarzenie polegające na
wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
25
5
5
Iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni, gdy:
obie wylosowane liczby są dodatnie
albo
obie wylosowane liczby są ujemne.
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa
3 3
2 2
13
A
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
25
13
)
(
A
P
Rozwiązanie (II sposób) (metoda tabeli)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane
y
x,
dwóch liczb, ze zbiorów
{ 4,
1, 1, 5, 6}
K
i
{ 3,
2, 2, 3, 4}
L
Niech oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a A - zdarzenie polegające na
wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Symbol w tabeli oznacza zdarzenie elementarne
sprzyjające zdarzeniu A
25
5
5
i
13
A
, zatem
13
A
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:
25
5
5
albo
obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A :
13
A
-4
-1
1
5
6
-3
-2
2
3
4
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
9
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
25
13
)
(
A
P
Uwagi
i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 pkt.
\n( )
1
P A , to otrzymuje za całe
rozwiązanie 0 punktów.
Rozwiązanie (III sposób) (metoda drzewa)
Rysujemy drzewo:
Prawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni) jest więc równe:
1
1
1
1
1
2
2
3
3
3
13
5 5
5 5
5 5
5 5
5 5
25
P A
albo
albo
U - oznacza wylosowanie liczby ujemnej
D - oznacza wylosowanie liczby dodatniej
Prawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni) jest więc równe:
2 2
3 3
13
5 5
5 5
25
P A
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
2
5
U
D
D
3
5
U
2
5
3
5
D
U
3
5
2
5
2
5
U
D
D
3
5
2
5
3
5
U
-4
-1
5
6
1
5
1
5
1
-3, -2
2, 3, 4
1
5
1
5
-3, -2
2, 3, 4
2, 3, 4
2
5
2
5
3
5
3
5
3
5
1
5
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
10
narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo
albo
narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami i przynajmniej na jednej gałęzi opisze
prawdopodobieństwo.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
13
( )
25
P A
Uwaga
Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma
( )
1
P A , to otrzymuje za całe rozwiązanie
0 punktów.
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
11
$P(A) = \\dfrac{13}{25}$
"}]}