{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem\nboku BC (tak jak na rysunku) i CD\nDE\n\n. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nD\nE\n\nPoziom podstawowy\n16\nDany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD| = |DE|. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem\nboku BC (tak jak na rysunku) i CD\nDE\n\n. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.\nRozwiązanie (I sposób)\nTrójkąt CDB jest prostokątny, a punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta,\nczyli punkt E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie CDB. Stąd wynika, że\nDE\nBE\nCE\n\n\n. Z treści zadania wiemy, że CD=DE, zatem trójkąt CDE jest\nrównoboczny. Co należało udowodnić.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy stwierdzi, że punkt E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie CDB i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że trójkąt CDE jest równoboczny.\nRozwiązanie (II sposób)\nRysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez punkt E. Otrzymujemy\ntrójkąt CFE, który jest podobny do trójkąta CDB w skali\n2\n1\n\nk\nA\nB\nC\nD\nE\nA\nB\nC\nD\nE\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n12\nOdcinek EF jest wysokością trójkąta CDE, która dzieli podstawę CD na dwie równe części.\nStąd trójkąt CDE jest równoramienny i DE\nCE\n\n. Z treści zadania wiemy, że\nCD=DE, zatem trójkąt CDE jest równoboczny, co należało udowodnić.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje prostą równoległą do podstawy AB i zauważy, że trójkąty CFE i CDB są podobne\nw skali\n2\n1\n\nk\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że trójkąt CDE jest równoboczny.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n13","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem
boku BC (tak jak na rysunku) i CD
DE

. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
A
B
C
D
E

\n

Poziom podstawowy
16
Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD| = |DE|. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem
boku BC (tak jak na rysunku) i CD
DE

. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.
Rozwiązanie (I sposób)
Trójkąt CDB jest prostokątny, a punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta,
czyli punkt E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie CDB. Stąd wynika, że
DE
BE
CE


. Z treści zadania wiemy, że CD=DE, zatem trójkąt CDE jest
równoboczny. Co należało udowodnić.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy stwierdzi, że punkt E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie CDB i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że trójkąt CDE jest równoboczny.
Rozwiązanie (II sposób)
Rysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez punkt E. Otrzymujemy
trójkąt CFE, który jest podobny do trójkąta CDB w skali
2
1

k
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
12
Odcinek EF jest wysokością trójkąta CDE, która dzieli podstawę CD na dwie równe części.
Stąd trójkąt CDE jest równoramienny i DE
CE

. Z treści zadania wiemy, że
CD=DE, zatem trójkąt CDE jest równoboczny, co należało udowodnić.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy narysuje prostą równoległą do podstawy AB i zauważy, że trójkąty CFE i CDB są podobne
w skali
2
1

k
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że trójkąt CDE jest równoboczny.
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
13

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg"}]}