{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC\npodstawy ma długość 4 2 . Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi\nostrosłupa ma miarę 60. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nS\nA\nC\nD\nB\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 4 pierwiastki z 2. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy\nma długość 4 2 . Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa jest\nrówny 60\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nRozwiązanie\nNiech a oznacza krawędź podstawy ostrosłupa, wtedy\n2\n4 2\na\n\n. Stąd\n4\na \nObliczamy pole P podstawy ostrosłupa:\n2\n16\nP\na\n\n\nW trójkącie AOS kąt ASO jest równy 30\n, a\n1\n2 2\n2\nAO\nAC\n\n\nObliczamy wysokość SO ostrosłupa:\n2 2\ntg30\nAO\nSO\nSO\n\n\n, czyli\n2 2 3\n2 6\n3\nSO\n\n\n\nS\nA\nC\nO\nD\nB\n60\nS\nh\nA\nC\nO\nD\nB\na\na\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n14\nUwaga\nZdający może zauważyć, że trójkąt ACS jest równoboczny i jego bok ma długość 4 2 ,\nwięc zastosowanie wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym pozwala obliczyć wysokość\nostrosłupa:\n4 2\n3\n2 6\n2\nSO\n\n\n\nObliczamy objętość V ostrosłupa:\n1\n32 6\n16 2 6\n3\n3\nV \n\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie długości krawędzi podstawy\n4\nAB\na\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie pola P podstawy:\n16\nP \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości ostrosłupa\n2 6\nSO \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości V ostrosłupa:\n32 6\n3\nV \nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n15","solution":"$V = \\dfrac{32\\sqrt{6}}{3}$","image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (4 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC
podstawy ma długość 4 2 . Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi
ostrosłupa ma miarę 60. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
S
A
C
D
B

\n

Poziom podstawowy
17
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
18
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 4 pierwiastki z 2. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (4 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy
ma długość 4 2 . Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa jest
równy 60
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Niech a oznacza krawędź podstawy ostrosłupa, wtedy
2
4 2
a

. Stąd
4
a 
Obliczamy pole P podstawy ostrosłupa:
2
16
P
a


W trójkącie AOS kąt ASO jest równy 30
, a
1
2 2
2
AO
AC


Obliczamy wysokość SO ostrosłupa:
2 2
tg30
AO
SO
SO


, czyli
2 2 3
2 6
3
SO



S
A
C
O
D
B
60
S
h
A
C
O
D
B
a
a
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
14
Uwaga
Zdający może zauważyć, że trójkąt ACS jest równoboczny i jego bok ma długość 4 2 ,
więc zastosowanie wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym pozwala obliczyć wysokość
ostrosłupa:
4 2
3
2 6
2
SO



Obliczamy objętość V ostrosłupa:
1
32 6
16 2 6
3
3
V 



Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Obliczenie długości krawędzi podstawy
4
AB
a


Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie pola P podstawy:
16
P 
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie wysokości ostrosłupa
2 6
SO 
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie objętości V ostrosłupa:
32 6
3
V 
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
15

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = \\dfrac{32\\sqrt{6}}{3}$

"}]}