Zadanie 33. (5 pkt)
Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę
i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości,
z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 km/h większa od średniej wartości
prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi
przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Poziom podstawowy
19
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
20
Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 kmh większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Zadanie 33. (5 pkt)
Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę
i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości,
z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 km/h większa od średniej wartości prędkości
pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą
trasę obaj zawodnicy.
Uwaga
W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających,
odpowiednio, prędkość i czas dla pana Nowaka. Oczywiście w pracach maturalnych te
niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by te niewiadome były
wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie.
Rozwiązanie I sposób
Przyjmujemy oznaczenia v i t - odpowiednio prędkość w km/h i czas w godzinach dla pana
Nowaka.
Zapisujemy zależność między drogą, prędkością i czasem dla pana Nowaka:
150
v t
Zapisujemy prędkość i czas jazdy dla pana Kowalskiego:
11
v
,
5
16
t
Zapisujemy układ równań, np.
150
5
11
1
150
6
v t
v
t
Z pierwszego równania wyznaczamy
150
t
v
150
v
t
podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy
150
5
11
1
150
6
v
v
Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.
2
11
900
0
v
v
2
121 3600
61
1
11 61
25
2
v
, sprzeczne z zał.
0
v
2
11 61
36(km/h)
2
v
obliczamy prędkość drugiego rowerzysty
11
25(km/h)
v
150
5
11
1
150
6
t
t
Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.
2
66
121
1650
0
t
t
2
14641 435600
671
1
121 671
6
132
t
, sprzeczne z zał.
0
t
2
121 671
1
4
(h)
132
6
t
obliczamy prędkość pana Nowaka
150
36 (km/h)
1
4 6
v
obliczamy prędkość drugiego rowerzysty
11
25(km/h)
v
Odp.: Prędkości rowerzystów są równe: 36 km/h i 25 km/h.
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
16
Rozwiązanie II sposób
Przyjmujemy oznaczenia v i t - odpowiednio prędkość w km/h i czas w godzinach dla pana
Kowalskiego.
Zapisujemy zależność między drogą, prędkością i czasem dla pana Kowalskiego:
150
v t
Zapisujemy prędkość i czas jazdy dla pana Nowaka:
11
v
,
5
16
t
Zapisujemy układ równań, np.
5
11
1
150
6
150
v
t
v t
Z drugiego równania wyznaczamy
150
t
v
150
v
t
podstawiamy do pierwszego równania i rozwiązujemy
150
5
11
1
150
6
v
v
Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.
2
11
900
0
v
v
2
121 3600
61
1
11 61
36
2
v
, sprzeczne z zał.
0
v
2
11 61
25(km/h)
2
v
obliczamy prędkość pana Nowaka
11
36(km/h)
v
150
5
11
1
150
6
t
t
Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.
2
66
121
1650
0
t
t
2
49
3920
63
1
121 671
1
4
132
6
t
, sprzeczne z zał.
0
t
2
121 671
6 (h)
132
t
obliczamy prędkość pana Kowalskiego
150
25 (km/h)
6
v
obliczamy prędkość pana Nowaka
11
36 (km/h)
v
Odp.: Prędkości rowerzystów są równe: 36 km/h i 25 km/h.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zapisanie zależności między drogą, prędkością i czasem dla jednego z rowerzystów
oraz prędkości i czasu dla obu rowerzystów przy użyciu tych samych oznaczeń,
np.: dla pana Nowaka
150
v t
, czas pana Kowalskiego
5
16
t
, prędkość pana
Kowalskiego
11
v
lub: dla pana Kowalskiego
150
v t
, czas pana Nowaka
5
16
t
, prędkość pana Nowaka
11
v
Uwaga
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
17
Nie wymagamy opisania oznaczeń literowych, jeżeli z rozwiązania można wywnioskować,
że zdający poprawnie je stosuje.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t - odpowiednio z prędkością i czasem dla
pana Nowaka:
150
5
11
1
150
6
v t
v
t
albo
Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t - odpowiednio z prędkością i czasem dla
pana Kowalskiego:
5
11
1
150
6
150
v
t
v t
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np:
150
5
11
1
150
6
v
v
lub 150
5
11
1
150
6
t
t
lub
150
5
11
1
150
6
v
v
lub 150
5
11
1
150
6
t
t
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.
rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie prędkości drugiego rowerzysty
albo
rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie i nieobliczenie prędkości
rowerzystów
albo
obliczenie t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości obu
rowerzystów.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Obliczenie prędkości obu rowerzystów: 36 km/h i 25 km/h.
Uwagi
25 km/h, to otrzymuje 0 pkt.
\notrzymuje 1 pkt.
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
18
konsekwentnie.
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
19
$36 \\text{ km/h}$ i $25 \\text{ km/h}$
"}]}