{"id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nPodstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie\n\n\n2,1\nA \ni\n\n\n5,2\nB \n. Ramię\ntego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2\n3\n0\nx\ny\n\n\n\n. Oblicz współrzędne\nwierzchołka C.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n21\nBRUDNOPIS\nPodstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie A=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x-y-3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nPodstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie\n\n\n2,1\nA \ni\n\n\n5,2\nB \n. Ramię tego\ntrójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2\n3\n0\n\n\nx\ny\n. Oblicz współrzędne wierzchołka C.\nRozwiązanie\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:\n3\n1\n2\n5\n1\n2\n\n\n\n. Zatem współczynnik kierunkowy\nprostej prostopadłej do prostej AB jest równy \n\n3\n\n. Symetralna odcinka AB ma równanie\nb\nx\ny\n\n\n3\n. Punkt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n,\n2\n7\n2\n1\n2\n,\n2\n2\n5\nS\njest środkiem odcinka AB . Symetralna tego\nodcinka przechodzi przez punkt S, więc\nb\n\n\n\n\n2\n7\n3\n2\n3\n, stąd\n12\n\nb\n. Zatem symetralna odcinka\nAB ma równanie\n12\n3 \n\n\nx\ny\nObliczamy współrzędne wierzchołka C rozwiązując układ równań:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n12\n3\n0\n3\n2\nx\ny\ny\nx\nZatem współrzędne punktu C są równe:\n\n\n3,3\nC \nSchemat oceniania rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n poprawne wyznaczenie lub podanie współrzędnych środka boku AB:\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n,\n2\n7\nS\nalbo\n poprawne wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:\n3\n1\n\na\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania symetralnej boku AB:\n12\n3 \n\n\nx\ny\nUwaga\nZdający może wyznaczyć równanie symetralnej stosując jej własność: AC\nBC\n\n, gdzie\n\n\n,\nC\nx y\n\njest dowolnym punktem tej symetralnej. Wówczas otrzymuje:\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n5\n2\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\nstąd 3\n12\n0\nx\ny\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie układu równań\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n12\n3\n0\n3\n2\nx\ny\ny\nx\ni poprawne obliczenie jednej ze współrzędnych\npunktu C.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n20\nRozwiązanie prawie pełne 3 pkt\n popełnienie błędów przy wyznaczaniu współrzędnych środka boku albo\nwspółczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie do popełnionych błędów\nwyznaczenie współrzędnych punktu C.\nalbo\n poprawne wyznaczenie równania symetralnej boku AB i popełnienie błędów przy\nwyznaczeniu współrzędnych punktu C.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nPoprawne obliczenie współrzędnych punktu C:\n\n\n3,3\nC \nII sposób rozwiązania\nObliczamy współrzędne wektora AB który jest prostopadły do symetralnej odcinka AB:\n\n\n3,1\nAB \n. Zatem symetralna odcinka\nAB ma równanie 3\n0\nx\ny\nb\n\n\n\n. Obliczamy\nwspółrzędne punktu S, który jest środkiem odcinka AB:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n,\n2\n7\n2\n1\n2\n,\n2\n2\n5\nS\n. Symetralna\ntego odcinka przechodzi przez punkt S, więc\n7\n3\n3\n0\n2\n2\nb\n\n\n\n\n, stąd\n12\n\nb\n. Zatem symetralna\nodcinka AB ma równanie 3\n12\n0\nx\ny\n\n\n\nObliczamy współrzędne wierzchołka C rozwiązując układ równań:\n2\n3\n0\n3\n12\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem współrzędne punktu C są równe:\n\n\n3,3\nC \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n poprawne wyznaczenie lub podanie współrzędnych środka boku AB:\n\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n,\n2\n7\nS\nalbo\n poprawne obliczenie współrzędnych wektora AB:\n\n\n3,1\nAB \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania symetralnej boku AB:\n12\n3 \n\n\nx\ny\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie układu równań 2\n3\n0\n3\n12\n0\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni poprawne obliczenie jednej ze współrzędnych\npunktu C.\nRozwiązanie prawie pełne 3 pkt\n popełnienie błędów przy wyznaczaniu współrzędnych środka boku albo\nwspółrzędnych wektora AB i konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczenie\nwspółrzędnych punktu C.\nEgzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014\nKryteria oceniania odpowiedzi\n21\nalbo\n poprawne wyznaczenie równania symetralnej boku AB i popełnienie błędów przy\nwyznaczeniu współrzędnych punktu C.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nPoprawne obliczenie współrzędnych punktu C:\n\n\n3,3\nC ","solution":"$C=(3,3)$","image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (4 pkt)
Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie


2,1
A 
i


5,2
B 
. Ramię
tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2
3
0
x
y



. Oblicz współrzędne
wierzchołka C.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
21
BRUDNOPIS
Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie A=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x-y-3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (4 pkt)
Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie


2,1
A 
i


5,2
B 
. Ramię tego
trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2
3
0


x
y
. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Rozwiązanie
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:
3
1
2
5
1
2



. Zatem współczynnik kierunkowy
prostej prostopadłej do prostej AB jest równy 

3

. Symetralna odcinka AB ma równanie
b
x
y


3
. Punkt
















2
3
,
2
7
2
1
2
,
2
2
5
S
jest środkiem odcinka AB . Symetralna tego
odcinka przechodzi przez punkt S, więc
b




2
7
3
2
3
, stąd
12

b
. Zatem symetralna odcinka
AB ma równanie
12
3 


x
y
Obliczamy współrzędne wierzchołka C rozwiązując układ równań:









12
3
0
3
2
x
y
y
x
Zatem współrzędne punktu C są równe:


3,3
C 
Schemat oceniania rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
 poprawne wyznaczenie lub podanie współrzędnych środka boku AB:







2
3
,
2
7
S
albo
 poprawne wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:
3
1

a
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wyznaczenie równania symetralnej boku AB:
12
3 


x
y
Uwaga
Zdający może wyznaczyć równanie symetralnej stosując jej własność: AC
BC

, gdzie


,
C
x y

jest dowolnym punktem tej symetralnej. Wówczas otrzymuje:








2
2
2
2
2
1
5
2
x
y
x
y







stąd 3
12
0
x
y



Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie układu równań









12
3
0
3
2
x
y
y
x
i poprawne obliczenie jednej ze współrzędnych
punktu C.
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
20
Rozwiązanie prawie pełne 3 pkt
 popełnienie błędów przy wyznaczaniu współrzędnych środka boku albo
współczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie do popełnionych błędów
wyznaczenie współrzędnych punktu C.
albo
 poprawne wyznaczenie równania symetralnej boku AB i popełnienie błędów przy
wyznaczeniu współrzędnych punktu C.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Poprawne obliczenie współrzędnych punktu C:


3,3
C 
II sposób rozwiązania
Obliczamy współrzędne wektora AB który jest prostopadły do symetralnej odcinka AB:


3,1
AB 
. Zatem symetralna odcinka
AB ma równanie 3
0
x
y
b



. Obliczamy
współrzędne punktu S, który jest środkiem odcinka AB:
















2
3
,
2
7
2
1
2
,
2
2
5
S
. Symetralna
tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc
7
3
3
0
2
2
b




, stąd
12

b
. Zatem symetralna
odcinka AB ma równanie 3
12
0
x
y



Obliczamy współrzędne wierzchołka C rozwiązując układ równań:
2
3
0
3
12
0
x
y
x
y









Zatem współrzędne punktu C są równe:


3,3
C 
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
 poprawne wyznaczenie lub podanie współrzędnych środka boku AB:







2
3
,
2
7
S
albo
 poprawne obliczenie współrzędnych wektora AB:


3,1
AB 
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wyznaczenie równania symetralnej boku AB:
12
3 


x
y
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie układu równań 2
3
0
3
12
0
x
y
x
y









i poprawne obliczenie jednej ze współrzędnych
punktu C.
Rozwiązanie prawie pełne 3 pkt
 popełnienie błędów przy wyznaczaniu współrzędnych środka boku albo
współrzędnych wektora AB i konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczenie
współrzędnych punktu C.
Egzamin wstępny - poziom podstawowy - 2014
Kryteria oceniania odpowiedzi
21
albo
 poprawne wyznaczenie równania symetralnej boku AB i popełnienie błędów przy
wyznaczeniu współrzędnych punktu C.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Poprawne obliczenie współrzędnych punktu C:


3,3
C 

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$C=(3,3)$

"}]}